专题2.1 一次方程及方程组（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题2.1 一次方程及方程组（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共16页。

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；
2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.

【知识网络】


【考点梳理】
考点一、一元一次方程
1.等式性质
（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.
2.方程的概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).
（3）求方程的解的过程，叫做解方程.
3.一元一次方程
（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的一般形式:.
（3）解一元一次方程的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).
特别说明：
解一元一次方程的一般步骤
说明：
（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；
（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.
考点二、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
特别说明：
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．
2.二元一次方程组的一般形式
特别说明：
a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.
3. 二元一次方程组的解法
(1) 代入消元法；
(2) 加减消元法.
特别说明：
（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：
当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
考点三、一次方程（组）的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；
3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；
4.解:解所列的方程(组)；
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；
6.答:注意单位和语言完整.
特别说明：
列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.
【典型例题】
类型一、一元一次方程及其应用
1．（2020·浙江浙江·模拟预测）已知关于x的一元一次方程（a+3）x|a|﹣2+6=0，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
【答案】A
解：由题意得： ，
所以，a=3，
故选A.
举一反三：
【变式1】（2019·福建漳州·一模）若x=2是关于x的一元一次方程ax－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ).
A．－8B．－4C．8D．4
【答案】B
【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a- 2= b，即可求出3b-6a的值，整体代入求值即可．
解：把x=2代入ax－2=b，得2a- 2= b．
所以3b-6a=-6．
所以，3b－6a+2=-6+2=-4.
故选B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【变式2】（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
解：关于的方程如果是一元一次方程，
（1）当，即，
即
解得：，
（2）当m=0时，，
解得：
（3）当2m-1=0，即m=时，
方程为
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式3】（2020·河北·邯郸市邯山区创A扬帆初中学校二模）已知关于的方程的解与方程的解相同，则_______；若表示不大于的最大整数，那么__________．
【答案】7 2
【分析】求出第一个方程的解，因为两个方程的解释相同的，则把第一个方程的解代入第二个方程即可求出；将代入得到，根据定义即可求出答案．
解：
将代入，
．
故答案为：7；2．
【点拨】本题考查了解一元一次方程和新定义下的实数运算，熟练应用等式的性质解方程及理解新定义是解题的关键．
2．（2021·重庆实验外国语学校二模）4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2660元，求a的值．
【答案】（1）5元；（2）25
【分析】
（1）根据题意和当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，可以列出相应的方程，从而可以求得水蜜桃的进价是每千克多少元；
（2）根据题意和结果这批水蜜桃的利润为2660元，可以列出关于a的方程，再根据第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．即可求得a的值．
解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，
（16﹣x）×100＋（20﹣1.2x）×50＝1800，
解得x＝5，
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2）由题意可得，
16×8a＋（300﹣8a﹣20）×16×（1﹣a%）﹣300×5＝2660且8a＞×300，
解得a＝25，
答：a的值是25.
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
举一反三：
【变式】（2021·黑龙江道里·三模）某商店准备购进甲、乙两种商品，若购进一个甲商品比购进一个乙商品多用50元；若购进4个甲商品与购进5个乙商品所用金额相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）该商店甲商品每个的售价定为280元，乙商品每个的售价定为220元，若商店购进乙商品的数量比购进甲商品的数量的2倍还多5个，若购进的甲、乙两种商品全部售出后总获利不少于5000元，求该商店至少购进甲商品多少个？
【答案】（1）甲商品的进价为元，乙商品的进价为元；（2）该商店至少购进甲商品个．
【分析】
（1）设购进乙商品的进价为元，则购进甲商品的进价为,根据等量关系“购进4个甲商品与购进5个乙商品所用金额相同”列一元一次方程解决问题；
（2）设购进甲商品个，则购进乙商品个，根据不等关系“全部售出后总获利不少于5000元”列一元一次不等式解决问题．
解：（1）设购进乙商品的进价为元，则购进甲商品的进价为,根据题意，得：
，
解得：，
则甲商品的进价为，
答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元．
（2）设购进甲商品个，则购进乙商品个，根据题意，得：
，
解得：，
取正整数，
．
答：该商店至少购进甲商品个．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到等量关系和不等关系列方程和不等式是解题的关键．
类型二、二元一次方程组及其应用
3．（2020·广西贺州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】根据方程组特点，先给②×5得③，即可利用加减消元法求得x的值，再将x值代入②，便可求解y值，则此方程组得解．
解：，
②×5，得③，
①+③，得，
，
把代入②，得．
解得，
∴原方程组的解为．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解题思路并能运用“消元法”准确求解是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2019·山东潍坊·中考真题）己知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】．
【分析】先用加减法求得的值(用含的式子表示)，然后再列不等式求解即可．
解：，
①﹣②得：，
∵，
∴．
∴．
解得：．
【点拨】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得的值(用含的式子表示)是解题的关键．
【变式2】（2018·浙江嘉兴·中考真题）用消元法解方程组时,两位同学的解法如下:
解法一: 解法二:由②，得, ③
由①-②,得. 把①代入③，得.
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“”.
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是
【分析】利用加减消元法或代入消元法求解即可．
解：（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得：，解得：，
把代入①，得：，解得：，
所以原方程组的解是．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4.（2015·广东珠海·中考真题）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y="5" 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求的值；
（ii）求的值．
【答案】（1）；（2）（i）17；（ii）±．
【详解】模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．
试题解析：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，把①代入③得：15+2y=19，即y=2，
把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为；
（2）（i）由①得：3（）=47+2xy，即=③，
把③代入②得：2×=36﹣xy，解得：xy=2，则=17；
（ii）∵=17，+4xy=17+8=25
∴x+2y=5或x+2y=﹣5，
则==±．
考点：解二元一次方程组
【变式1】（2016·四川达州·中考真题）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【答案】原式=.
【解析】解方程组的求得x与y的值，把代数式化简后代入计算即可求出值．
解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2，
，
①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，
把x=﹣1代入①得：y=，
则原式=+=．
考点：二元一次方程组的解法；整式的化简求值.
5．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【分析】
设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可．
解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，

