2023年福建省厦门市中考数学二检试卷（含解析）

2023年福建省厦门市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  根据国家统计局发布的数据，年我国人均可支配收入已超元，扣除价格因素，与年相比上涨其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的立体图形的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列点中，在函数的图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在四边形中，，点在边上，平分下列角中，与相等的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某初中校有七、八、九三个年级学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米下列估计最合理的是(    )

A. 该校学生的平均身高约为米 B. 该校七年级学生的平均身高约为米
C. 该校七年级女生的平均身高约为米 D. 该校七年级男生的平均身高约为米

7.  根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度单位：为根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是(    )

A. 小球经过约离地面的高度为
B. 小球离地面的高度为时，经过约
C. 小球经过约离地面的高度为，并将继续上升
D. 小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为

8.  小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的根栅栏，其中根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.  不等式的解集是______ ．

10.  一个不透明盒子中装有个红球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别从该盒子中随机摸出个球，请写出概率为的事件：______ ．

11.  小桐花元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为元支、元本设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程：______ ．

12.  如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长为______ ．

13.  如图，平分于点，点在射线上，且若，，，则的长为______ ．

14.  根据电子平台“班级书屋”上发布的读书笔记的数量单位：篇，某班计划选出全体成员都有较高积极性的“读书明星小组”班委对本班个小组每个小组人数相同的每位成员上学期发布的读书笔记的数量进行统计，结果如表所示．

根据如表，最适合当选为该班“读书明星小组”的是______ ．

15.  在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为______ 用含的式子表示

16.  已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，延长到点，使得，连接交于点证明：是的中点．

19.  本小题分
先化简，再求值：其中．

20.  本小题分
如图，在中，，以点为圆心，为半径作圆，延长交于点．
请在图中作出点关于直线的对称点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，证明：直线与相切．

21.  本小题分
某厂在某车间全体员工中随机抽取名进行生产技能测试，并绘制了这名员工完成规定操作的用时单位：的频数分布直方图，如图所示．

根据如图，请估计这名员工完成规定操作的平均用时；
按该厂的评定标准，此次测试中，仅最后一组被认定为生产技能不达标在该车间随机抽取一名员工，估计事件“该员工的生产技能达标”的概率．

22.  本小题分
某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量单位：万盒随价格单位：元盒变化的大致图象图象由部分双曲线与线段组成，如图所示．
该药品年价格为元盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳人医保，年价格下调至元盒但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与年相同根据已知信息解决下列问题：
求年该药品的年销售量；
该企业年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低为惠及更多患者，该企业计划在年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比年至少增加万元用于制药技术的研发请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由．

23.  本小题分
九章算术句股章一五问“句股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边“句”与较长直角边“股”的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“句容正方形”
其文如下：
题：今有句五步，股十二步，问句中客方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为和，它的“句容正方形”的边长是多少？
答案：．
解法．
根据“句股容方”中描述的直角三角形与其“句容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
应用中的命题解决问题：
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆平面示意图为正方形，并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：展馆平面示意图中的，，，四个点分别落在菱形场地的四条边上；展馆主人口的宽度为去年的规划方案是否可行？请说明理由．

24.  本小题分
点是直线上的定点，等边的边长为，顶点在直线上，从点出发沿着射线方向平移，的延长线与射线交于点，且在平移过程中始终有，连接、、交于点，如图所示．
以为圆心，为半径作圆，交射线于点，
当点在上时，如图所示，求的长；
的半径为，当平移距离为时，判断点与的位置关系，并说明理由；
在平移过程中，是否存在的情形？若存在，请求出此时点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
 

