初中数学人教版八年级上册14.1.3 积的乘方一等奖课件ppt

第十四章  整式的乘法与因式分解

14.1  整式的乘法
14.1.3 积的乘方

一、教学目标

【知识与技能】

探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.

【过程与方法】

经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

积的乘方运算法则的理解及其应用.

【教学难点】

积的乘方推导过程的理解和灵活运用. 

五、课前准备 

教师：课件、直尺、计算器等。

学生：直尺、计算器。

六、教学过程

（一）导入新课

我们前面学过同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容,你知道它们的区别和联系吗?

请同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究积的乘方的法则

教师问1：请同学们完成下面的题目

计算：(1)x2·x5；　(2)y2n·yn＋1；　(3)(x4)3；　(4)(a2)3·a5.

学生回答：（1）x7；（2）y3n+1；（3）x12；（4）a11.

教师问2：同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是什么？

学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；am·an= am+n            ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘. (am)n= amn (m,n都是正整数).

教师问3：已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

学生独立思考问题3并口答：

体积应是V＝(2×103)3cm3.

教师问4：结果是幂的乘方形式吗？

学生讨论后回答：底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看不是幂的乘方.

教师讲解：它是积的乘方，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？本节课我和同学们一起来探究积的乘方的运算.

教师问4：计算：（3×4）2  和32×42，看一下他们的结果，你发现了什么？

学生计算后回答：它们的结果相等，即（3×4）2  =32×42

教师问5：下列两题有什么特点？(出示课件7)

（1）（ab）2；（2）（ab）3

学生回答：底数为两个因式相乘，积的形式.
教师问6：你猜想一下它们的结果是多少呢？

学生回答：(ab)2＝a2b2，则(ab)3＝a3b3，

教师问7：你能证明上边的猜想吗？（出示课件8）

学生讨论并回答：

（ab）2=（ab）·(ab) (乘方的意义)

      =(aa) ·(bb) (乘法交换律、结合律)

     =a2b2 (同底数幂相乘的法则)

同理：
   （ab）3=（ab）·(ab) ·(ab) (乘方的意义)

      =(aaa) ·(bbb) (乘法交换律、结合律)

     =a3b3(同底数幂相乘的法则)

教师问8：同学们试着猜想一下：(ab)n =?

学生猜想：(ab)n =anbn.

教师问9：你能用你学过的知识验证你的猜想吗？从运算结果看能发现什么规律？

师生共同讨论后解答如下：（出示课件9）

因此可得：(ab)n=anbn  (n为正整数).
教师总结：得到结论：（出示课件10）

积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

教师问10：前面提出问题中正方体的体积V＝(2×103)3它不是最简形式，根据发现的规律如何计算呢？

学生解答：

可作如下运算：

V＝(2×103)3＝23×(103)3＝23×103×3＝8×109cm3.

教师问11：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
学生讨论后回答：三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如(abc)n＝an·bn·cn(n为正整数)；

教师讲解：积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏掉乘方出现错误；

教师问12：积的乘方的法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，把等式的左右两边一换可以得到：an·bn＝(ab)n(n为正整数).这样成立吗？

师生共同讨论后解答如下：

积的乘方法则可以进行逆运算.即：an·bn＝(ab)n(n为正整数).

总结点拨：分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变.

例1：计算: （出示课件11）

(1)(2a)3   ；   (2)(–5b)3   ；(3)(xy2)2 ；   (4)(–2x3)4.
师生共同解答如下：

解：(1)原式= 23a3= 8a3；(2)原式= (–5)3b3 = –125b3；
(3)原式= x2(y2)2 =x2y4；(4)原式= (–2)4(x3)4 =16x12.
总结点拨：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
例2  计算: （出示课件14）
(1) –4xy2·(xy2)2·(–2x2)3；
(2) (–a3b6)2＋(–a2b4)3.
师生共同解答如下：

解：(1)原式= –4xy2·x2y4·(–8x6)

