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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念习题ppt课件
展开重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
探究点一 解指数方程或不等式
解 要使函数 有意义,则ax-2-1≥0,即ax-2≥1.当a>1时,由ax-2≥a0知x-2≥0,得x≥2;当0
A.{-1,0}B.{1}C.{0}D.{0,1}
解析∴3-1<3x+1<32,∵y=3x在R上为增函数,∴-1
探究点二 与指数函数有关的定义域、值域问题
【例2】 求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知x-4≠0,∴x≠4,∴函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).∴函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
规律方法 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)的定义域由t=ax的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求 型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出y=at(t∈A)的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域.(3)利用均值不等式求与指数函数有关的值域问题.
变式训练2求下列函数的定义域和值域:
解 (1)由题意知,定义域为R.∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
探究点三 指数型复合函数的单调性
解 设u=x2+2(a-1)x+2,指数函数 在R上为减函数,根据复合函数单调性同增异减的原则可知函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减.由于函数u=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为直线x=1-a,要使函数u=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则4≤1-a,即a≤-3.故a的取值范围为(-∞,-3].
变式探究本例(1)中函数改为“ ”呢?
解 类似于例(1)的解法,设u=x2-2x+3,则该函数在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.又y=3u在R上是增函数,∴函数 的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1].
规律方法 指数型复合函数单调性的判断方法令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上单调递增;如果两者的单调性不同(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)在区间[m,n]上单调递减.
探究点四 指数型复合函数的奇偶性
【例4】 判断函数 的奇偶性.
规律方法 指数型复合函数奇偶性的判断方法及常用结论指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的复合函数可以具有奇偶性,其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.结论:若a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax-a-x,g(x)= 都是奇函数.
变式训练3若函数 (a∈R)为奇函数,则a的值为 .
解析 函数f(x)的定义域为R,又函数f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,解得a=1.
1.知识清单:(1)解指数方程或不等式;(2)求与指数函数有关的定义域和值域;(3)指数型复合函数的单调性与奇偶性.2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法、换元法.3.常见误区:求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0;利用单调性解决问题时,易忽视对底数的讨论.
1.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},则M∩N=( )A.(1,2)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)
2.已知2x>21-x,则x的取值范围是( )
解析 ∵2x>21-x,∴x>1-x,即x> .
3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是 .
解析 ∵y=f(x)是奇函数,∴f(-8)=-f(8)= =-4.
4.函数 的定义域是 ,值域是 .
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