期末模拟测试卷01-2022-2023学年高一数学下学期期末模拟测试卷（苏教版2019必修第二册）（原卷版+解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷01

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】，

对应点，

由于点在第一象限，

所以，解得.

故选：A

2．下表记录了苏州某个月连续8天的空气质量指数（AQI）.

则这些空气质量指数的分位数为（    ）

A. 24 B. 26 C. 28 D. 31

【答案】B

【解析】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，

又，

所以分位数是．

故选：B．

3．已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】A

【解析】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，，

对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，则，又，则，所以，则，故B正确；

对于C：若，，则，，又，则，所以，则，故C正确；

对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面，

令直线的方向向量为，显然，，

而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确.

故选：A

4．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

【答案】D

【解析】因为，边的中点为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，即，

因为，

所以，，故.

故选：D．

5．已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为，

所以

.

故选：C

6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（    ）

（参考数据：，，，）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），

则（m3），

（m3），

（m3），

所以（m3）．

故选：A．

7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】因为，所以是中点，则是圆直径，，

又，所以是等边三角形，，

设，

则，作于，则，所以，

即为向量在向量上的投影向量，．

故选：A．

8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为（    ）

A 1 B. 3 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】，

，

即，

即，

则，

整理得，

∴，

当且仅当时取等号，

，

则．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（    ）

A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

C. 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

D. 甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18

【答案】ABD

【解析】对于A：统计抽样中每个个体被抽到的概率为样本容量与总体容

量的比值，易知A正确；

对于B：将8个数据按从小到大顺序排列12,14,15,17,19,23,27,30，第70百

分位数的位置为，则第70百分位数为第6个数23，则B正确；

对于C：本组数据的众数和中位数均为3，所以C错误；

对于D：根据统计知识可知甲种个体在样本中所占比例，所以样

本容量为，则D正确.

故选：ABD.

10．一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是（    ）

A. 甲与丁互斥 B. 乙与丙对立

C. 甲与丙互斥 D. 丙与丁独立

【答案】AC

【解析】对于A选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A对；

对于B选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B错；

对于C选项，甲与丙互斥，C对；

对于D选项，分别记事件丙、丁为、，

将个白球分别记为、、，个黑球记为、，

从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、、、、、、、、、，共种，

其中事件包含的基本事件为：、、、、、，共种，

事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，共种，

所以，，，，故丙与丁不独立，D错.

故选：AC.

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（    ）

A. 边上的中线长为

B. 内切圆的面积为

C. 与面积之比为3:2

D. 到的距离为

【答案】BC

【解析】如下图，取边上的中点，

则边上的中线为，则，

，又因为，

则，则.

故A不正确；

因为，设内切圆的为，

，则，则，

内切圆的面积为：，故B正确.

对于C，由角平分线定理知：，所以C正确；

对于D，因为，在三角形和三角形中，

，则，解得：，

所以，所以，

所以，

所以到的距离为：，故D不正确.

故选：BC.

12．如图1所示，在边长为4正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将和分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（    ）

A. PA⊥EF

B. 二面角P－EF－A的余弦值为

C. 直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为

D. 三棱锥P－AEF的外接球的表面积为

【答案】ACD

【解析】根据题意，，，，，平面，故平面，平面，故，故A正确；

取为中点，又，所以

又，故三角形为等腰三角形，连接，则，

根据二面角的定义，显然即为所求二面角，

在三角形中，，

，又，

故，

故二面角的余弦值为，则B错误；

设点到平面的距离为，与平面所成的角为，由平面，,故，因此,因为平面,故是与平面内的所有直线所成的最小的角，故，故C正确

因为，，两两垂直，

故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，

故其外接球半径，

故外接球表面积，故D正确

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.

【答案】900

【解析】由题意可知，高二年级抽取：人    抽样比为：

该校学生总数为：人

故答案为：

14.如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为，则这个漏斗的容积为______.

【答案】

【解析】设圆柱和圆锥的底面积为，圆柱的高为，则，故这个漏斗的容积为

故答案为：

15. 蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料，现取其表面中一个正六边形，它的的边长为2，若点P是正六边形的边上一点，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】如图，以A为坐标原点AB，AE分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则 ,设正六边形的中心为M,则,

设点 ，则 ，

故，

而表示点和的距离的平方，

即，而 ,

当P位于边的中点处取最小值，位于顶点处取值大值，

故，

所以，

故答案为：

16．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.

当三点共线时，则即为的最小值.

在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即

在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.  

同理可求：，因为，所以为等边三角形，所以，

所以在三角形中，,,

由余弦定理得：.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知复数，i为虚数单位.

（1）求和；

（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.

【答案】（1），；（2），．

【解析】（1）复数

，

，．

（2）复数是关于的方程的一个根，

，

，，

，

解得，．

18．已知，，.

（1）若，求；

（2）若，求.

【答案】（1）；    （2）.

【解析】（1）因为，，

所以.

所以

=.

（2）因为，

，

两式相加可得，，，

所以，.

19．为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．

（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；

（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．

【答案】（1）该班级人数为40人，女生成绩在[110，120)的人数为13人    （2）

【解析】

（1）设该班共有名学生，则，解得，

由频率分布直方图知在的人数为，

由折线图知男生在的人数为3，

所以女生在人数为，

∴该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110，120)；

（2）成绩在130分及以上的人数为（人）

其中男生为4人，所以女生2人．

记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．

则样本空间 ， ，

所以．

∴恰有1名男生和1名女生被选中的概率为；

综上，全部共40名学生，成绩在[110，120)的女生人数为13，恰有1名男生和1名女生被选中的概率为.

20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，

①的角平分线交于M，求线段的长；

②若D是线段上点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．

【答案】（1）    （2）①；②

【解析】（1），则，故，所以，因为，

可得，由，所以．

（2）①法一：在与中，

由正弦定理得，

即，故，

所以，

所以

法二：在中，由是的角平分线

所以

由知：

即，解得

②法一：由，得

又

所以．

的取值范围为；

法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则

因为，

所以．

所以

由，得的取值范围为

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．

（1）证明：

（2）若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）如图1，连接BD，

因为四边形ABCD是平行四边形，且，，，

所以，，，

所以，

所以，

所以，所以，

又因为，，BD，PD平面PBD，

所以平面PBD，

因为PB平面PBD，所以，

因为，所以．

（2）在△ABC中，因为，，，则

，

设点A到平面PBC的距离为d，

由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以，

又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，

所以，

因为，所以，

设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，

所以，

在△PBC中，，，，

因为，所以，

所以，

所以，解得，

记直线AC与平面PBC所成角为θ，则，

所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．

22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A的值；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）因为，

所以，

即，

所以或（舍去）．

所以，结合，得．

（2）由（1）得:

．

因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，

即，，所以，

所以，，

所以取值范围是．