新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 微专题6 三角函数中的最值问题(含解析)

微专题6　三角函数中的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变换及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题．

一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题

例1　(1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________．

答案　[－4,5]

解析　f(x)＝3sin x＋4cos x＝5

＝5sin(x＋φ)，

其中cos φ＝，sin φ＝，0<φ<.

∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ.

∴当x＋φ＝时，f(x)max＝5；

当x＋φ＝π＋φ时，

f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.

∴f(x)的值域为[－4,5]．

(2)已知函数f(x)＝2sin－1，x∈，则当x＝________时，f(x)取得最小值，且最小值为________．

答案　－　－3

解析　∵x∈，

∴－π≤2x－≤，

由正弦函数图象(图略)知，

当2x－＝－，

即x＝－时，f(x)min＝－3.

反思感悟　化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．

二、可化为y＝f(sin x)型的值域问题

例2　函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

答案　C

解析　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.

设t＝sin x，则－1≤t≤1，

所以原函数可以化为

y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，

所以当t＝时，函数y取得最大值为.故选C.

反思感悟　可化为y＝f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域．

三、含sin x±cos x，sin xcos x的最值问题

例3　求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域．

解　令t＝sin x＋cos x，则有

t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝.

∴y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.

又t＝sin x＋cos x＝sin，

∴－≤t≤.

故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．

从而知f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.

故函数的值域为.

反思感悟　通常采用换元的方法，令sin x±cos x＝t，将sin xcos x转化为关于t的解析式，利用二次函数求最值，但要注意换元后变量的取值范围．

四、函数图象平移距离的最小值

例4　将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为.故选D.

反思感悟　函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．

五、ω的最值

例5　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，f ＝1，当φ＝ω时f(x)在区间上单调递增，求ω的最大值和最小值之和．

解　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，f ＝±，f ＝1.

当－π＝时，T取最大值．此时ω最小，ωmin＝2.

当φ＝ω时，f(x)＝sin＝sin ω，

函数f(x)＝sin ω的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝sin ωx在区间上单调递增，

故只要即ω≤4.

综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.

反思感悟　根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围．