人教版14.1.4 整式的乘法精品ppt课件

第十四章   整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法

第3课时    整式的除法

一、教学目标

【知识与技能】

1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.

2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.

【过程与方法】

1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.

2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.

【情感、态度与价值观】

感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.

二、课型

新授课

三、课时

第3课时

四、教学重难点

【教学重点】 

应用整式除法法则进行计算.

【教学难点】

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 

五、课前准备 

教师：课件、直尺、计算器等。

学生：练习本、钢笔或圆珠笔。

六、教学过程

（一）导入新课

木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）

木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算?
  （二）探索新知

1.师生互动，探究同底数幂的除法法则

教师问1：请完成下面的题目：

1.(1)28×27；(2)52×53；(3)m2×m5；(4)a3·a3.

2.(－x)·2x2；2m2n·4n.

学生回答：1.（1）215 ；（2）55 ；（3）m7 ;(4)a6 .

2.-2x3 ;8m2n2

教师问2：同底数幂的乘法法则是什么？

学生回答：底数不变，指数相加.

教师问3：单项式乘以单项式的法则是什么？

学生回答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

教师问4：填空：

(1)28×(　　)＝215；　　　　　　　(2)52×(　　)＝58；

(3)m2×(　　)＝m7;  (4)a3·(　　)＝a6.

学生讨论后解答：（1）27 ；（2）56 ；（3）m5 ;(4)a3

教师问5：你是如何计算的呢？

学生回答：本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.(出示课件4)
教师问6：完成下列各题：

计算：(1)215÷28；　　　　　　　(2)58÷52；

(3)m7÷m2;                                (4)a6÷a3.

学生回答：(1)215÷28=27；　　　　　　　(2)58÷52=56；

(3)m7÷m2=m5;                                (4)a6÷a3=a3.

教师问7：观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）

(1)215÷28=27=215-8；　　　　　　　(2)58÷52=56=58-2；

(3)m7÷m2=m5=m7-2;                                (4)a6÷a3=a3=a6-3.

学生回答：底数不变，指数相加.

教师总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减.

教师问8：以上法则能用字母表示吗？

学生总结：am÷an＝am－n.

教师问9：对指数有何要求吗？

学生讨论后解答：m，n都是正整数，且m>n.

教师总结：am ÷an=am–n  (m，n都是正整数，且m>n)

教师问10：如何验证其正确性呢？

学生回答：验证：因为am–n ·an=am–n+n=am，所以am ÷an=am–n.
教师问11：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？

学生回答：对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.

即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).

教师问12：计算：am÷am

学生计算am÷am时，可能会出现1或a0两个答案.

教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).

教师问13：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？

学生回答：因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.

总结点拨：（出示课件6）

同底数幂的除法

一般地，我们有
     am ÷an=am–n  (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)
    即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
    规定：a0 =1(a ≠0)
    这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.

例1：计算：（出示课件7）
(1)x8 ÷x2;  (2) (ab)5 ÷(ab)2.
师生共同解答如下：

解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6;    

(2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
总结点拨：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
例2：已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．（出示课件9）

师生共同解答如下：

解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
        ∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
    总结点拨：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算．
    2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则

教师问14：计算：4a2x3·3ab2

学生回答：4a2x3·3ab2=12a3b2x3

教师问15：计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2

学生讨论回答：（出示课件11）

解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求(   )·3ab2=12a3b2x3.
            由(1)可知括号里应填4a2x3.
    解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3.
    理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.
    教师问15：类比上述研究过程计算以下两题.

(1)－2x3÷(－x)；

(2)8m2n2÷2m2n.

学生回答：（1）2x2 ;（2）4n

教师问16：通过计算，你又发现什么规律？

学生回答：单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.

师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

总结点拨：（出示课件12）

单项式除以单项式的法则：

单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
理解

商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂

          底数不变         保留在商里作为因式

                    指数相减

例3：计算：（出示课件13）

     (1)28x4y2 ÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.
师生共同解答如下：

解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1

          =4xy；

(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c

       =- ab2c.

总结点拨：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
    3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则

教师问17：一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）

学生回答：面积为(a+b)m=ma+mb.

教师问18：若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？
学生回答：长为(ma+mb)÷m.

教师问19：如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）

学生讨论后回答：计算(am+bm) ÷m就相当于求(      ) ·m=am+bm，

教师问20：（ ）填什么呢？

学生回答：a+b

教师问21：am ÷m+bm ÷m=？

学生回答：a+b

教师问22：观察上边的问题，你发现了什么？

学生回答：(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
教师问23：计算下列各式：

(1)(ax＋bx)÷x;  (2)(a2＋ab)÷a；

(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.

学生回答：(1)(ax＋bx)÷x=a+b;  (2)(a2＋ab)÷a=a+b；

(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy=2x+y.

教师问24：说你是怎样计算的？

学生回答：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项.

教师问25：它们的项数之间有什么发现吗？

师生共同解答如下：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.

教师问26：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？

学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

教师问27：你能把这句话写成公式的形式吗？

学生回答：(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.

总结点拨：（出示课件18）

多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，就是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
    关键：
    应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
例4：计算：(12a3–6a2+3a) ÷3a.
    师生共同解答如下：

解： (12a3–6a2+3a) ÷3a
      =12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a
      =4a2+(–2a)+1
      =4a2–2a+1.
    总结点拨：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
    例5：先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
    师生共同解答如下：

解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，

＝x–y.

把x＝2015，y＝2014代入上式，得

原式＝x–y＝2015–2014＝1.
（三）课堂练习（出示课件24-29）

1．下列说法正确的是   (        )
A．(π–3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠–4
2.下列算式中，不正确的是(        )
  A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4
  B．9xmyn–1÷3xm–2yn–3＝3x2y2
  C.  4a2b3÷2ab＝2ab2
  D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)
3.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为(　　)
A．m=4，n=3                             B．m=4，n=1
C．m=1，n=3                             D．m=2，n=3
4.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.
5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是 ______.
6.计算： (1)6a3÷2a2；                      (2)24a2b3÷3ab；    
          (3)–21a2b3c÷3ab;               (4)(14m3–7m2+14m)÷7m.
7. 先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.
8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;
（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;
（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．
参考答案：

1.D

2.D

3.A

4.a+2

5. –3y3+4xy

6. 解：(1) 6a3÷2a2
=(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2) 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2–1b3–1
=8ab2.
(3)–21a2b3c÷3ab
=(–21÷3)a2–1b3–1c
= –7ab2c;
(4)(14m3–7m2+14m)÷7m
=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m
= 2m2–m+2.
7. 解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2
          ＝–x2＋3y2.
当x＝1，y＝–3时，

原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.

8. 解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，   即 3x+1=34，   解得x=3；
(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．
(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．
4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．
（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)

a0＝1(a≠0)

(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.

（五）课前预习

预习下节课（14.2）的相关内容。

了解平方差公式

七、课后作业

1、教材104页练习1,2,3

2、某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则，使学生通过类比，利用乘除互为逆运算的关系，自主探究完成单项式除以单项式，多项式除以单项式法则的推导.实践证明，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构基础上，建构整式的除法法则.同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率.

2.本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.