【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第16讲 三角函数的概念 讲义
展开第16讲 三角函数的概念
【知识梳理】
知识点一 任意角的三角函数
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是.
知识点四 三角函数线
图示 | |
正弦线 | 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 |
余弦线 | 有向线段OM即为余弦线 |
正切线 | 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 |
知识点四 同角三角函数
(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
知识点五 函数名不变
诱导公式一
sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α， 其中k∈Z. |
诱导公式二
sinπ＋α＝－sin α， cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α. |
诱导公式三
sin－α＝－sin α， cos－α＝cos α， tan－α＝－tan α. |
诱导公式四
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. |
梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
知识点六 函数名改变
角α的终边与角－α的终边关于y=x对称。
诱导公式五
sin＝cos α， cos＝sin α， |
诱导公式六
sin＝cos α， cos＝－sinα． |
诱导公式的推广与规律
sin＝－cos α，cos＝－sin α，
sin＝－cos α，cos＝sin α.
【典型例题】
考点一．任意角的三角函数的定义
1．已知点是角α终边上一点，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
2．若角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），则（ ）
A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0
3．已知角θ的终边经过点P（x，1）（x＞0），且tanθ＝x，则sinθ的值为 ．
考点二．三角函数线
4．“α＝210°”是“sinα＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知a＝sin1，b＝cos1，则下列不等式正确的是（ ）
A．logab＜ab＜ba B．logab＜ba＜ab
C．ab＜ba＜logab D．ba＜ab＜logab
6．已知，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．（sinα）cosα＞（sinα）cosβ
B．logsinαcosα＞logsinαcosβ
C．（cosα）sinα＞（cosβ）sinβ
D．（cosα）sinβ＜（sinα）cosβ
考点三．三角函数值的符号
7．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
（多选）8．若α＝3rad（rad为弧度制单位），则下列说法正确的是（ ）
A．sinα＜cosα B．cosα＜0
C．tanα＜﹣1 D．α是第二象限角
9．当α为第二象限时，﹣的值是 ．
考点四．同角三角函数间的基本关系
10．已知α是第二象限角，且，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
11．若2sin2θ+3cos2θ＝3，则cosθ＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
12．若tanθ＝﹣2，则的值为 ．
13．已知sinα+cosα＝，那么角α是第 象限的角．
14．（1）已知，求下列各式的值．
①；
②
（2）已知，求tanx．
15．已知，其中α为第二象限角．
（1）求cosα﹣sinα的值；
（2）求的值．
考点五．运用诱导公式化简求值
16．tan600°＝ ．
17．计算：sin+tan•ln1﹣cos＝ ．
18．设tanα＝3，则＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
19．已知α是第二象限的角，，则＝ ．
20．已知，且，则tan（θ﹣9π）的值是 ．
21．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
22．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
23．已知函数．
（1）化简f（α）；
（2）若角α终边有一点，且，求m的值；
（3）求函数的值域．
24．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点O与坐标原点重合，点A在x轴的正半轴上，点B在第二象限，且OA＝OB＝3，记α＝∠AOB，满足．
（1）求点B的坐标；
（2）求的值．
25．已知tanθ，是关于x的方程的两个实根，且．
（1）求的值；
（2）求sin2θ+sinθcosθ﹣1的值．
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