数学（人教A版2019C卷）——2022-2023学年高一下学期期末模拟测试卷

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．已知i是复数单位，求=（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】由.

故选：B

2．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：

.

故选：C.

3．在中，内角所对边分别为，已知，则下列选项中正确的是（     ）

A．

B．外接圆的半径为

C．的面积为

D．内切圆的半径为

【答案】B

【详解】，

，即，

又，

，故B正确；

，由可得，故A错误；

所以，故C错误；

设内切圆的半径为，则由面积等积法可知，

解得，故D错误.

故选：B

4．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．1

【答案】B

【详解】由，得，

又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，

所以且，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B.

5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，

在Rt△ABM中，AM＝＝，

在△ACM中，由正弦定理得＝，

所以CM＝＝，

在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.

故选：D.

6．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，因为，所以.

于是（是外接圆的半径），.

又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，

所以球的半径为.

所以球的表面积为，解得.

因此.

于是直三棱柱的表面积是

.

故选：D.

7．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立

C．C与D互斥 D．A与C相互独立

【答案】D

【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；

由，A、D互斥且对立，B错误；

又，，则，C与D不互斥，C错误；

由，，，

所以，即A与C相互独立，D正确.

故选：D

8．已知球的半径为，平面截球所得的截面的半径均为4，若，则平面与平面的夹角的余弦值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意，，故，又平面与的夹角与互补，故平面与的夹角的余弦值为

故选：C

二、多选题

9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则是锐角三角形

B．若，则是钝角三角形

C．若，则

D．若，，，则此三角形有两解

【答案】BCD

【详解】A：由，得，

又，所以角A为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；

B：设，由余弦定理，

得，

又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故B正确；

C：因为，，由正弦定理，

得(R为外接圆半径)，所以，所以，故C正确；

D：由正弦定理，得，即，

得，此时三角形有两解，故D正确.

故选：BCD.

10．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面

B．与异面

C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上

D．与的交点一定在直线上

【答案】AD

【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，

点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，

因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误；

，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M，

点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，

则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，

所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确.

故选：AD.

11．如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ）

A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有

B．若为内一点，且，则是的内心

C．若为内一点，且，则

D．若的垂心在内，是的三条高，则

【答案】ACD

【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；

对A：是等边三角形，设其高为，

则，，，

代入奔驰定理得，，

即，故A正确；

对B：由且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确；

对C：，即，

又，

由平面向量基本定理得，故C正确；

对D：由点是的垂心，则，

所以，同理可得，，，

代入，

得，

即，故D正确；

故选：ACD．

12．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ）

A．设总样本的平均数为，则

B．设总样本的平均数为，则

C．设总样本的方差为，则

D．若，则

【答案】AD

【详解】对于A选项，因为，所以

，即，A正确；

对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；

对于C选项，取第一部分数据为，则，，

取第二部分数据为，则，，则，

，C不正确；

对于D选项，若，则，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______．

【答案】17.5/

【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，

所以第三四分位数为.

故答案为：17.5.

14．已知向量满足，且，则与的夹角为__________.

【答案】/90°

【详解】由题设，则，

所以，则，

又，则.

故答案为：

15．的内角，，的对边分别为，，.已知.则角________.

【答案】

【详解】在中，,

且

，

，

故答案为：.

16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k．已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为，平面，且距离为h，若平面截圆柱体N所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以求出的比值，进而求出环体体积为________．

【答案】

【详解】画出示意图，可得，，

其中，，

故，即，

环体体积为.

故答案为：

四、解答题

17．设是实数，复数，（是虚数单位）．

(1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由已知可得，.

因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有，

解得.

（2）由已知可得，，

所以，

所以，，

所以，当时，有最小值为.

18．在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，且三角形的外接圆半径为．

(1)求的大小；

(2)若的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）在中，，

即，

由余弦定理得，

即，

即，

即，

在中，，则，

又∵，∴；

（2）因为，即，所以，

由正弦定理得，∴，

则

，

由余弦定理得，

∴；

19．如图，在中，，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，设，．

(1)用，表示，．

(2)若，且，求BC的长．

(3)若EF与CD交于点G，求的值．

【答案】(1)

(2)3

(3)

【详解】（1）因为，

；

（2）因为，所以，

所以，由，可得，

所以的长为．

（3）因为，所以,整理得：，

设,

所以,

又因为三点共线，所以，解得: .

所以.

20．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；

(2)求多面体的体积；

(3)求证：平面平面AB1D．

【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

21．某校有高一学生1000人，其中男女生比例为，为获得该校高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4．

(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；

(2)计算总样本方差．

【答案】(1)167；168

(2)37.5

【详解】（1）把男生样本记为，平均数记为，方差记为；

把女生样本记为，平均数记为，方差记为；

把样本数据的平均数记为，方差记为；高一全体学生的身高均值记为.

根据平均数的定义，总样本均值为：；

高一全体学生的身高均值为：；

（2）根据方差的定义，总样本方差为：

，

由，可得：，

同理，.

因此，

所以，总的样本方差为.

22．用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.

图

图

图

(1)若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；

(2)在图中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；

(3)如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.

【答案】(1)证明见解析；

(2)答案见解析；

(3)，证明见解析.

【详解】（1）依题意，，故共面.

面面，面面，面面，

，同理.

又平行四边形，则，

，同理，

四边形是平行四边形.

（2）如图，直线为平面与平面的交线.

（3）猜想：.

不妨将平行四边形平移，使与重合，如图所示.

则面与面的交线即为.

过作于，连接，过作于，连接.

由正投影，则面，又面，故.

又，面，则面，

而面，故，又，

是二面角的平面角，同理是二面角的平面角.

，且，

，

，即.