初中人教版22.1.1 二次函数优秀教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

教学目标

1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；

2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；

3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；

4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.

熟悉教学目标.

通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.

环节一

创设情境

我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，那么对于二次函数呢？

类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，列出二元一次方程组求出k，b，那么需要图象上两个点的坐标.

学生观察、思考，并小组讨论，尝试解决.

生1：用类比的方法，其中一次函数的解析式是，要写出解析式，要求出k，b的值，需要图象上两个点的坐标，列出二元一次方程组求出k，b.

为引出下一环节做铺垫.

环节二 探究新知

【探究】

问题：二次函数的解析式中有几个待定系数？转化成什么样的方程组？需要图象上的几个点才能求出来？

师：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组.

生2：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标.

学生通过对类比一次函数解析式的解法，求二次函数的解析式，培养了自主学习的能力，提高了学习兴趣.

环节三 应用新知

例1：如果知道抛物线经过（，10），（1，4），（2，7）三点，请求出这个二次函数的解析式.

解：设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组

解方程组，得

二次函数解析式为.

总结：求二次函数的解析式，需求出a，b，c的值.由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以求出此函数的解析式.

例2：如果知道二次函数图象的顶点坐标为A（1，），且过B（2，1）点，请求出解析式.

解法一：

解：设二次函数解析式为.因为顶点坐标为A（1，），所以，，带入解析式为 ，再把B（2，1）带入得，解得，二次函数解析式为.

师总结：若题目中给出顶点坐标和另一个点，可以设二次函数的解析式为，带入坐标求解即可. 二次函数的顶点式有a，h，k三个待定系数，应该知道三个点的坐标，但是h，k是顶点的横、纵坐标，于是再有一个点的坐标即可.解法二比解法一更为便捷.

注意：1.顶点式不能作为结果答题，需要化成一般式答题.2注意所设的二次函数顶点式中的负号.

解法二：

解：设抛物线的解析式为

解得；

∴抛物线的解析式为.

例3：一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，.求二次函数的解析式.

解法一：

解：设所求二次函数为.由已知，函数图象经过（0，），（，0），（，0）得到关于的三元一次方程组

解方程组，得

所求二次函数是.

师：这道题除了把二次函数解析式设为，还有没有其他的解法？

解法二：

∵

又∵，

∴

师：设的两个根为和，则方程可写为的形式，解方程可看成二次函数值为0求自变量x的值，也就是求二次函数与x轴交点的过程，所以方程的两个根是二次函数与x轴两交点的横坐标，那么二次函数可以写为，这个叫做二次函数的双根式也叫两点式.

解：设抛物线解析式为，其中，由抛物线过点（，0），（，0）可知，；∴解析式为；

又∵抛物线过点（0，），∴，∴，∴二次函数为.

总结：二次函数令就是方程，方程的两个根就是抛物线与x轴两个交点横坐标.

师整体总结

提问1：用待定系数法求二次函数解析式有具体哪些方法？

答：一般式、顶点式和双根式.

提问2：根据什么已知条件来设相应的解析式呢？

答：求抛物线解析式，仔细分析已知条件：1. 若无特殊点，设一般式；2. 若给出顶点坐标和另一个点的坐标，就设顶点式；3. 若给出与x轴两交点的坐标和另一个点的坐标，就设两点式.

注意：如果已知中只给出与x轴的一个交点，那么这不是特殊点.

生思考交流，小组讨论.

生1：可以先设出来二次函数，设所求二次函数为.由已知，得到关于的三元一次方程组

解方程组，得

生2：那么二次函数解析式为.

生1：因为顶点坐标为A（1，），所以，，二次函数解析式为，再

把B（2，1）带入得解析式，得，解得，二次函数解析式为，一般式为

生2：顶点坐标为A（1，），那么，，再把点B（2，1）带入一般式，应该是可以求的.

生3：观察抛物线所过三个点，其中（，0），（，0）两点纵坐标为0，说明这是抛物线与x轴的两个交点，不妨设双根式：，其中，，再带入点（0，）求出a即可.

生1：设一般式、顶点式和双根式.

生2：1.给了顶点坐标和另一个点，就设顶点式；2.给了与x轴交点的两个点和另一个点，就设两点式；3.给了任意三个点，就设一般式.

通过例题巩固理解二次函数与之间的联系，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，二次函数的一般形式代表了所有的二次函数，因此顶点公式和对称轴适用于所有的二次函数.并会运用顶点坐标公式计算相应的顶点坐标.

在学习过程中，使学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣并获得成功感.

环节四 巩固新知

【巩固练习】

1：求经过，，三点的抛物线的解析式.

解：设二次函数解析式为，带入，，，列方程组为

解得

∴所求抛物线的解析式为.

2.二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（     ）

A．

B．

C．

D．

解法一：

解：设抛物线解析式为，其中，由图像可知，；∴解析式为；

又∵抛物线过点（2，0），∴，∴，∴二次函数为.

解法二：

解：由图可知，二次函数的顶点坐标是（1，2），并且过点（2，0），那么设二次函数的解析式为，用待定系数法，求得，求得解析式为，一般式为，选D.

解法三：

解：由图可知，由图可知，二次函数与x轴交点坐标是（2，0）和（0，0），又过（1，2）点，因此设解析式为，求得.

解析式为，选D.

找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.

生1：经过三点，可以设二次函数解析式为，然后用待定系数法即可.

生2：设经过，，三点的二次函数解析式为.

由题意得

解得

∴所求抛物线的解析式为.

进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五 课堂小结

提问：本节课你学到了哪些知识？

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

生1；学习了设二次函数求解析式的方法.

生2：学习了设二次函数为，求解析式的方法.

生3：学习了设二次函数为，求解析式的方法.

通过提问让学生回顾、总结求二次函数解析式的方法，并帮助学生梳理本节课所学内容.

环节六

布置作业

教科书第42页练习第10-11题.