高一下学期期末模拟试卷1（平面向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

这是一份高一下学期期末模拟试卷1（平面向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册），文件包含高一下学期期末模拟试卷1平面向量--概率解析版docx、高一下学期期末模拟试卷1平面向量--概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

阶段检测：期末模拟试卷1（平面向量--概率）

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若为虚数单位，则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念即可得答案.
【详解】，其虚部为．
故选：D．
2．数据，，，，，，，的30%分位数为（    ）
A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3
【答案】D
【分析】利用百分位数定义求解.
【详解】数据已从小到大排列，共8个数，
，
即该组数据的第30百分位数是从左往右第三个数，
故选：D.
3．已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】利用面面平行具有传递性的性质，可判断A 选项；利用面面平行与垂直的性质，可判断B选项；利用面面平行的性质定理可判断C、D选项；
【详解】对于选项，，则，故A正确；
对于B选项，，则，故B正确；
对于选项，，则或，故C错误；
对于D选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故正确.
故选：C.
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得出，利用平面向量的线性运算得出，再结合平面的基本定理可得结果.
【详解】由题意得，
所以，即，
故选：B．
5．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．下表是对A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果．下列说法正确的是（    ）
A
43
72
73
98
63
86
65
75
81
78
B
82
68
71
37
61
65
58
68
77
94

A．A企业该指标值的极差较大 B．A企业该指标值的中位数较小
C．B企业该指标值的平均数较大 D．B企业该指标值的众数与中位数相等
【答案】D
【分析】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列，然后逐一判断即可.
【详解】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列：
A企业：43,63,65,72,73,75,78,81,86,98.
B企业：37,58,61,65,68,68,71,77,82,94.
A企业的极差为，B企业的极差为，A错误；
A企业的中位数为，B企业的中位数为，B错误；
A企业的平均数为，B企业的平均数为，C错误；
由上可知，B企业该指标值的众数与中位数都为，D正确.
故选：D.
6．如图，函数（，，）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为，则等于（    ）
  
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】利用线段RQ的中点M的坐标求出Q，R的坐标，求出周期,写出的解析式，计算的值即可.
【详解】设，
线段的中点的坐标为,
，解得，
，解得，

当时，
根据五点法画图，令，解得，
因为，所以，
所以，解得，
.
.
故选：A
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得，，设出长度，利用正弦定理可得与的等量关系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可.
【详解】在中，，
因为，所以，
设（），则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，
又，则，故，
所以．
故选：B．
8．已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与平面所成角的定义得，即，设，求出，根据该长方体外接球的直径是，可求出，再根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】连，因为平面，所以是与平面所成的角，
所以，所以，
设，则，即，
又，所以，所以，
即，所以，，
因为该长方体外接球的直径是，所以半径，
所以该外接球的表面积为.
故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．2022 年秋，我国南方某地脐橙大丰收，甲、乙两名网红主播为帮助该地销售脐橙，开启了连续10天针对该地脐橙的直播带货专场，下面统计图是甲、乙两名主播这10天的带货数据：则下列说法中正确的有：（    ）

A．甲主播10天带货总金额超过乙主播10天带货总金额
B．乙主播10天带货金额的中位数低于82万元
C．甲主播10天带货金额的极差小于乙主播 10天带货金额的极差
D．甲主播前7天带货金额的标准差大于乙主播前7天带货金额的标准差
【答案】ABC
【分析】根据两名主播的带货数据，结合中位数和极差，和标准差的定义和意义，即可判断选项.
【详解】A.根据带货数据可知，A正确；
B.将乙主播的带货金额按从小到大排列，按日期排列，2，1，3，8，4，5，6，7，9，10，中位数为第4天和第5天的平均数，低于82万元，故B正确；
C.极差为最大值与最小值的差，根据带货数据可知，甲主播10天带货金额的极差小于乙主播 10天带货金额的极差，故C正确；
D.比较甲和乙前7天的带货金额的数据可知，乙前3天的波动大于甲，后面的波动情况，基本一样，所以甲的标准差小于乙的标准差，故D错误.
故选：ABC
10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的共轭复数为
D．若，则的最大值是
【答案】CD
【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.
【详解】因为，则.
对于A选项，的虚部为，A错；
对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错；
对于C选项，的共轭复数为，C对；
对于D选项，因为，，
由复数模的三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对.
故选：CD.
11．下列说法中不正确的是（    ）
A．向量能作为平面内所有向量的一组基底
B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．若，则与垂直的单位向量坐标为或
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】ABD
【分析】依据向量的基底定义判断选项A；求得在上的投影向量判断选项B；求得与垂直的单位向量坐标判断选项C；求得与的夹角判断选项D.
【详解】选项A：，则，
则向量不能作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；
选项B：已知为单位向量，若，
则在上的投影向量为.判断错误；
选项C：若，设与垂直的单位向量坐标为，
则，解之得或
则与垂直的单位向量坐标为或.判断正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或平角.判断错误.
故选：ABD
12．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（    ）
  
