9.3 三角形的角平分线、中线和高-七年级数学下册课件（冀教版）

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9.3 三角形的角平分线、中线和高目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入1. 角平分线的定义及画法： 一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线.2. 线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段 的点.3. 做“过一点作已知直线的垂线”：知识回顾情景导入 有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住”的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC 的三条高，但是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：“我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？新课精讲探索新知1知识点三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线.角平分线的理解：∵ AD 是△ABC 的角平分线∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC探索新知想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，思考它们有什么特点？①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点.要知道DO 是不是△DEF 的角平分线，只需要知道∠EDO 与∠FDO 是否相等．若相等，根据三角形的角平分线的定义即可判定．探索新知例1 如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由．导引：探索新知DO 是△DEF 的角平分线．理由如下：因为AD是△ABC 的角平分线，所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)．因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF (等量代换)，所以DO 是△DEF 的角平分线．解：探索新知 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法．典题精讲1如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　)A．BD 是△ABC 的角平分线B．CE 是△BCD 的角平分线C．∠3＝ ∠ACBD．CE 是△ABC 的角平分线D典题精讲2一个三角形的三条角平分线的交点在(　　)A．三角形内　　　　　B．三角形外C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能A探索新知2知识点三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线.三角形中线的理解：∵AD 是△ ABC 的中线∴BD=CD= BC探索新知想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出.它们有什么特点？①三角形的中线是一条线段.②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点.探索新知例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．根据等底同高的三角形的面积相等，要等分三角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可.导引：探索新知解：根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC 的中线AD (如图)，则AD 就把△ABC 的面积平分成两份．这是因为AD 是△ABC 的中线，所以BD＝DC.过点A 作AE⊥BC 于点E.在△ABD 和△ACD 中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD 和△ACD 的面积相等，因此，要把△ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC 边上的中线也可以)探索新知(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.典题精讲(1)如图，△ABC 的面积等于10，AD 是中线，分别求出△ABD 和△ACD 的面积. (2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？1典题精讲(1)因为AD 是△ABC 的中线，所以BD＝DC＝ BC，所以S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝5.(2)①把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所示，其中BD＝DC＝ BC，S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC.解：典题精讲②把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，其中BD＝DE＝EF＝FC＝ BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEF＝S△AFC＝ S△ABC. ③把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，其中BD＝DE＝EC＝ BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝ S△ABC.典题精讲若AD 是△ABC 的中线，下列结论错误的是(　　)A．AB＝BC 　 B．BD＝DCC．AD平分BC 　 D．BC＝2DC已知D，E 分别是△ABC 的边AC，BC 的中点，那么下列说法中不正确的是(　　)A．DE 是△BCD 的中线B．BD 是△ABC 的中线C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE2A3D典题精讲三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)A．形状相同的三角形 　 B．面积相等的三角形C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD 的周长的差是(　　)A．2　　　 B．3　　　C．6　　　 D．不能确定4B5A典题精讲如图，在△ABC 中，D，E 分别为BC，AD 的中点，且S△ABC＝4，则S阴影为(　　)A．2　　　　 B．1　　　　C.　　　　 D.6B典题精讲已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心．其中正确的结论有________．(填序号)7①③探索新知3知识点三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.对三角形高的理解：∵AD 是△ ABC 的高∴AD⊥BC 或∠ADC=∠ADB =90°探索新知想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方法画出.它们有什么特点？①三角形的高是一条线段.②一个三角形有三条高，三条高(或高的延长线)相交于一点.可分为锐角三角形(内部)，直角三角形(直角顶点)，钝角三角形(外部).探索新知画出图中△ABC 的三条高．(要标明字母，不写画法)例3 导引：“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC 边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB 与CB.探索新知解：如图所示.探索新知(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线．典题精讲如图.AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等的线段.1相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的线段有BD＝DC.