25.  本小题分
抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．
抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是．
若点的坐标为，求点的坐标；
若，
求点与的距离；用含的式子表示
将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、当时，，则点在函数的图象上，所以选项符合题意；
B、当时，，则点不在函数的图象上，所以选项不符合题意；
C、当时，，则点不在函数的图象上，所以选项不符合题意；
D、当时，，则点不在函数的图象上，所以选项不符合题意．
故选：．
分别计算自变量为、、所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知在一次函数图象上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
．
故选：．
根据题意得出，再由平分，即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，通过角平分线的性质找出相等的角是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米，
该校七年级学生的平均身高约为米．
故选：．
根据抽样时要注意样本的代表性和广泛性即可求出结果．
本题主要考查了抽样调查只考查总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，难度适中．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程的两根与，
小球经过约和离地面的高度为，故选项A，不符合题意；
小球上升时经过约离地面的高度为，并将继续上升，小球下降时经过约离地面的高度为，并将继续下降，故选项C不符合题意；
小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为，故选项D符合题意．
故选：．
根据方程的两根与的意义，分别判断即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是理解方程的两根与的意义．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作关于的对称点，连接，交于点，连接，则点所在的木杆应该优先选择．

故选：．
作关于的对称点，连接，的长度是绳子最短的长度，所经过的点就是点就是要选择的木杆．
本题考查了轴对称的性质以及生活中的轴对称现象，通过作轴对称构造两点之间的线段最短是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：移项得，，
系数化为得，．
故答案为：．
先移项，把的系数化为即可．
本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
 

10.【答案】从该盒子中随机摸出个球，恰好是红球的概率 

【解析】解：不透明盒子中装有个红球、个黄球，
从该盒子中随机摸出个球，恰好是红球的概率为，恰好是黄球的概率是，
概率为的事件：从该盒子中随机摸出个球，恰好是红球的概率．
故答案为：从该盒子中随机摸出个球，恰好是红球的概率．
根据概率的意义以及概率公式分析解答即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

11.【答案】 

【解析】解：设小桐购买了支水笔和本笔记本，
根据题意可得：．
故答案为：．
设小桐购买了支水笔和本笔记本，再利用花费元和这两种文具的单价即可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
根据四边形是矩形，，可得是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
则，
平分，，
，，，
，，
，
根据勾股定理，得，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，即可求出的长．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：因为乙和丁两个小组的平均数较高，所以应从乙和丁两个小组中选择一个为该班“读书明星小组”，
又因为乙小组的方差小于丁小组，所以选乙为该班“读书明星小组”．
故答案为：乙．
此题有两个要求：平均成绩较高，状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的小组．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

15.【答案】或 

【解析】解：点，的坐标分别为，，
，轴，
四边形是正方形，
，，
点的坐标为或，
故答案为：或．
根据、的坐标即可求出线段的长度及判断出轴，然后由正方形的性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质、坐标与图形性质，掌握其性质是解决此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
对于范围内的任意自变量，都有，
，
解得，
故答案为：．
由抛物线与轴的交点为，根据对于范围内的任意自变量，都有，即可得出，解不等式组即可求解．
本题考查二次函数图象和系数的关系，根据题意得到关于的不等式组解题关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
又，
．
在与中，
，
≌．
，即是的中点． 

【解析】欲证明是的中点，只需证明≌即可．
本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角或对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式是化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．
如图，点即为所求．
证明：连接，
点与点关于直线的对称，
即为线段的垂直平分线，
，，
为等腰三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切． 

【解析】过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．
连接，由可得，为线段的垂直平分线，进而可得，由，则，即可得，根据切线的判定可得出结论．
本题考查作图轴对称变换、等腰三角形的性质、切线的判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质、切线的判定是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：，
答：估计这名员工完成规定操作的平均用时；
，
答：估计事件“该员工的生产技能达标”的概率为． 

【解析】根据组中值，利用平均数公式计算即可；
根据概率公式计算即可．
本题考查频数率分布直方图、加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键．
 

22.【答案】解：设双曲线的解析式为，
将点代入得，，
，
解析式为，
当时，，
答：年该药品的年销售量为万盒．
设该药成本为元，由题意得，
，
解得，，
年制药利润为万元，
年制药成本为元盒，
设年该药品价格为元盒，则其年销量为万盒，
由题意得，，
解得，，
又，
，
该企业设定该药品价格的范围为：． 