          =[–4×(–8)]x1+2+6y2+4
=32x9y6;

(2)原式=a6b12+(–a6b12) =[1+(–1)]a6b12=0

总结点拨：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．

例3：如何简便计算(0.04)2022×[(–5)2022]2?（出示课件15）

师生共同解答如下：

解法一：(0.04)2022×[(–5)2022]2

=(0.22)2022 × 54044
=(0.2)4044 × 54044
=(0.2 ×5)4044
=14044
=1

解法二：(0.04)2022×[(–5)2022]2

=(0.04)2022 × （25）2022
=(0.04× 25)2022
=12022
=1

总结点拨：（出示课件16）

①逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．
    ②一般转化为底数乘积是一个正整数,再进行幂的计算较简便.
  （三）课堂练习（出示课件20-24）

1.计算 (–x2y)2的结果是(　　)
A．x4y2                                 B．–x4y2
C．x2y2                                 D．–x2y2

2.下列运算正确的是(    )
    A.   x•x2=x2                       B. (xy)2=xy2       
     C.  (x2)3=x6                        D. x2+x2=x4
    3. 计算：(1) 82024×0.1252023=   ________;
            (2) （-3）2023×（-）2022 ________;
            (3) (0.04)2023×[(–5)2023]2=________.
    4. 判断:

(1)(ab2)3=ab6         (       )    (2)  (3xy)3=9x3y3       (       )  

(3) (–2a2)2=–4a4     (       )   (4)  –(–ab2)2=a2b4     (       )
5.计算:
(1)  (ab)8 ;        (2)  (2m)3  ;      (3) (–xy)5; 
(4)  (5ab2)3     ;   (5)  (2×102)2  ; (6) (–3×103)3.
6. 计算:

(1) 2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7;  
(2)(3xy2)2+(–4xy3) · (–xy) ;  
(3)(–2x3)3·(x2)2.    
7. 如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.

参考答案：

1.A

2.C

3.（1）8；（2）-3；（3）1

4.（1）× （2）× （3）× （4）×

5. 解：(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(–x)5 ·y5= –x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(–3)3 ×(103)3= –27 ×109= –2.7 ×1010.
6.（1）解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7
              = 2x9–27x9+25x9 = 0;
（2）解：原式=9x2y4 +4x2y4
             =13x2y4;
（3）解：原式= –8x9·x4 =–8x13.

7. 解：∵(an•bm•b)3=a9b15,
    ∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15,
    ∴a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,
    ∴a 3n •b 3m+3=a9b15,
    ∴3n=9  ,3m+3=15.
   ∴n=3,m=4.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

积的乘方法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数).

使用范围：底数是积的乘方.

方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

注意点：

(1)注意防止符号上的错误；

(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质；

(3)积的乘方法则也可以逆用.

（五）课前预习

预习下节课（14.1.4）98页到99页的相关内容。

知道单项式乘以单项式的法则

七、课后作业

1、教材98页练习1,2

2、阅读下列各式:

(ab)2=a2b2,(ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4,…

①归纳得(ab)n=　　　　;(abc)n=　　　　; 

②计算4100×0.25100=　　　　;

③应用上述结论计算:(-0.125)2017×22018×42016.

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.

2.本节课的主要内容是积的乘方公式及其应用，由于在应用当中需要用到同底数幂的乘法和幂的乘方，也是为了引导学生回忆巩固前面的知识，所以在上新课之前先复习它们的法则.积的乘方公式的理解及应用是这节课的重点，首先要让学生理解这个公式，而要让学生理解这个公式，就要让学生理解积的乘方的含义.这组计算是以前的知识，学生能够比较轻松完成.然后引导学生推导(ab)3和(ab)n.导出性质后，要通过一些实例说明其表达式及语言叙述中每句话的含义，以使学生更好的理解，并能在理解的基础上会用它进行计算.因此在后面设计了几个例题，以便学生进一步理解公式.