解：典题精讲分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高.2(1)锐角三角形(如图所示)．(2)直角三角形(如图所示)．解：典题精讲(3)钝角三角形(如图所示)．典题精讲如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，∠BAC=40°，∠C=60°.求∠DAE 的度数.3因为AD 平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC＝20°.因为∠ADE 是△ACD 的一个外角，所以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因为AE是△ABC 的高，所以∠AED＝90°，所以在△AED 中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－90°－80°＝10°.　解：典题精讲如图，在△ABC 中，∠ABC=62°，BD 是角平分线，CE 是高，BD 与CE 交于点O.求∠BOC 的度数.4因为BD 是△ABC 的角平分线，所以∠OBC＝ ∠ABC＝31°.因为CE 是△ABC 的高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC 中，∠ECB＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝28°，所以在△BOC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－31°－28°＝121°.解：典题精讲如图，在△ABC 中，AD 是高，BE 是角平分线，AD，BE交于点F，∠C= 30°，∠BFD=70°.求∠BAC 的度数.5因为AD 是△ABC 的高，所以∠ADB＝90°，所以在△BFD 中，∠FBD＝180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因为BE 是△ABC 的角平分线，所以∠ABF＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝110°.解：典题精讲下列图形中，AD 是△ABC 的高的是(　　)下列说法中正确的是(　　)A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边6BC7典题精讲如图，已知在直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B，C 不重合)，作BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，则BE＋CF 的值(　　)A．不变 B．增大C．减小 D．先变大再变小8C易错提醒如图，AD⊥BC 于点D，那么图中以AD 为高的三角形有________个．易错点：对三角形的高的定义不理解导致出错6学以致用小试牛刀能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是(　　)A．三角形的中线 B．三角形的高C．三角形的角平分线 D．以上三种情况都正确A1小试牛刀如图，AD 是∠CAB 的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF 交AD 于点O.请问：(1)DO 是∠EDF 的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．(2)若将“DO 是∠EDF 的平分线”与“AD 是∠CAB 的平分线”，“DE∥AB ”，“DF∥AC ”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个说明理由．2小试牛刀(1)DO 是∠EDF 的平分线．证明如下：∵AD 是∠CAB 的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.∴∠EDA＝∠FDA.∴DO 是∠EDF 的平分线．解：小试牛刀(2)与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确.若和“DE∥AB ”交换．理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.∵AD 是∠CAB 的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA.∵DO 是∠EDF 的平分线，∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD.∴DE∥AB.(答案不唯一)小试牛刀 在△ABC 中，AB＝AC，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC 的各边长．设AB＝AC＝x cm，则AD＝DC＝ x cm.(1)若AB＋AD＝12 cm，即x＋ x＝12，则x＝8.所以AB＝AC＝8 cm，DC＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此时AB＋AC >BC，三角形存在．所以三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.解：3小试牛刀(2)若AB＋AD＝15 cm，即x＋ x＝15，则x＝10.所以DC＝5 cm.故BC＝12－5＝7(cm)．显然此时三角形存在，所以三角形的三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，△ABC 的三边长分别为8 cm，8 cm， 11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.小试牛刀如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，若BC＝10，AC＝8，BE＝ ，求AD 的长.4小试牛刀∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴S△ABC＝ ·BC·AD＝ ·AC·BE.∴BC ·AD＝AC ·BE.又∵BC＝10，AC＝8，BE＝ ，∴10AD＝8× .∴AD＝6.8.解：小试牛刀 如图，已知AD，AE 分别是△ABC 的高和中线， AB＝6 cm，AC＝8 cm ，BC＝10 cm，∠CAB＝90°，试求：(1)AD 的长；(2)△ABE 的面积；(3)△ACE 和△ABE 的周长的差．5小试牛刀(1)∵S△ABC＝ AB ·AC＝ BC ·AD，∴AB ·AC＝BC ·AD，即6×8＝10×AD.∴AD＝4.8 cm.(2)∵S△ABC＝ ×6×8＝24(cm2)，∴S△ABE＝ S△ABC＝12 cm2.(3)由题意知BE＝CE.∴C△ACE－C△ABE＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE )＝AC－AB＝8－6＝2(cm)．解：小试牛刀如图，网格小正方形的边长都为1，在△ABC 中，试分别画出三条边上的中线，然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？6小试牛刀所画中线如图所示．发现的结论为：①三条中线交于一点；②中线的交点把中线分成的两条线段的长度比为2:1.解：小试牛刀已知AD 是△ABC 的高，∠BAD＝72°，∠CAD＝21°，求∠BAC 的度数．当高AD 在△ABC 的内部时，如图①所示，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝93°；当高AD 在△ABC 的外部时，如图②所示，∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝51°.解：7课堂小结课堂小结1.三角形的中线 (1)定义：三角形的中线是一条线段. (2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三 角形的重心.2.三角形的角平分线 (1)定义：三角形的角平分线是一条线段. (2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做 三角形的内心.课堂小结3. 三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.同学们，下节课见！