高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画教案

《实际问题的函数刻画(2)》教学设计

1.学习在实际情境中确认与问题相关的因素，把握各因素之间的关系，提高阅读理解的能力．

2. 学习用数学表达实际问题中因素之间的关系，体会数学的应用价值．

重点：分析实际问题中各相关因素之间的关系，建立刻画实际问题的函数模型．

难点：建立刻画实际问题的函数模型．

一、情境导入

情境：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？

依照生活经验，如果一把椅子没放稳，只需前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了，也就是说答案应该是肯定的．你能否用函数的观点来给出理性的解释？

设计意图：通过生活中的实际情境，激发学生的好奇心和求知欲，为接下来从函数的角度分析实际问题铺垫．

二、新知探究

问题1：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？你能否用函数的观点来解释？

探究：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形，对角线的交点为；以点为旋转中心，初始位置的转过角时，记，两点与地面距离之和为，，两点与地面距离之和为．因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有•．记，显然函数的图象是不间断的曲线．

对于初始位置，不妨设，，则．

追问1：椅子逆时针旋转，点转到点，你能判断此时的符号吗？

答案：，，所以．

于是，根据函数零点存在定理，可知在区间上存在，使得，即，所以这把椅子四脚能够同时落地放稳．

这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性．另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释．

注意：当不易建立起函数模型时，可根据实际问题中变量的变化规律，或结合图形的变化趋势进行分析，找出实际问题的解．

问题2：通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的关系如下：

探究：根据上表，你能从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的关系吗？

①，②，③

答案：由表可得，随着的值的增大，的值先减小后增大，而所给的三个函数中，和显然都是单调函数，不满足题意，

因此，选取函数最恰当．

追问：利用你所选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

答案：把，，代入中，得

，，

，，，

，

当时，取得最小值，，

该纪念章市场价最低时的上市天数为，最低价格为元．

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义进行求解．

设计意图：提升学生的阅读能力，帮助学生理解生产实际情境，明确解决问题的价值．

　　三、应用举例

例1: 18世纪70年代，德国科学家戴维-提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：

他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？

解：由数值对应表作散点图如图：

根据散点图可设，

代入前3个数据可得：，，．

所以．

将，，代入检验，，．刚好符合．

所以，．

故谷神星、天王星距离太阳的距离分别为，个天文单位．

例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，．

为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度（单位：）与油料量（单位：）的对照表，该表的油料液面高度取值从开始，最大为，间隔．（取，油料量精确到）

解：如图，油槽截面的油料液面线为，记油料液面高度时的油料的面积为．

依题意知：．

．

这里，于是可得到油料的液面高度与油料量的对照表．

四、课堂练习

1．某广告公司要为客户设计一幅周长为（单位：）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

2．某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：C）满足函数关系（为无理数自然对数的底数，k、为常数）．若该食品在C的保鲜时间是，在C的保鲜时间是，则该食品在C的保鲜时间是________．

参考答案：

1.设矩形的一边长为，广告牌面积为，则S＝－(x－)2＋，x∈(0，)．

当x＝时，S取到最大值，且Smax＝．

所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．

2. 解：根据题意，当时，，所以，即．

当时，，所以，即，则．

所以该食品在33C的保鲜时间为，即24 h．

　　五、课堂小结

1．本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画．

（1）认真读题，仔细审题．

（2）引进数学符号，建立数学模型．

（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题．

2．应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题．

六、布置作业

教材第页练习第1题．