期末专题07 复数综合-【备战期末必刷真题】高一下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考湖南专用）

期末专题07 复数综合

一、单选题

1．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）复数的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】根据复数的概念即可求得答案.

【详解】由复数的概念可知，1-3i的虚部是-3.

故选：C.

2．（2022春·湖南长沙·高一统考期末）复数的虚部为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据虚数的乘法运算法则和实部虚部的定义即可得答案.

【详解】解：由题意得：

其根据实部虚部的定义可知实部为1，虚部为2

故选：A

3．（2022春·湖南永州·高一统考期末）复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共轭复数的概念判断即可；

【详解】解：复数的共轭复数是.

故选：A

4．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知为虚数单位，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法法则直接计算即可.

【详解】，

故选：D

5．（2022春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）设复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】A

【分析】利用复数求模长公式进行计算.

【详解】.

故选：A

6．（2022春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知复数满足(其中为虚数单位)，则（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得，然后利用复数模的公式计算．

【详解】因为，

所以.

故选：.

7．（2022春·湖南·高一校联考期末）已知复数，则的虚部为（    ）

A．2 B．11 C． D．

【答案】C

【分析】利用复数乘法求出，即可确定其虚部.

【详解】因为，所以的虚部.

故选：C

8．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算算出，然后可得答案.

【详解】由题意得，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．

故选：A

9．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由复数满足，可得.

故选：D.

10．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数的乘法将其化为复数的代数形式，求出其对应的点的坐标，即可得复数对应的点所在的象限.

【详解】，其对应的点的坐标为，位于第三象限.

故选：C

11．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）已知，则|z|＝（    ）

A．2 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法的法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】由，

所以，

故选：C

12．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）设，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得；

【详解】解：因为，所以；

故选：D

13．（2022春·湖南郴州·高一统考期末）已知，则的虚部为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】先求出共轭复数，再求出其虚部即可

【详解】因为，

所以，

所以的虚部为3，

故选：C

14．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解.

【详解】因为，

在复平面内对应的点在第三象限，

，解得.

故选：A.

15．（2022春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知复数，其中是虚数单位，则复数|z|等于（    ）

A．3 B．2 C．10 D．

【答案】D

【分析】根据复数的乘法与模长公式求解即可

【详解】，故

故选：D

16．（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校联考期末）设，为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数；

【详解】解：，

，

故选：B．

17．（2022春·湖南长沙·高一湘府中学校考期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解.

【详解】因为是关于的方程在复数范围内的一个根，

所以关于的方程的另一个根为，

由韦达定理，得，解得，或（舍），

所以.

故选：A.

18．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将整理得，根据复数的除法运算，可求出z，即得答案.

【详解】根据，

可得，

故选：D.

二、多选题

19．（2022春·湖南郴州·高一统考期末）若复数z满足，则（    ）

A． B．z的实部为1 C． D．

【答案】BD

【分析】根据复数的模长公式以及除法运算可得，进而可判断A,B,根据共轭复数可判断C，根据乘方运算，可判断D.

【详解】由得：，因此A错误，实部为1，则B正确，，故C错误，，故D正确.

故选:BD

20．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为-1 B．

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

【答案】AB

【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.

【详解】因为，

对于A：的虚部为，正确；

对于B：模长，正确；

对于C：因为，故不是纯虚数，C不正确；

对于D：的共轭复数为，D不正确.

故选：AB.

21．（2022春·湖南衡阳·高一校联考期末）已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（    ）

A． B．

C． D．复数的虚部为

【答案】AC

【分析】由题意，根据为纯虚数，求得m值，根据求模公式、共轭复数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】由题可知，

对于A：因为为纯虚数，所以，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：复数的虚部为，故D错误.

故选：.

22．（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校联考期末）下列命题中正确的是（    ）

A．已知平面向量满足，则

B．已知复数z满足，则

C．已知平面向量，满足，则

D．已知复数，满足，则

【答案】ABC

【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.

【详解】因为，所以A正确；

设，则，因为，所以，

所以，所以B正确；

因为，所以，即，所以C正确；

因为，然而，所以D不正确.

故选：ABC.

23．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ）

A．若复数z满足，则复数z对应的点在以 为圆心，为半径的圆上

B．若复数z满足，则复数

C．若复数，满足，则

D．若复数，满足，则

【答案】BC

【分析】根据复数模的几何意义可判断A；设，根据列式求得a,b，即得复数z，判断B；根据复数的模相等，结合复数与其共轭复数的积的运算，判断C；举反例判断D.

【详解】对于A，满足的复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故错误；

对于B,设，则，

由，得，

故 ，解得 ，B正确

对于C,设，

若，则，

即，所以，所以C正确；

对于，若，则，而，所以错误.

故选:.

