北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法导学案

第2课时　函数的表示法

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　函数的表示法

答案：

表格的形式　图象　解析式

【主题2】　分段函数

1．在定义域内不同的部分上，有不同的解析式，这样的函数叫作________．

2．分段函数的定义域是各段定义域的________，其值域是各段值域的________．

答案：

1．分段函数　2.并集　并集

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)同一个函数可以同时用列表法、图象法、解析法三种方法表示．(　　)

(2)函数的图象一定是连续不断的曲线．(　　)

(3)分段函数由几部分组成就是几个函数．(　　)

答案：

(1)　解析：不一定，如函数y＝x，x∈R.就无法用列表法表示．

(2)　解析：因为函数定义域的不同，图象可以是曲线的一部分、折线，也可以是一群孤立的点或由几段曲线组合而成．

(3)　解析：因为分段函数是一个函数，只是同一个函数在不同范围内的对应关系不同．

2．以下形式中，不能表示“y是x的函数”是(　　)

A．　　　　B．

C．y＝x2        D．x2＋y2＝1

答案：D　

解析：D项中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数．

3．若f(x－1)＝x，则f(1)等于(　　)

A．0　　 　 　B．1　　 　 　C．2　　 　 　D．3

答案：C　

解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝t＋1，即f(x)＝x＋1.所以f(1)＝1＋1＝2.

4．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________.

答案：5　

解析：因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2，

所以f(f(－1))＝f(2)＝2×2＋1＝5.

5．函数f(x)是一次函数，f(1)＝2，f(2)＝1，则f(x)的解析式为________．

答案：f(x)＝－x＋3　

解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则解得所以f(x)＝－x＋3.

课堂篇·重难要点突破

研习1  函数的表示方法

[典例1]　(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为________.

(1)答案：D　

解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

(2)答案：3或1　

解析：由表格可知f(3)＝1，

故f(f(x))＞f(3)，即为f(f(x))＞1.

∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.

理解函数表示法的三个关注点

(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

(2)判断所给表格、图象、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，在实际操作中仍以解析法为主．

[练习1](1)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　)

(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

①f(g(1))＝________；

②若g(f(x))＝2，则x＝________.

答案：

(1)A

(2)①1　②1

研习2  函数图象的画法

[典例2]　作出下列函数的图象．

(1)y＝1－x(x∈Z)；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．

解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，这些点都为整数点(∵x∈Z，∴y∈Z)，如图1所示为函数图象的一部分；

(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5.当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图2所示．

1．描点法作函数图象的基本步骤

在定义域内选择关键点列表→在坐标系中描出这些关键点→用光滑曲线连接这些关键点→得函数图象．

2．作图象时要注意的一些关键点

与坐标轴的交点；图象上的最高点、最低点；还要分清这些关键点是实心点还是空心点．

[练习2]函数f(x)＝x＋的图象是(　　)

答案：C　

解析：f(x)＝x＋＝ 结合图象知选C．

研习3　求函数解析式

[典例3]　(1)如果f＝，则f(x)＝________.

(2)如果f＝2，则f(x＋1)＝________.

(3)如果f(f(x))＝2x－1，则一次函数f(x)＝________.

(4)如果函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R，且x≠0，则f(x)＝________.

答案：

(1)(x≠0，且x≠±1)

(2)(x＋1)2＋4　(3)x＋1－或－x＋1＋

(4)

解析：(1)令＝t，t≠0，则x＝，

f(t)＝＝，

∴f(x)＝(x≠0，且x≠±1)．

(2)∵f＝2

＝x2＋2＋＝＋4

＝2＋4，

∴f(x)＝x2＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4.

(3)∵f(x)为一次函数，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b

＝k2x＋kb＋b＝2x－1.

比较系数得

∴或

∴f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.

(4)∵2f(x)＋f＝2x，

用替换上式中的x，得2f＋f(x)＝，

由

可得f(x)＝.

求函数解析式的四种常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域．

[练习3](1)已知f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)．

(2)已知函数f(x)满足f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的表达式．

解：(1)解法一：∵f(x＋1)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

∴f(x)＝x2－1.

解法二：令t＝x＋1，则x＝t－1，

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，

∴f(x)＝x2－1.

(2)∵f(x)－f(－x)＝x2，

∴以－x代替x，得f(－x)－f(x)＝x2，

联立两式消去f(－x)，得f(x)＝x2.

研习4　分段函数及其应用

[典例4]　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．

解：由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知

f(－5)＝－5＋1＝－4.

f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.

f＝－＋1＝－，

因为－2＜－＜2，

所以f＝f

＝2＋2×＝－3＝－.

[延伸探究]　(1)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．

(2)本例条件不变，若f(m)＞m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．

(1)解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，

所以a＋1＝3，所以a＝2＞－2不合题意，舍去．

②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，

所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.

因为1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，所以a＝1符合题意．

③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．

综合①②③知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.

(2)解：f(m)＞m，即或

即m≤－2或所以m≤－2或m≥2.

所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

1．分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；

(2)将要求值的自变量代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论；

(2)然后代入到不同的解析式中；

(3)通过解方程求出字母的值；

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

[练习4]已知函数f(x)的解析式为f(x)＝

(1)求f，f，f(－1)的值；

(2)画出这个函数的图象．

解：(1)由＞1知，

f＝－2×＋8＝5；

由0＜＜1知，f＝＋5；

由－1＜0知，f(－1)＝3×(－1)＋5＝2.

(2)函数图象如图所示．

课后篇·演练提升方案

1．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝3x＋2

B．f(x)＝3x－2

C．f(x)＝2x＋3

D．f(x)＝2x－3

答案：B　

解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

由知

∴f(x)＝3x－2.故选B．

2．已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))＝(　　)

A．x2＋1        B．π2＋1

C．－π        D．0

答案：C　

解析：∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2，

∴f(2)＝0，f(0)＝－π，∴f(f(f(－1)))＝－π.

3．函数f(x)＝2－|x|的图象为(　　)

答案：B　

解析：f(x)＝2－|x|＝分别作出y＝2－x(x≥0)和函数y＝2＋x(x＜0)的图象即可．故选B．

4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．

解：设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

∴解得或

∴所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.

5．已知函数f(x)＝

(1)画出函数的图象；

(2)根据已知条件分别求f(1)，f(－3)，f(f(－3))，

f(f(f(－3)))的值．

解：(1)分别画出y＝x2(x＞0)，y＝1(x＝0)，y＝0(x＜0)的图象，即得所求函数的图象如图所示．

(2)f(1)＝12＝1；f(－3)＝0；

f(f(－3))＝f(0)＝1；

f(f(f(－3)))＝f(1)＝12＝1.

[误区警示]　分段函数的求值问题

[典例]　(2020·安庆高一检测)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为________．

[错解]　由f(x)＝且f(x)＝3，可知x2－1＝3或2x＋1＝3.

解得x＝±2或x＝1.

[错因分析]　本例中求得x＝－2时，因此段是x≥0，故此解应舍去，同理x＝1也应舍去．此类问题求解时，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内．

[正解]　因为函数f(x)＝

且f(x)＝3，

所以当x≥0时，由x2－1＝3，

得x＝2或x＝－2(舍去)；

当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)．

综上可知x＝2.

[答案]　2