卷02——高一数学下学期期末模拟测试卷（北师大版2019）（原卷版+解析版）

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高一年级下学期期末仿真卷02
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin（﹣1080°）＝（　　）
A． B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C
【分析】利用诱导公式即可求解．
【解答】解：sin（﹣1080°）＝﹣sin（3×360°+0°）＝0．
故选：C．
【知识点】运用诱导公式化简求值
2.已知i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：复数＝＝，
∴z的共轭复数＝，
故选：A．
【知识点】复数的运算
3.已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π）则tan（α+）（1﹣tanα）的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【答案】C
【分析】又已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而利用两角和的正切公式化简所求即可求解．
【解答】解：因为sin（α+）＝sin（α+）＝﹣，即cosα＝﹣，
又α∈（0，π）
所以sinα＝，tanα＝﹣，
则tan（α+）＝＝，
所以tan（α+）（1﹣tanα）＝tanα+1＝﹣+1＝．
故选：C．
【知识点】两角和与差的三角函数、同角三角函数间的基本关系
4.已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足＝2，则向量＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得出，然后进行向量的数乘运算求出即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【知识点】向量数乘和线性运算
5.已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面上一点，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以A为原点，AB、AD所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，写出A、B、C、D的坐标，设P（x，y），通过平面向量的坐标运算可得，而的几何意义为圆上的点到点D的距离，从而得解．
【解答】解：以A为原点，AB、AD所在的直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．

设P（x，y），则，＝（1﹣x，1﹣y），＝（﹣x，1﹣y），
∴++＝（2﹣3x，2﹣3y），
∵，
∴（﹣x）（2﹣3x）+（﹣y）（2﹣3y）＝0，即，
∴点P在以为圆心，半径为的圆上，
又表示圆上的点到点D的距离，
∴．
故选：A．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
6.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的体积为，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】计算△ABC的边长得出△ABC所在截面圆的半径，和球O的半径，利用勾股定理计算O到平面ABC的距离，
【解答】解：∵S△ABC＝＝，∴AB＝3，
∵V球＝（OA）3＝，∴OA＝2，
设△ABC的中心为O1，则OO1⊥平面ABC，
由正弦定理可得2O1A＝＝2，∴O1A＝，
∴OO1＝＝1，
即O到平面ABC的距离为1．
故选：C．

【知识点】球的体积和表面积、点、线、面间的距离计算
7.数学中一般用min{a，b}表示a，b中的较小值．关于函数有如下四个命题：
①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的图象关于直线对称；
③f（x）的值域为[﹣2，2]；④f（x）在区间上单调递增．
其中是真命题的是（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【分析】化简得，作出函数的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：令，，
则f（x）＝min{g（x），h（x）}＝
＝，如图所示：

由图知：
则f（x）的最小正周期为2π，故①错误；
f（x）的图象关于直线对称，故②正确；
f（x）的值域为[﹣2，1]，故③错误；
f（x）在区间上单调递增，故④正确．
故选：A．
【知识点】正弦函数的图象
8.如图，三棱锥S﹣ABC中，平面SAC⊥平面ABC，过点B且与AC平行的平面α分别与棱SA、SC交于E，F，若，则下列结论正确的序号为（　　）
①AC∥EF；
②若E，F分别为SA，SC的中点，则四棱锥B﹣AEFC的体积为；
③若E，F分别为SA，SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为；
④SC⊥BE．

