新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 再练一课(范围：§5.5) (含解析)

再练一课(范围：§5.5)

1．化简sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°得(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.

2．函数y＝2cos2－1是(　　)

A．最小正周期为π的偶函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

答案　C

解析　y＝2cos2－1＝cos＝－sin 2x，显然是奇函数，最小正周期为π.

3．已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，则α＋β的值为(　　)

A.或－   B．－

C．－或   D．－

答案　B

解析　由题意可得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4；

所以tan(α＋β)＝＝＝；

因为α，β∈，tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，

所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)．

因为tan(α＋β)＝，所以α＋β＝－.

4．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β

B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β

C．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

D．存在这样的α和β的值，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β

答案　ACD

解析　对于A，当α＝β＝0时，cos(0＋0)＝cos 0cos 0＋sin 0sin 0＝1，故正确；

对于B，当α＝β＝2kπ(k∈Z)时，sin α＝sin β＝0，cos α＝cos β＝1，cos(α＋β)＝1，则cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin α·sin β，故错误；

对于C，对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin α·sin β，这是两角和的余弦公式，故正确；

对于D，当α＝0，β＝时使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故正确，故选ACD.

5．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x．设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　　)

A．a<b<c   B．b<c<a

C．c<b<a   D．c<a<b

答案　D

解析　由已知得函数f(x)在上单调递增．

因为π－2∈，π－3∈，π－3<1<π－2，

所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，

即f(3)<f(1)<f(2)，c<a<b.

6．已知cos α＝－且π<α<，则sin ＝________.

答案　

解析　已知cos α＝－且π<α<，

根据二倍角公式得到cos α＝1－2sin2⇒sin2＝，

因为π<α<，故<<，sin>0，

故sin ＝.

7．若方程sin x－cos x＝c有实数解，则c的取值范围是________．

答案　[－2,2]

解析　关于x的方程sin x－cos x＝c有解，

即c＝sin x－cos x＝2sin有解，

由于x为实数，则2sin∈[－2,2]，

故有－2≤c≤2.

8．化简：＝________.

答案　tan 

解析　

＝

＝＝tan .

9．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，，求cos ＋sin ＋tan 的值．

解　依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，

所以cos ＋sin ＋tan 

＝＋＋

＝＋＋＝.

10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在上的单调区间．

解　由已知得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1

＝sin＋1.

(1)函数的最小正周期T＝＝π.

(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

又x∈，∴ x∈，

∴f(x)的单调递增区间为，

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，又x∈，∴x∈，

∴f(x)的单调递减区间为.

11．若sin＝，则cos等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

答案　A

解析　因为sin＝，＋

＝，所以cos＝sin＝；

cos＝cos 2＝2cos2－1

＝－.

12．函数y＝2sin xcos x－cos 2x的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　D

解析　y＝2sin xcos x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x

＝2sin，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得，

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数的单调递增区间是(k∈Z)．

13．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于(　　)

A．－  B.  C．－a  D．a

答案　C

解析　sin(α＋β)sin(α－β)

＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)

＝sin2αcos2β－cos2αsin2β

＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)

＝cos2β－cos2α＝－a.

14．若＝，则sin α＋cos α的值为________．

答案　

解析　∵＝tan ＝，

∴sin α＋cos α＝＋

＝＝.

15．设当x＝x0时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos x0＝________.

答案　－

解析　由辅助角公式，得f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.由x＝x0时，函数f(x)取得最大值，得sin(x0－φ)＝1，x0－φ＝2kπ＋(k∈Z)，即x0＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，所以cos x0＝cos＝－sin φ＝－.

16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝______，并证明你的结论．

(参考公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β，

sin 2α＝2sin αcos α，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α)

解　(1)选择②式：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°

＝1－sin 30°＝，

所以该常数为.

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝，

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋2－sin α

＝sin2α＋cos2α－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.