高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀当堂检测题

3.3.2抛物线的简单几何性质（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：抛物线的简单性质

重点题型二：直线与抛物线的位置关系

重点题型三：抛物线的中点弦和点差法

重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题

重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：抛物线的简单几何性质

知识点二：直线与抛物线的位置关系

设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程

(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当时,直线与抛物线相切,有一个切点;

当时,直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

知识点三：直线和抛物线

1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.

2、抛物线的焦点弦

过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则

①，；②；③.

说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

1．（2022·江苏连云港·高二期末）抛物线 的焦点坐标是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·陕西渭南·高一期末）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（       ）

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

3．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知抛物线与圆交于A，B两点，则（       ）

A．2 B． C．4 D．

4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.

5．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．

6．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为______．

重点题型一：抛物线的简单性质

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（   ）

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为

例题2．（2022·全国·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.

（1）；（2）；（3）．

同类题型归类练

1．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（       ）

A．抛物线 的焦点坐标为 ．

B．抛物线 的准线方程为 x =−1．

C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．

D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．

2．（2022·安徽蚌埠·高二期末）抛物线的准线方程是，则实数___________.

重点题型二：直线与抛物线的位置关系

典型例题

例题1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（       ）

A．4 B．2 C．0或4 D．8

例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线相切，则（     ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．

例题4．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.

例题5．（2022·全国·高二课时练习）①直线过点，②直线与抛物线只有一个公共点，③直线过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线的方程.

同类题型归类练

1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（       ）条

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是______．（写出一个符合题意的答案即可）

4．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．

重点题型三：抛物线的中点弦和点差法

典型例题

例题1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（       ）

A．4 B．2 C．1 D．

例题2．（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于､两点.若，则线段的中点的纵坐标为（    ）

A． B．3 C． D．4

例题3．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.

例题4．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

同类题型归类练

1．（2022·河南新乡·高二期末（文））已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（       ）

A． B．3 C． D．－3

2．（2022·全国·三模（文））已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.

4．（2022·全国·高二课时练习）若直线与抛物线相交所得的弦被点平分，则直线的方程为______．

重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题

典型例题

例题1．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（文））已知抛物线的对称轴是轴，点在曲线上.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点的倾斜角为直线与抛物线交于、两点，求线段 的长度.

例题2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；

(1)若直线的斜率为，求的值；

(2)求线段的长度的最小值．

例题3．（2022·重庆八中高二期末）已知动圆过点，且与直线：相切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．

例题4．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知抛物线：上一点到焦点的距离为2．

(1)求实数的值；

(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程．

同类题型归类练

1．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知抛物线的焦点是，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A、B两点．

(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；

(2)求线段AB的长．

2．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知抛物线，其通径为4.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点F作倾斜角为的直线l，使得直线l与抛物线交于P､Q两点，且满足弦长，求直线l的倾斜角的取值范围.

3．（2022·全国·高二）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．

(1)求C的方程：

(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．

4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？

5．（2022·安徽·高二开学考试）已知直线与抛物线.

(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；

(2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程.

重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题

典型例题

例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知点在抛物线上.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.

例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.

(1)求抛物线的方程.

(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.

例题3．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线：，点为直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，.

(1)若点的坐标为，求这两条切线的方程；

(2)证明：直线过定点.

例题4．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．

(1)求和的值；

(2)证明：①为定值；

②直线斜率为定值，并求出该定值．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．

2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.

3．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.

(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；

(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.

4．（2022·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．

5．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.

(1)求p的值；

(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点．

(1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；

(2)若点O为坐标原点，且，求证：直线l过定点．

1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

2．（2022·上海市光明中学模拟预测）设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为____________．

3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.

4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点．

(1)求P点的坐标；

(2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

5．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D，当直线轴时，．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求的最小值．