初中数学北师大版七年级下册5 平方差公式练习

专题03 平方差公式常考的两种题型全攻略

【知识点梳理】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。

注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。

②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。

类型一、平方差公式的逆运用

例、如果m2+m＝5，那么代数式m（m+2）+（m+2）（m﹣2）的值为（　　）

A．6 B．9 C．﹣1 D．14

【答案】A

【详解】解：原式＝＝＝

∵，∴，∴原式=．

故选：A．

【变式训练1】若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【详解】解：∵，

∴=====．

故选B．

【变式训练2】已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___．

【答案】3

【详解】 m2﹣n2＝24，m比n大8，

，，故答案为：3

【变式训练3】计算：．

【答案】2022

【详解】

解：原式＝＝＝2022．

【变式训练4】算式（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）……（232＋1）＋1计算结果的个位数是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．7

【答案】C

【详解】解：原式＝（2−1）•（2＋1）•（＋1）•（＋1）…（＋1）＋1

＝（−1）•（＋1）•（＋1）…（＋1）＋1

＝（−1）•（＋1）…（＋1）＋1＝−1＋1＝，

∵＝2，＝4，＝8，＝16，＝32，…，∴其结果个位数以2，4，8，6循环，

∵64÷4＝16，∴原式计算结果的个位数字为6．故选：C．

类型二、 几何应用

例、（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　；

（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；

（应用）请应用这个公式完成下列各题：

①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　；②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．

（拓展）计算的结果为　　　　．

【答案】探究：（1），；（2）；

应用：①12；②；拓展：．

【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，

图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为，

故答案为：，；

（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：，

故答案为：；应用：①，故答案为：12；

②原式，，；

拓展：原式，

，，

，，．

【变式训练1】如图1，将长为宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】如图1，图形的面积为（x+1）（x-1）；如图2，图形的面积为x（x-1）+1×（x-1）==，

∴，故选D．

【变式训练2】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）

A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2   B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）   C、a2+ab=a（a+b）

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【答案】（1）B；（2）①3；②．

【解析】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），

则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；

（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；

②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）

=×=．

【变式训练3】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　   　；

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：

①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；

②计算：．

【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②．

【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的等式为：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b），∴21=（a+b）×3，∴a+b=7；

②

=

=

==．

【变式训练4】将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：

（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝　   　，S2＝　   　；（不必化简）

（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 　   　；

（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．

【答案】（1）；（2）；（3）1．

【详解】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a＋b）（a﹣b）

故答案是：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；

（2）由（1）所得结论和面积相等，则可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．

故答案是：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

（3）运用（2）所得的结论可得：

20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）×（2021＋1）

＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212＋1

＝1．