【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：期末模拟测试卷（B 能力卷）

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2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷（B卷 能力版）

高一数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教A版2019 必修1（新教材）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2021·重庆南开中学高一期末）已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

分别化简集合与，再求交集即可.

【详解】

由得，由的

所以，，则

故选：A

2．（2021·全国·高一专题练习）函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先判断的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案.

【详解】

的定义域为，且为定义域上的增函数，

，

，故零点所在区间是.

故选：B

3．（2021·重庆南开中学高一期末）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】

设此扇形半径为，扇形弧长为

则，，

∴扇形的面积为

故选：A.

4．（2021·重庆南开中学高一期末）设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用“”分段法比较出三者的大小关系.

【详解】

，，

所以.

故选：C

5．（2021·重庆南开中学高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

结合图象，依次求得的值.

【详解】

由图象可知，，所以，

依题意，则，

，所以.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

6．（2021·重庆南开中学高一期末）定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】C

【分析】

由条件可得是以4为周期的周期函数，然后可求出答案.

【详解】

因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是以4为周期的周期函数

所以

故选：C

7．（2021·全国·高一专题练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为则函数的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】

先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．

【详解】

函数，

所以函数的周期为，区间的区间长度刚好是函数的四分之一个周期，

因为在区间上的最大值为，最小值为，由函数的对称性可知，当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数取最小值，

区间，的中点为，此时取得最值±1，

不妨取得最大值，

则有，解得，所以

所以,

故取最小值为．

故选：D．

【点睛】

关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.

8．（2021·天津·静海一中高一期末）设函数，若在区间上是单调函数，则

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】

因为在单调递增，所以在也是单调递增，且，解不等式组，即可得到本题答案.

【详解】

当时，，所以此时函数在区间上单调递增，因为在区间上是单调函数，所以在区间上单调递增，当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；当时，，符合题意；当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；综上得，.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9．（2021·广东·高一单元测试）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】

分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.

【详解】

四个函数的定义域为，定义域关于原点对称

A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.

故选：AC

10．（2021·河北·石家庄外国语学校高一期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的单调递增区间是

B．函数的值域是R

C．函数的图象关于对称

D．不等式的解集是

【答案】BCD

【分析】

根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.

【详解】

对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；

对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；

对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；

对于D: ,即，解得：，故D正确；

故选：BCD.

11．（2021·重庆南开中学高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的初相为

B．若函数在上单调递增，则

C．若函数关于点对称，则可以为

D．将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023

【答案】AB

【分析】

根据选项条件一一判断即可得结果.

【详解】

A选项：函数的初相为，正确；

B选项：若函数在上单调递增，则，，，所以，，又因为，则，正确；

C选项：若函数关于点对称，则，所以

故不可以为，错误；

D选项：将函数的图象向左平移一个单位得到是偶函数，则，所以故不是整数，则不可以为2023，错误；

故选：AB

【点睛】

掌握三角函数图象与性质是解题的关键.

12．（2021·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的最小值为10

【答案】ACD

【分析】

画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.

【详解】

画出的图象如下图所示，

由于关于的方程有四个不等实根，，，，

由图可知，故A选项正确.

由图可知关于直线对称，故，

由解得或，

所以，

，当时，，所以B选项错误.

令，，，

，是此方程的解，

所以，或，

故

，

当且仅当时等号成立，故D选项正确.

由图象可知，

，，，

由，解得或，

由，解得或，

所以，

①.

令或，

所以①的等号不成立，即，故C选项正确.

故选：ACD

【点睛】

求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2021·重庆南开中学高一期末）___________.

【答案】

【分析】

结合指数运算、对数运算，化简求得表达的值.

【详解】

原式

.

故答案为：

14．（2021·天津·静海一中高一期末）用长为的铁丝围成半径为的扇形，则扇形的中心角为__________弧度.

【答案】1

【分析】

扇形周长为两个半径长度与弧长的和，利用已知求出弧长，再利用弧度数即中心角为弧长除以半径，计算得出结果．

【详解】

因为半径为，扇形周长为，所以弧长为，因此弧度数为: 1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查扇形弧长公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

15．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是__________．

【答案】5

【分析】

先由条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值.

【详解】

由条件，两边同时除以，得到，

那么

等号成立的条件是，即，即.

所以的最小值是5，

故答案为： 5 ．

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.

16．（2021·天津·静海一中高一期末）已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

可得时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根，利用“分离参数法”求解即可.

【详解】

因为函数,

当时，有一个零点，

所以只需要当时，有一个根即可，即有一根,

当时，且单调递增，所以，即，

故答案为．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2021·重庆南开中学高一期末）已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】

（1）解一元二次方程，结合角的范围求解；

（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.

【详解】

（1）由题意可得：，

或，

又，，

，

（2）原式.

18．（2021·湖南·明达中学高一期末）若，.

（Ⅰ）若的解集为，求的值；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】

（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.

（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可

【详解】

（Ⅰ）的解集为，，1是的解.

.

解得：

（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为

当时，分解因式

的根为，.

当时，，不等式的解为或；解集为.

当时，，不等式的解为；解集为.

当时，，不等式的解为；等式的解集为.

当时，原不等式为，不等式的解集为.

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

19．（2021·重庆南开中学高一期末）先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.

（1）求函数的解析式；

（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先对函数化简变形可得，再由三角函数图像变换规律可求出的解析式；

（2）由已知条件可得，，则可得，然后令，则，从而可求出其最值

【详解】

（1）原函数化简得到，

将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得，再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到

所以.

（2）由题意知，

因为

所以，

解得，则有：

.

令，，

则对称轴为.所以.

【点睛】

关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由求出，再对两边取余弦化简可求出，从而可对化简可得，再利用换元法可求得结果，属于中档题

20．（2021·全国·高一课时练习）已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；

（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】

利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.

【详解】

解：（Ⅰ）

，

；

（Ⅱ）法一：

令；则.

，的单调增区间为.

，解得.

函数在上的单调递增区间.

法二：

，

，

画数轴与所有区间取交集可知：.

函数在上的单调递增区间；

（Ⅲ）是函数的一个零点

.

解得：.

.

，，当单调递减区间为.

，解得

在区间上为减函数.

函数在上的单调递增区间，单调递减区间

，，.

函数在上的值域为.

【点睛】

对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．

21．（2020·天津西青·高一期末）已知函数过定点，函数的定义域为.

（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；

（Ⅲ）解不等式.

【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.

【分析】

（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；

（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；

（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】

（Ⅰ）函数过定点，定点为，

，定义域为，

.

函数为奇函数.

（Ⅱ）在上单调递增.

证明：任取，且，

则.

，，

，，

，即，

函数在区间上是增函数.

（Ⅲ），即，

函数为奇函数

在上为单调递增函数，

， ，解得：.

故不等式的解集为：

【点睛】

解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.

22．（2021·重庆南开中学高一期末）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.

【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【分析】

（1）代入公式中直接计算即可

（2）由题意得，，则，求出的范围即可

【详解】

（1），

（2），.

因为要使火箭的最大速度至少增加，

所以，

即：，

所以，

即，所以，

因为，所以.

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【点睛】

此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题