A．②③ B．①②④ C．①②③ D．①②
【答案】C
【分析】①由线面平行的性质定理可判断；
②取AC的中点M，连接BM、SM，由面面垂直的性质定理可推出BM⊥平面SAC；由SAEFC＝S△SAC﹣S△SEF计算出底面AEFC的面积；再根据棱锥的体积公式
VB﹣AEFC＝BM•SAEFC即可得解；
③连接MF，由FM∥SA，可推出∠BFM即为BF与SA所成角；在Rt△BMF中，tan∠BFM＝，再求出cos∠BFM的值即可；
④连接EM，由②知，BM⊥平面SAC，故BM⊥SC，再由线面垂直的判定定理可推出SC⊥平面BME，于是有SC⊥EM，这与SC∥EM相矛盾．
【解答】解：①∵AC∥平面BEF，平面SAC∩平面BEF＝EF，AC⊂平面SAC，
∴AC∥EF，即①正确；
②取AC的中点M，连接BM、SM，
∵BA＝BC，∴BM⊥AM，
又平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，
∴BM⊥平面SAC，即点B到平面AEFC的距离为BM＝．
∵SA＝SC＝2，AC＝，∴△SAC为等腰直角三角形，
∴SAEFC＝S△SAC﹣S△SEF＝SA•SC﹣SE•SF＝．
∴VB﹣AEFC＝BM•SAEFC＝××＝，即②正确；

③连接MF，
∵M、F分别为AC、SC的中点，∴FM∥SA，FM＝SA＝1，∴∠BFM即为BF与SA所成角．
在Rt△BMF中，tan∠BFM＝＝＝，
∴cos∠BFM＝，
∴BF与SA所成角的余弦值为，即③正确；
④连接EM，
由②知，BM⊥平面SAC，∴BM⊥SC，
若SC⊥BE，∵BM∩BE＝B，BM、BE⊂平面BME，∴SC⊥平面BME，
又EM⊂平面BME，∴SC⊥EM，这与SC∥EM相矛盾，即④错误．
∴正确的有①②③，
故选：C．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、异面直线及其所成的角

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。
9.已知函数f（x）＝sin（2x+），则（　　）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．点是f（x）的图象的一个对称中心
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）在上单调递增
【答案】ACD
【分析】利用正弦函数的函数值、周期性、单调性以及它的图象的对称性判断各个选项是否正确，从而得出结论
【解答】解：由题易知A正确；
因为，
所以点不是f（x）的图象的一个对称中心，所以B不正确；
f（x）的最小正周期，所以C正确；
当时，，
所以f（x）在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD．
【知识点】正弦函数的图象
10.△ABC中，＝，＝，＝，在下列命题中，是真命题的有（　　）
A．若＞0，则△ABC为锐角三角形
B．若＝0．则△ABC为直角三角形
C．若＝，则△ABC为等腰三角形
D．若（）•（）＝0，则△ABC为直角三角形
【答案】BCD
【分析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，＝，＝，＝，
①若＞0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；
②若＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；
③若＝，•（﹣）＝0，•（﹣）＝0，
•（+）＝0，取AC中点D，则，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确，
④若（）•（）＝0，则2＝（）2，即2+22＝2，即＝﹣cosA，
由余弦定理可得：cosA＝﹣cosA，即cosA＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，即D正确，
综合①②③④可得：
真命题的有BCD，
故选：BCD．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（　　）
A．直线A1E∥平面ACD1 B．直线B1D⊥平面ACD1
C．平面A1EF∥平面ACD1 D．平面A1B1CD⊥平面ACD1
【答案】BD
【分析】利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B；再由平面与平面垂直的判定判断D．
【解答】解：如图，
取CC1 的中点G，连接D1G，EG，可证A1D1＝EG，A1D1∥EG，
得四边形A1EGD1 为平行四边形，则A1E∥D1G，
若直线A1E∥平面ACD1，则D1G∥平面ACD1或D1G⊂平面ACD1，与D1G∩平面ACD1＝D1矛盾，
故A错误；
由正方体的结构特征可得A1B1⊥平面AA1D1D，则A1B1⊥AD1，
又AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面DA1B1，得AD1⊥B1D，
同理可证AC⊥B1D，又AD1∩AC＝A，∴直线B1D⊥平面ACD1，故B正确；
而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1，故D正确；
连接A1C1，A1B，BC1，由A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形AA1C1C为平行四边形，
则A1C1∥AC，∵A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1，
同理AD1∥平面A1BC1，又AC∩AD1＝A，∴平面A1BC1∥平面ACD1，
若平面A1EF∥平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1 重合，则EF⊂平面A1BC1，
与EF∥平面A1BC1矛盾，故C错误．
故选：BD．

