高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念教案及反思

  《指数函数的图象和性质(1)》教学设计

1．理解指数函数的概念、图象和性质．

2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法．

重点：指数函数的概念和性质．

难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小．

一、新课导入

情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”这句话告诉我们什么道理呢?

假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样?两年后、三年后会怎样?怎么计算?

答案：一天后是1.01，两天后是，三天后是，一年后是．

我们用变量x表示天数，那么你获取的知识量y与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢?

答案：．

假设知识的减少量也按照每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么?

答案：．

计算一下，一个月你减少了多少?一年后你还剩下多少?

答案：一个月30天减少了，一年365天后还剩下．

情境2．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”你能用一个函数来描述它吗?

答案：．

二、新知探究

问题1：上述三个函数有何共同特征?

答案：以上三个函数都可以写成的形式．

问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗?

答案：一般地，我们把形如()的函数叫作指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R．

问题3：请同学们想一想，为何规定?

答案：若则有些函数在实数范围内没有意义，比如，当此时函数为无意义；当a=1时，函数值永远都等于1，研究这样的固定不变量没有价值．

问题4：如何讨论一个函数的性质，用什么方法?从什么角度?

答案：华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们需要结合函数图象，利用数形结合法研究函数的性质．

问题5：指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢?首先让我们研究一下底数大于1的情形．

学生活动：

探究1．请同学们自己按照列表、描点、连线的步骤，借用所给的部分数据，先分别画出函数的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较．

（给出部分数据，便于学生进行描点．投影学生所作的图象，增强学生学习的信心．）

实例分析：先分析一个具体的指数函数．

列表、描点、连线，画出函数的图象

    从图象可以看出：

函数的图象位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．

由此得到函数的性质：函数在R上是增函数，且值域是(0，)．

再分析函数列表、描点﹑连线，画出函数的图象．

从图象可以看出：

函数的图象也是位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．

由此得到函数的性质：函数y=3在R上是增函数，且值域是(0，+oo)．

由此可见函数与的性质是完全一样的．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可以看出：

在y轴左侧，函数的图象在函数的图象下方；在y轴右侧，函数的图象在函数的图象上方．

探究2． 当时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢?是上升的还是下降的呢?

用几何画板动态演示，观察随着的变化图象的变化趋势．

得出结论：当底数时，指数函数的图象从左向右看是上升的，而且底数越大，图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴．

对于函数和：

当时，；

当时，；

当时，．

探究3．你能根据函数图象写出指数函数的性质吗?小组进行讨论．

学生观察图象得出性质如下表：

三、应用举例

例1指出下列函数中，哪些是指数函数?

（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）．

答案：(2)(6)是指数函数，其余均不满足()这种形式．

设计意图：熟练掌握指数函数的解析式，理解指数函数的概念．

例2比较下列各题中两个值的大小；

（1）；（2），；（3），.

答案：(1)因为函数在R上是增函数，且0.80.7，所以；

(2)因为函数在R上是增函数，且，所以；

(3)因为函数在R上是增函数，且0.30，所以；

因为函数在R上是增函数，且<0，所以<；因此，．

设计意图：通过比较幂值的大小，进一步理解指数函数的单调性．

例3 (1)求使不等式成立的实数的集合；(2)已知方程，求实数的值．

解：(1)因为，所以原不等式可化为．

因为函数在R上是增函数，所以，即，

因此，使不等式成立的实数的集合是( )．

（2）因为，所以原方程可化为．

因为在R上是增函数，所以，即．

四、课堂练习

1．某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个一直分裂下去，请写出得到的细胞个数y与分裂次数之间的函数关系式．

2．若函数是指数函数，求实数．

3．比较下列各题中两个数的大小：（1）；（2），.

参考答案：

1.解：分裂个数，为分裂次数．

2.解：因为函数是指数函数，则，

解得2．

3．解：(1)因为函数在R上是增函数，且-2.1-2.7，所以；

(2)因为函数在R上是增函数，且，所以．

五、课堂小结

1．指数函数的概念：一般地，我们把形如()的函数叫作指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R．

2．指数函数（）时的图象和性质．

六、布置作业

教材第89页习题3-3A 组第1题．