2023年中考总复习9：一次方程及方程组--知识讲解

中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解

责编：常春芳

【考纲要求】

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；

2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、一元一次方程

1.等式性质

（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.

2.方程的概念

（1）含有未知数的等式叫做方程.

（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).

（3）求方程的解的过程，叫做解方程.

3.一元一次方程

（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.

（2）一元一次方程的一般形式:.

（3）解一元一次方程的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).

要点诠释：

  解一元一次方程的一般步骤

说明：

（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；

（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.

考点二、二元一次方程组

1. 二元一次方程组的定义

两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

要点诠释：

判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．

2.二元一次方程组的一般形式

要点诠释：

    a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.

3. 二元一次方程组的解法

(1) 代入消元法；

(2) 加减消元法.

要点诠释：

    （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．

（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：

    当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.

考点三、一次方程（组）的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤：

1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；

2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；

3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；

4.解:解所列的方程(组)；

5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；

6.答:注意单位和语言完整.

要点诠释：

     列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.

【典型例题】

类型一、一元一次方程及其应用 

1．如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为(    ).

     A.2           B.4          C.3           D.1

【思路点拨】未知数x的指数是1即可.

【答案】B；

【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.

【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.

举一反三：

【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为      .

【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6.

【高清课程名称：一次方程及方程组 高清ID号：404191 关联的位置名称（播放点名称）：例4】

【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值．

【答案】a=0,b=11.

2．（2015•顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？

【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x（1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x（1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可．

【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷，

根据题意得出：x（1﹣25%）（1﹣20%）=6，

解得：x=10，

答：这块麦田一共有10公顷．

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．

举一反三：

【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（      ）

A．         B．

C．            D．

【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为．

根据题意，列方程得，故选A．

类型二、二元一次方程组及其应用

3．（2015春•宁波期中）解下列方程组．

（1）

（2）．

【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.

【答案与解析】

解：（1），

将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，

去括号得：﹣4y+6+3y=7，

解得：y=﹣1，

将y=﹣1代入②得：x=2+3=5，

则方程组的解；

（2），

①×4+②×3得：17m=34，

解得：m=2，

将m=2代入①得：4+3n=13，

解得：n=3，

则方程组的解为．

【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.

举一反三：

【变式1解方程组　　

【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：

【高清课程名称：一次方程及方程组  高清ID号： 404191  关联的位置名称（播放点名称）：例3 】

【变式2】解方程组

【答案】a=9,b=12,c=15.

4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题：

（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多212，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺12地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.

【答案与解析】

（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）2；

（2）由题意，得

解之，得

∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（2）．

∵铺12地砖的平均费用为80元，

∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 

【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.

举一反三：

【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（    ）

A．73cm    B．74cm  C．75cm   D．76cm

【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则.故选C.

类型三、一次方程（组）的综合运用

5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？

【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．

【答案与解析】

方法一：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，

则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，    

解得：x=40，      ∴60-x =60-40=20                   

      答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.                   

      方法二：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，

根据题意列出方程组：                  

       解得：                                  

答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 

【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.

举一反三：

【变式】某公园的门票价格如下表所示：

某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人？

【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得：

   解得：．

        答：甲班有55人，乙班有48人.

6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；

 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；

请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.

【答案与解析】

设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：

      解得

 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.

【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.