【知识点】直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直
12.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则（　　）

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
【答案】ACD
【分析】根据立方八面体和正方体关系求出正方体的棱长，从而可判断A，C，利用平移计算不共面的棱所成角大小判断B，计算相邻的面所成二面角大小判断D．
【解答】解：由题意可知立方八面体的顶点为正方体的棱的中点，
故立方八面体的棱长为正方体相邻两条棱的中点连线，
故正方体的棱长为＝，
由对称性可知立方八面体的外接球球心为正方体的中心，外接球的直径为正方体的面对角线长2，故A正确；
设MN，PQ是立方八面体的两条不共面的棱，如图所示，
则MN∥B1D1，PQ∥AD1，而△AB1D1是等边三角形，故MN与PQ所成角为60°，故B错误；
立方八面体的体积为V＝（）3﹣8××＝，故C正确；
设正方体底面中心为O，连接OC交立方八面体的棱PF于E，连接EQ，显然PF⊥OC，PF⊥QE，
∴∠OEQ为立方八面体的底面正方形与三角形面PQF所成的二面角，
∵立方八面体的棱长为1，∴OE＝，EQ＝，EC＝，
∴cos∠OEQ＝﹣cos∠QEC＝﹣＝﹣，
同理可得立方八面体的相邻两个面的所成二面角的余弦值均为﹣，故D正确．
故选：ACD．

【知识点】二面角的平面角及求法、棱柱、棱锥、棱台的体积、命题的真假判断与应用

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在复平面内，复数6﹣5i与﹣3+2i对应的向量分别是，其中O是原点，则向量的坐标为　　　﹣　　．
【答案】（9，-7）
【分析】由已知求得的坐标，再由向量的坐标减法求解．
【解答】解：由题意，，，
∴＝（6，﹣5）﹣（﹣3，2）＝（9，﹣7）．
∴向量的坐标为（9，﹣7）．
故答案为：（9，﹣7）．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
14.已知函数，那么函数f（x）的最小正周期是　　：若函数f（x）在上具有单调性，且，则φ＝　　．

【分析】利用三角函数的周期计算公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
先利用，得到f（x）的一个对称中心，从而求出符合条件|φ|＜的φ的值，然后再进行检验是否满足函数f（x）在上具有单调性，即可得到答案．
【解答】解：因为函数，
所以，
故函数f（x）的最小正周期是π；
因为，
则函数f（x）的一个对称中心为，即关于点对称，
令2×+φ＝kπ，解得φ＝，
又因为，
故φ＝，
当时，，
当x∈时，，
又函数y＝sinx在上不是单调函数，
故函数f（x）在上不具有单调性，不符合题意；
故．
【知识点】三角函数的周期性
15.已知四棱锥V﹣ABCD的底面ABCD为正方形，且顶点V在底面的射影为ABCD的中心，若该棱锥的五个顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的半径为　　　　　　．
【答案】
【分析】由题意知四棱锥V﹣ABCD为正四棱锥，球心在PH上，在Rt△OHD中求出R．
【解答】
解：由题意知四棱锥V﹣ABCD为正四棱锥，球心O在PH上，连接OD，
在Rt△OHD中DH＝，OH＝4﹣R，OD＝R，所以（4﹣R）2+2＝R2，所以R＝．
故答案为：．
【知识点】球的体积和表面积、球内接多面体
16.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足＝（m∈R），则的值是　　．


