【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题25《函数的单调性与最值》讲学案

函数的单调性与最值

一、函数的单调性

 1． 增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间上是增函数；

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.

2． 单调性与单调区间

（1）单调区间的定义

如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间；

④有的函数不具有单调性.

(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

3． 函数的最大（小）值

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

①对于任意的，都有（或）；

②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.

①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；

②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；

③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；

④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.

4. 证明函数单调性的步骤

(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.

5. 函数单调性的判断方法

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.

二、基本初等函数的单调性

1． 正比例函数

当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.

2． 一次函数

当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.

3． 反比例函数

当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；

当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.

4． 二次函数

若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；

若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．

三、一些常见结论

(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.

例1：函数的单调性

已知：函数，讨论的单调性.

【解答】见解析

【解析】设、是定义域上的任意实数，且，则

①当时，，，

，故，即，

∴时有，

在区间上是增函数.

②当时，

，，

∵，

，

故，即f(x1)-f(x2)>0

∴时有，

在区间上时减函数，

同理：函数在区间是减函数, 函数 在区间是增函数.

例2：求函数的单调区间

判断下列函数的单调区间；

(1) ；  (2)

【解答】（1）在上递减，在 上递增，在上递减，在上递增；

（2）在 上递减，在上递增.

【解析】(1)由图象对称性，画出草图

∴在上递减，在 上递增，在上递减，在上递增.

(2) ，

∴图象为

∴在 上递增，在上递增.

例3：单调性的应用

已知函数是定义域为的单调增函数．

（1）比较与的大小；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】（1）；（2）或．

【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．

（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．

巩固练习

一、单选题

1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（       ）

A． B． C． D．

2．若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．已知，则x的取值范围为（       ）

A． B． C．(0，2) D．R

4．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．下列函数中，在区间上单调递增的是（        ）

A． B． C． D．

6．已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数在上单调递增，且，，则（       ）

A．的图象关于对称 B．

C． D．不等式的解集为

8．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（       ）

A． B．1 C．3 D．5

三、填空题

9．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．

10．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.

11．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.

12．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.

四、解答题

13．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数k的值；

（2）若函数在区间上不单调，求实数k的取值范围．

14．若是定义在上的增函数，且对一切，满足．

（1）求的值；

（2）若，求不等式的解集．

15．已知函数，且，．

（1）求函数的解析式；

（2）求证：函数在上为增函数．

16．已知函数.

（1）当时，判断的单调性并证明；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围.

17．已知函数．

（1）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；

（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．

18．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值.