高中数学新教材必修第一册 第3章 3.2.2　第1课时　奇偶性的概念课件PPT

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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）第1课时　奇偶性的概念第三章　3.2.2　奇偶性1.了解函数奇偶性的定义.2掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.学习目标古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.导语随堂演练课时对点练一、函数奇偶性的概念二、函数奇偶性的判断三、奇、偶函数的图象及应用内容索引四、利用函数的奇偶性求值一、函数奇偶性的概念问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？提示　这两个函数图象都关于y轴对称.问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)注意点：①函数的奇偶性是函数的整体性质；②先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数；③偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；⑤若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.二、函数奇偶性的判断例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－|x|；解　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.解　函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解　函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.解　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，∴f(x)是奇函数.反思感悟　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：(2)图象法：跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)＝x2(x2＋2).解　f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.三、奇、偶函数的图象及应用例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.(1)请补全函数y＝f(x)的图象；解　由题意作出函数图象如图.(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；解　由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞).(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解　由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}.反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.跟踪训练2　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.解　由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小.解　观察图象，知f(3)－1)是奇函数，则a等于A.－1 B.0C.1 D.无法确定√解析　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.12342.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.√12343.(多选)下列函数是奇函数的是A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2C.y＝ D.y＝x|x|解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.√√12344.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________.0解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数√解析　∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数.2.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为A.0 B.－1 C.1 D.212345678910111213141516解析　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.√12345678910111213141516√∴其图象的对称轴为y轴.123456789101112131415164.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为解析　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)A.－2 B.2 C.1 D.0√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析　∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确.f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确.当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确.12345678910111213141516√√√解析　选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.123456789101112131415167.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_______________________.{x|－5≤x<－2或20时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是_________________.[－3，－1)∪(1,3]解析　因为当00时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.1234567891011121314151610.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；12345678910111213141516解　奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.12345678910111213141516(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.12345678910111213141516解　偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).123456789101112131415综合运用1611.已知f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，那么a＋b等于√12345678910111213141516解析　∵f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，再由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，12345678910111213141516解析　若x是有理数，则－x也是有理数，∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数.√13.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数12345678910111213141516√√√解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数.1234567891011121314151614.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 021x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________.0解析　奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.拓广探究12345678910111213141516故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；12345678910111213141516证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).12345678910111213141516解　由(1)知f(x)为奇函数.所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.