【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.2.2 同角三角函数的基本关系（第3课时）（课时教学设计1）

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课题：5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（第3课时）
（一）教学内容
　同角三角函数的基本关系及其应用．
　　　　　
（二）教学目标
1．通过三角函数的定义能推导同角三角函数的基本关系式，发展学生数学抽象，逻辑推理素养
2.通过同角三角函数的基本关系式，能根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值，发展学生分类讨论的思想
3.通过灵活运用同角三角函数的基本关系式的不同变形，能进行化简、求值与恒等式证明，发展学生计算素养。
（三）教学重点与难点
1.重点
理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2.难点
　　同角三角函数的基本关系式的变式应用。
　　
（四） 教学过程
（一）同角三角函数的基本关系
导入语：此前我们学习了三角函数的定义，并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，我们还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一．公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
问题1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？
师生活动：学生观察图形，利用已学正余弦线知识和平面几何知识得出结论。
设计意图：从已有的知识出发，类比探索知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想。
问题2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
师生活动：学生观察特殊位置，得到一致的结论。

设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。
问题3：设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，根据三角函数定义，有由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
师生活动：学生通过刚才的结论，写出关系式，
设计意图：再一次强化定义，又让学生自己得出关系式，也有利于关系式的记忆。符合学生的认知过程。运用定义进行严格证明，是解决数学问题的常用方法。
问题4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？
师生活动：学生回答，对于分式，不要保证分母不为0。
设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。
思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
师生活动：学生回答，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角的正切．
设计意图：让学生由符号语言转化为文字语言，既深化对公式的认识，又利于关系式的记忆。符合学生的认知过程。

（二）同角三角函数的基本关系的应用
例1 已知，求，的值．
师生活动：学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．
设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解．
【解析】∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，
当α是第三象限角时，
cos α＝－＝－，tan α＝＝.
α是第四象限角时，
cos α＝＝，tan α＝＝-
教师提问：已知余弦是否能求出正弦和正切
已知正切是否能求出正弦和余弦
学生回答：可以
教师讲解已知余弦和已知正切的步骤
教师总结：知一求二题型①已知正弦和已知余弦步骤一样，先用平方关系再用商数关系
②已知正切时，先用商数关系，再用平方关系，其中用到了联立方程组
③注意分类讨论α终边所在位置
　　例2 求证．
师生活动：学生可能根据此前用到的分析法进行证明，也可以用综合法直接给出证明，教师板书证明过程．
设计意图：本例实际上是的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法．

例3 已知，求的值．
师生活动：学生经过思考给出思路，可以利用同角三角函数的基本关系由和解出和的值，但是由于无法确定所在象限，因此无法判断和的正负，若要求出代数式的值，需要进行分类讨论．教师在肯定了这个思路后进行追问．
追问：有没有其它的方法可以避免谈论和的符号，直接用到已知的取值来求出分式的值呢？
师生活动：学生经过思考回答，可以利用将代数式中和转化为和常数．教师给予肯定并指出所求分式的结构特点，可利用“齐次式”的特征对此类分式进行化简后求值．
设计意图：通过本例了解“齐次式”的结构特点，并能利用特定的方法进行化简．通过以上几道例题加深了学生对三角函数基本性质的理解，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．
（三）课时小结
教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
（1）同角三角函数的基本关系是什么？
（2）在利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值及证明时要注意哪些问题？
（3）结合前一课时内容，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数的性质的？
师生活动：学生思考后给出解答．
（1）同角三角函数的基本关系式：，．
（2）在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．在化简时，应注意化简结果：①涉及的三角函数名称要相对较少；②表达形式较简单．证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件．证明的指向一般是“由繁到简”．
（3）借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系．
设计意图：引导学生回顾总结本课时的学习内容和学习方法．在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．
（六） 布置作业
教科书习题5.2 第6，11，12，13，14题．
六、目标检测设计
1．已知，且为第三象限角，求，的值．
设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系解决简单的求值问题．
2．已知，求，的值．
设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系求值并进行分类讨论的能力．
3．化简：
（1） ； （2）； （3） ．
设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系进行简单的三角恒等变换的能力．
4．求证：．
设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的能力．
（七）教学反思