【解析】设双曲线的解析式为，将点代入求出，代入点横坐标即可得结果．
根据，两点可求出该药成本为元，得到年利润，设年该药品价格为元盒，列出不等式求出的范围，又，最后求出结果．
本题考查了反比例函数的应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用，读懂题意，正确找出等量或不等关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；
已知：如图，在中，，，，四边形是正方形，且点，，分别在边，，上，
求证：．
解法一：
证明：如图，四边形是正方形，

，，
∽，
，
，
；
解法二：
如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
去年的规划方案可行，理由如下：
设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，

由题意得：，化简得：，
 如图，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长，
由得：米，
如图，是的中点，

米，
四边形是正方形，
米，，
，
在中，米，
，，
是的中点，
米，
如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，，
在中，，
米，
米，
，
，
在中，，
米，
所以去年的规划方案可行． 

【解析】根据材料中的内容确定命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；正确画图后写出已知和求证，介绍两种解法：一个用相似三角形的性质，一个用面积法，可得结论；
设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，根据菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为列方程组可得：和的值，作辅助线，如图，延长，交于点，根据三角函数定义计算，，由此可解答．
本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数的定义，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，三角形的面积，有难度，掌握三角形的面积是解本题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
是边长为的等边三角形，
，，
，
在中，，
的长；
如图，过点作于点，

是边长为的等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
从点出发沿着射线方向平移，的半径为，
当平移距离为时，，，
，
，
，即，
在中，，
，
，
，，
，即点与上；
如图，过点作于点，

若，则，
由可知，，，，，
设，则，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，即，
，
∽，
，即，
解得：，，
经检验，，是原分式方程的解，
，
，
，
，，
当平移距离为时，，此时点到直线的距离． 

【解析】利用圆周角定理可得，利用等边三角形的性质可得，于是根据三角形内角和定理可求出，则，再利用弧长公式计算即可；
根据三角形内角和定理可求出，则，，再算出，由题意可得，，于是，以此求出，由可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，即点与上；
若，则，由可知，，，，，设，则，，，，由三角形内角和定理可得，由平角的定义可得，于是得到，以此可证明∽，利用相似三角形的性质可求出值即可求解．
本题主要考查圆周角定理、弧长公式、等边三角形的性质、解直角三角形、点与圆的位置关系、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，难度适中，属于中考常考题型，解题关键是：利用圆周角定理求得，利用三角函数求出圆的半径；证明垂直平分；利用三角形内角和定理和平角的定义推出，以此证明∽．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
抛物线与轴交于点，
，
，
将绕点顺时针旋转，点的对应点是．
且点在轴的负半轴上，
；

解：由，
轴且点在抛物线上，
，
点，关于直线对称，
，
，，
过点作轴于点，

将绕点顺时针旋转，点的对应点是，
，，
，，
，，
，
≌，
，，
点在第四象限，
，
点与点的横坐标相等，
，
，

与之间的距离为；

证明：，，，，
，
点在点的上方，
轴，，
四边形是平行四边形，且边在边的下方，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
直线的解析式为，
当时，抛物线记为，解析式，此时顶点为，
将代入中，得，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线在时，从左到右下降；时，从左到右上升，
要证明四边形是抛物线的“非递增四边形”只需要证明当时，抛物线不在四边形内，
，，
，
，
，
当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”．
当时，设，其中，过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，，
对于抛物线，当时，随的增大而增大，
又，
，
当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线的上升部分的下方，则始终在线段的下方，
综上所述，当时，四边形是抛物线的“非递增四边形”． 

【解析】求出点的坐标，可得结论；
证明≌，推出，，由点在第四象限，可得，即可解决问题；
首先判断出四边形是平行四边形，且边在边的下方，求出直线的解析式为，分两种情形：当时，当时，分别证明即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．