【分析】整理＝（1﹣）+λ＝+m，求出m，再代入计算即可
【解答】解：＝+λ＝+λ（）＝+λ（﹣）＝（1﹣）+λ＝+m，
则，解得m＝，
故＝+，
所以＝（+）•（﹣）＝﹣2+2﹣＝﹣×9+×4﹣×3×2×＝﹣，
故答案为：﹣．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。
17.计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）先把分子变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1）
＝（）（1+i）
＝（）（1+i）
＝；
（2）
＝
＝＝．
【知识点】复数的运算
18.（1）求的值；
（2）已知tanα＝2，求．
【分析】（1）利用指数及对数的运算性质，化简求解即可．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，化简求解即可．
【解答】解：（1）＝4+lg3﹣3﹣lg3＝1；
（2）因为tanα＝2，
所以＝
＝＝＝﹣．
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值、运用诱导公式化简求值、对数的运算性质
19.如图，在△OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足＝，Q是OB中点．
（Ⅰ）若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，求的坐标和模？
（Ⅱ）若AQ与OP的交点为M，又＝t，求实数t的值．

【分析】（Ⅰ）根据题意，＝，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，
（II）由，然后结合向量的线性表示可转化为＝，再结合＝t＝t（），结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，Q是OB中点，即OQ＝，
又ON＝，且A（1，3），B（），
若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，
可知＝（），＝（），
∴＝＝（1，﹣1），
且||＝＝，
（II）因为，
所以＝，可以化简为：＝，
又＝t＝t（），
不妨再设，即＝，
所以＝（1﹣μ）+①，
由Q是OB的中点，所以，
即＝（1﹣μ）+②，
由①②，可得1﹣μ＝，，
联立得t＝．
【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理
20.在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝﹣．
（1）求sinA的值．
（2）求的值．
【分析】（1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；
（2）可以求出，然后根据cosC＝cos[π﹣（A+B）]即可求出cosC＝，从而由进行数量积的运算即可求出答案．
【解答】解：（1）如图，
∵，∴，
又AC＝4，BC＝3，
∴根据正弦定理得，，解得；
（2）∵，
∴，
∴cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝，
∴
＝
＝
＝．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

21.已知函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣a（ω＞0）的最小正周期为4π，最大值为1．
（1）求ω，a的值，并求f（x）的单凋递增区间；
（2）将f（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移单位，得到g（x）的图象．若x∈（0，π），求满足g（x）≥的x的取值范围．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数图象和性质，求得满足g（x）≥的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣a＝sin2ωx+﹣a
＝sin（2ωx+）+﹣a （ω＞0）的最小正周期为＝4π，∴ω＝．
根据她的最大值为1+﹣a＝1，可得a＝，故f（x）＝sin（x+）．
令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，
可得f（x）的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
（2）将f（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，可得y＝sin（x+） 的图象；
再将得到的图象上所有点向右平移单位，得到g（x）＝sin（x﹣+）＝sin（x﹣） 的图象．
g（x）≥，即sin（x﹣）≥，可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，
可得x的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
【知识点】两角和与差的三角函数、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

22.函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0）的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标
伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若方程2g（x）+m＝0在上有两个不相等的实根，求m的范围．

【分析】（1）根据三角形的面积，以及函数的图形求出ω 和φ的值即可求出函数的解析式．
（2）利用三角函数的图象变换关系，结合函数与方程的关系转化为两个函数的相交问题，利用三角换元法结合数形结合进行转化求解即可．
【解答】解：（1）△MBC的高为2，
∵△MBC的面积为，
∴|BC|×2＝，得|BC|＝，即＝，
则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x+φ），
∵f（0）＝2sinφ＝，∴sinφ＝，
∵0，∴φ＝，即函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+）．
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+），
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）＝2sin（x+），
由2g（x）+m＝0得g（x）＝﹣，
若，则x∈[，π]，x+∈[，]，
设t＝x+，则t∈[，]，则g（x）等价为y＝2sint，
作出函数y＝2sint在t∈[，]上的图象如图：
当t＝时，y＝2sin＝，
当t＝时，y＝2sin＝2，
要使方程2g（x）+m＝0在上有两个不相等的实根，
则≤﹣＜2，得﹣4＜m≤﹣2，
即实数m的取值范围是﹣4＜m≤﹣2．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式