解得，
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
举一反三：
【变式】（2021·江苏镇江·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱
【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点拨】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
类型三、一次方程（组）的综合运用
5．（2021·湖南湘西·中考真题）年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作个类微课和个类微课需要4600元成本，制作个类微课和个类微课需要元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个类微课售价元，每个类微课售价元．该团队每天可以制作个类微课或者个类微课，且团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍（注：每月制作的、两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作、两类微课的月利润为元．
（1）求团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是多少元？
（2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元；（2），；（3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【分析】
（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解．
解：（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得：
，
解得：；
答：团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元．
（2）由题意得制作类微课天，则有：
，
∵团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍，
∴，且，解得：，
（3）由（2）可得：，，
∴随的增大而增大，
∵每月制作的、两类微课的个数均为整数，
∴为偶数，
∴当时，w取最大，最大值为；
答：每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【点拨】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2021·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【答案】（1）鸡有23只，兔有12只；（2）这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．
【分析】
（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过40只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可．
（1）解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：，
解得：．
答：鸡有23只，兔有12只；
（2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w元，
根据题意得：，即，
∵，即，
解得：，
∴，
整理得：，
∵，
∴随的增大而减少，
∴当时，有最大值，最大值为3060，
当时，有最小值，最小值为2060，
答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．（2021·贵州黔东南·中考真题）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．
①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）
【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①；②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．最小费用为125040元
【分析】
（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总运费＝运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可；②根据投资总费用＝购买商品的费用+总运费，列出函数关系式，由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，
运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；
②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
自变量的取值范围是：0≤x≤200，
∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大．
当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），
∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．
【点拨】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式．步骤
名 称
方 法
依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并 同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
1、整式的加减；
2、有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根
x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.
① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解；
② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解.
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.