A．异面直线与的夹角的正弦为
B．二面角的平面角的正切值为
C．正方体的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【分析】由知就是异面直线所成的角，求解即可判断A；连接交于点O，由题意得BD⊥平面，为二面角的平面角，求解可B；正方体外接球的半径，求出外接球体积可判断C；由，及三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，可判断D.
【详解】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
    
∵平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，Ì平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，，则________
【答案】
【分析】先根据商数关系化弦为切求出，再根据利用两角和的正切公式即可得解.
【详解】，解得，
则.
故答案为：.
14．甲、乙、丙三名同学将参加2023年高考，根据高三年级半年来的各次测试数据显示，甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和.设三人是否考135分以上相互独立，则这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上的概率为_____________.
【答案】
【分析】这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上包括甲、乙、丙三人中两人或者三人数学都考135分以上两种情况，分别求其概率相加即可.
【详解】已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和，且三人是否考135分以上相互独立，
则三人中两人数学考135分以上的概率为：，
三人数学都考135分以上的概率为：，
所以甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率为.
故答案为：.
15．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________.

【答案】/
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．

，F分别是CD，AB的中点，
，，且，．
为EF与AC所成的角（或其补角）．
又，．
又，，，
为直角三角形，，又为锐角，
，即EF与AC所成的角为．
故答案为：．
16．△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足（）．射线BP与边AC交于点D．若，，则角B的值为_____________，△ABC面积的最小值为_____________．
【答案】 / /
【分析】判断出是三角形的角平分线，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最小值.
【详解】表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知在三角形的角平分线上，
即是三角形的角平分线，
由得，
则为锐角，所以.
依题意，
根据三角形的面积公式有，
整理得，
所以，当且仅当时等号成立.
所以三角形面积的最小值为.
故答案为：；
【点睛】利用余弦定理解三角形，主要的方法是边角互化，将已知条件中的边和角进行转化，结合余弦定理即可求得问题的结果.求三角形面积的最值，可考虑基本不等式或者三角函数值域的方法.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组





频数
6
26
38
22
8
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
【答案】(1)频率分布直方图见解析；
(2)平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
【分析】（1）根据频率分布表完成频率直方图即可；
（2）由所得直方图估计平均数、方差.
【详解】（1）由表格数据知：
质量指标值分组





频率
0.06
0.26
0.38
0.22
0.08
频率分布直方图如下，

（2）质量指标值的样本平均数为.
质量指标值的样本方差为.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
18．已知函数，，，.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)，（开闭均可）
(2)
【分析】(1) 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式, 结合三角 函数的图象和性质, 求出周期及单调区间；
（2）利用，再由角的变换, 诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可.
【详解】（1）
，
所以周期，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）
（2），
，即，


.
19．如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上.
  
(1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值；
(2)当最小时，求点到平面的距离．
【答案】(1)在线段的四分点处，靠近点；；
(2)
【分析】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，的值最小即可求得最小值，从而确定点的位置；
（2）利用等体积法求点面距离即可.
【详解】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，
的值最小，最小值为，
此时，，即，所以在线段的四分点处，靠近点 ；
（2）由正棱柱的性质可得: ，
所以，则.
，
又，点D到平面的距离为，
设点到平面的距离为，
由得，，
即，解得: .
20．某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：克)均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
.所有蜜柚均以40元/千克收购；
.低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
【答案】(1)
(2)选择方案

【分析】（1）由题知，应在质量为的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的质量在区间的蜜柚分别为，质量在区间的蜜柚分别为，列举解决即可.
（2）由频率分布直方图计算得，按方案收购总收益为457500(元)，按方案收购总收益为365000 (元)，由于，即可解决.
【详解】（1）由题图可得蜜柚质量在区间和的比为2∶3，
所以应分别在质量为的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的质量在区间的蜜柚分别为，质量在区间的蜜柚分别为，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种：

其中质量均小于2 000克的仅有这1种情况，
所以所求概率为.
（2）方案好，
理由：由题中频率分布直方图可知，
蜜柚质量在区间的频率为，
同理，蜜柚质量在区间

的频率依次为，
若按方案收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为，
于是总收益为

(元).
若按方案收购：由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为，
蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为，
所以总收益为(元).
因为，
所以方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.
21．如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点A作，交边BC于点H，确定，得到线面垂直.
（2）过点C作，交直线于点E，确定直线CD与面所成角即，计算各线段长度，计算得到答案.
【详解】（1），过点A作，交边BC于点H．

，平面平面，平面平面，
平面，故面，平面，故，
又，，平面，故平面．
（2），，，面，故平面，
平面，故平面平面．
过点C作，交直线于点E，
平面平面，平面，则面．
故直线CD与面所成角即，
，，故，又，，，
故，，，
，，
故，
即直线CD与面所成角的正弦值为
22．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．