24．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）已知复数，且为纯虚数，，则（    ）

A． B．

C． D．的共扼复数为

【答案】AD

【分析】先由为纯虚数，，求出的值，然后逐个分析判断即可

【详解】由为纯虚数，得，且，

由，

得，且，得，

所以的共轭复数为，

所以AD正确，BC错误，

故选：AD

25．（2022春·湖南长沙·高一湘府中学校考期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．点在复平面上的坐标为 B．

C．的最大值为 D．的最小值为1

【答案】ABC

【分析】复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，可得．复数满足，可得对应的点的轨迹为：以为圆心，1为半径的圆．因此的最大值为；的最小值为．

【详解】复数在复平面内对应的点为，则，．

复数满足，则对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．

∴的最大值为；

的最小值为．

综上可得：ABC正确，D不正确．

故选：ABC．

26．（2022春·湖南·高一校联考期末）已知复数，则（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若为纯虚数，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】直接计算，判断选项A，B；由为纯虚数，解得，即可判断C；由复数相等列方程求出a，即可判断D.

【详解】若，则正确，错误.

，若为纯虚数，则，解得正确.

，则，解得，D错误.

故选：AC

27．（2022春·湖南·高一校联考期末）下列命题中正确的是（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数满足，则

【答案】ACD

【分析】利用复数分类可判断AB；利用，分、讨论可判断C；利用复数的分类可判断D.

【详解】设复数，是虚单位.

对于A，由得，则，所以A正确；

对于B，取，可得，所以B不正确；

对于C，由，故ab=0,

若则，，所以

若，则，所以C正确；

对于D，因为，由得，，所以D正确.

故选：ACD.

28．（2022春·湖南永州·高一统考期末）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A．在复平面内对应的点位于第三象限

B．若是纯虚数，那么

C．

D．若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则

【答案】BC

【分析】利用复数的几何意义可判断AD选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的乘法可判断C选项.

【详解】对于A选项，在复平面内对应的点（-3,2）位于第二象限，A错；

对于B选项，为纯虚数，则，可得，B对；

对于C选项，，C对；

对于D选项，由已知可得，，则，

所以，，D错.

故选：BC.

29．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）下列命题为真命题的是（    ）

A．复数的虚部为

B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限

C．若i为虚数单位，n为正整数，则

D．复数z是方程的一个根，则

【答案】ACD

【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；求得复数z的模的值判断选项D.

【详解】选项A：复数的虚部为.判断正确；

选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，

对应的点的坐标为，位于第二象限.判断错误；

选项C：.判断正确；

选项D：复数z是方程的一个根，

则，或，则.判断正确.

故选：ACD

三、填空题

30．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）______________．

【答案】##

【分析】利用复数的除法化简可得结果.

【详解】由题意可得.

故答案为：.

31．（2022春·湖南·高一校联考期末）复数的共轭复数是________.

【答案】##

【分析】由复数的除法法则与共轭复数的定义求解即可

【详解】因为，

所以复数的共轭复数是，

故答案为：

32．（2022春·湖南衡阳·高一校联考期末）已知是关于的方程的根，则___________.

【答案】9

【分析】代入方程的根，根据复数相等的条件求解即可

【详解】由题可知，即，所以解得所以

故答案为：9

33．（2022春·湖南·高一校联考期末）设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.

【答案】

【解析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.

【详解】,

.

故答案为：

【点睛】本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.

34．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知i是虚数单位，若是关于的方程的一个根，则实数___________.

【答案】

【分析】将代入，求解即可.

【详解】解：由题意知：是方程的一个根，

将代入，得：，

即，

解得：.

故答案为：.

35．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）___________．

【答案】0

【分析】由复数的乘法运算即可求得答案.

【详解】由题意，原式=.

故答案为：0.

36．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）关于的方程有实根，则实数的值为__________．

【答案】

【分析】设为方程的实根，代入方程中化简，然后利用复数相等的条件可求出实数的值

【详解】设为方程的实根，则，

的以，

所以，

所以，得，

所以，

故答案为：

四、解答题

37．（2022春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）已知复数，，i为虚数单位．

(1)若，求z的共轭复数；

(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由复数除法运算化简求出，即可得出共轭复数；

（2）先求出，根据象限列出不等式即可求出.

（1）

由，所以；

（2）

由题意，复数，，则，    

 ∵复数在复平面上对应的点在第一象限，

∴解得，

∴实数a的取值范围．

38．（2022春·湖南长沙·高一湘府中学校考期末）已知复数．

(1)当复数为纯虚数时，求实数m值；

(2)当复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据复数的类型来求参数即可；

（2）结合复数的几何意义，根据所在象限求参即可.

(1)

当复数为纯虚数时，解得．

(2)

当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，解得1．

39．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）已知复数在复平面内对应的点为Z．

(1)若，求（为z的共轭复数）；

(2)若点Z在直线上，求．

【答案】(1)29；

(2)或.

【分析】（1）根据复数的乘法运算即可求得答案；

（2）根据题意可知，进而解出m，最后求出复数的模.

(1)

若，此时，．

.

(2)

若点Z在直线上，则，即，

解得：或，此时或．

或．

40．（2022春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.

【答案】(1)|z|＝1，.

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围；

（2）根据复数除法的运算法则求出μ＝，结合（1）问结论即可证明.

【详解】（1）解：因为z是虚数，所以设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，

则ω＝z＋＝(x＋y)＋＝x＋y＋＝＋，

因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，即x2＋y2＝1，

所以|z|＝，此时ω＝2x，

又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－<x<1，

所以复数z的实部的取值范围是；

（2）证明：μ＝＝＝＝，

又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－i，

因为y≠0，所以μ为纯虚数.