必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念精品第1课时学案设计

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7.2.3 三角函数的诱导公式


第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)








结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？





1．诱导公式(一)


终边相同的角的诱导公式(公式一)：


sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)；


cs(α＋2kπ)＝cs α(k∈Z)；


tan(α＋2kπ)＝tan α(k∈Z)．


思考1：终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？


[提示] 相等．


2．诱导公式(二)


终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：


sin(－α)＝－sin α；


cs(－α)＝cs α；


tan(－α)＝－tan α．


思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？


[提示] 关于x轴对称．


3．诱导公式(三)


终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：


sin(π－α)＝sin α；


cs(π－α)＝－cs α；


tan(π－α)＝－tan α．


4．诱导公式(四)


终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：


sin(π＋α)＝－sin α；


cs(π＋α)＝－cs α；


tan(π＋α)＝tan α．





1．(1)sin eq \f(25π,6)＝ ；(2)cseq \f(9π,4)＝ ；


(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))＝ ．


(1)eq \f(1,2) (2)eq \f(\r(2),2) (3)1 [(1)sineq \f(25π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))


＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)．


(2)cseq \f(9π,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)．


(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,4)))＝taneq \f(π,4)＝1．]


2．(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝ ；(2)cs 330°＝ ；


(3)tan 690°＝ ．


(1)－eq \f(\r(3),2) (2)eq \f(\r(3),2) (3)－eq \f(\r(3),3) [(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)．


(2)cs 330°＝cs(360°－30°)＝cs(－30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)．


(3)tan 690°＝tan[2×360°＋(－30°)]


＝tan(－30°)


＝－tan 30°


＝－eq \f(\r(3),3)．]


3．(1)sineq \f(5π,6)＝ ；(2)cseq \f(3,4)π＝ ；


(3)tan 1 560°＝ ．


(1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(\r(2),2) (3)－eq \r(3) [(1)sineq \f(5π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)．


(2)cseq \f(3π,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－cseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)．


(3)tan 1 560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－eq \r(3)．]


4．(1)sin 225°＝ ；(2)cseq \f(7π,6)＝ ；


(3)tan eq \f(10π,3)＝ ．


(1)－eq \f(\r(2),2) (2)－eq \f(\r(3),2) (3)eq \r(3) [(1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2)．


(2)cseq \f(7π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．


(3)taneq \f(10π,3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋π＋\f(π,3)))


＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)．]





【例1】 求下列各三角函数式的值：


(1)sin(－660°)；(2)cs eq \f(27π,4)；(3)2cs 660°＋sin 630°；


(4)tan eq \f(37π,6)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)))．


[思路点拨] 利用诱导公式先把任意角的三角函数化为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))三角函数，再求值．


[解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°，


所以sin(－660°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)．


(2)因为eq \f(27π,4)＝6π＋eq \f(3π,4)，所以cs eq \f(27π,4)＝cs eq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)．


(3)原式＝2cs(720°－60°)＋sin(720°－90°)


＝2cs 60°－sin 90°＝2×eq \f(1,2)－1＝0．


(4)tan eq \f(37π,6)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)))


＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,6)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,3)))


＝tan eq \f(π,6)·sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)．





利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤








eq \([跟进训练])


1．求下列各三角函数式的值：


(1)sin 1 320°；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．


[解] (1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)


＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)


＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)．


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))


＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．


(3)tan(－945°)＝－tan 945°


＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°


＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．


【例2】 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)；


(2)eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°)．


[思路点拨] 利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．


[解] (1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1．


(2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·cs3×360°－α,cs180°＋α·[－sin180°＋α])


＝eq \f(sin α·cs－α,－cs α·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1．





三角函数式的化简方法


1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.


2常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.


3注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).





eq \([跟进训练])


2．eq \f(sinkπ－αcs[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]cskπ＋α)(k∈Z)．


[解] 当k＝2n(n∈Z)时，


原式＝eq \f(sin2nπ－αcs[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cs2nπ＋α)


＝eq \f(sin－α·cs－π－α,sinπ＋α·cs α)


＝eq \f(－sin α·－cs α,－sin α·cs α)＝－1；


当k＝2n＋1(n∈Z)时，


原式＝eq \f(sin[2n＋1π－α]·cs[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]·cs[2n＋1π＋α])


＝eq \f(sinπ－α·cs α,sin α·csπ＋α)＝eq \f(sin α·cs α,sin α·－cs α)


＝－1．


综上，原式＝－1．


[探究问题]


1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？


[提示] 由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．


2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？


[提示] 由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1．


【例3】 求值．


(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))的值；


(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值．


[思路点拨] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))＝2π；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝π．


[解] (1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))＝2π，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－2π))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)．


(2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝π，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(\r(3),3)．





1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,3)＋α))＝eq \f(1,2)”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))的值．


[解] ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,3)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))＝6π，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,3)＋α))－6π))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,3)＋α))＝eq \f(1,2)．


2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,6)))的值．


[解] ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,6)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－π，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)．





对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.


提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.





eq \([跟进训练])


3．已知sin(α－360°)－cs(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cs(180°－α)等于( )


A．eq \f(m2－1,2) B．eq \f(m2＋1,2)


C．eq \f(1－m2,2) D．－eq \f(m2＋1,2)


A [∵sin(α－360°)－cs(180°－α)＝sin α＋cs α＝m，


∴sin(180°＋α)cs(180°－α)＝sin αcs α＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)＝eq \f(m2－1,2)．故选A．]


4．已知cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．


[解] ∵cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)＜0，且α为第四象限角，


∴sin(α－75°)＝－eq \r(1－cs2α－75°)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3)，


∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3)．








1．明确各诱导公式的作用


2．诱导公式的记忆


这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．





1．已知sin(θ＋π)<0，cs(θ－π)>0，则角θ的终边落在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三角限 D．第四象限


B [由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cs(θ－π)＝－cs θ>0⇒cs θ<0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ>0，,cs θ<0，))可知θ是第二象限角．]


2．tan 255°＝( )


A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3)


C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)


[答案] D


3．代数式sin 120°cs 210°的值为 ．


－eq \f(3,4) [由诱导公式可得，sin 120°cs 210°＝sin 60°×(－cs 30°)＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(3,4)．]


4．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，求cs(α－2π)的值．


[解] ∵sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，∴sin α＝－eq \f(3,5)，


又α是第四象限角，


∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4,5)，


∴cs(α－2π)＝cs α＝eq \f(4,5)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)


2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
给角求值
化简求值
给值求值问题
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将角转化为0～eq \f(π,2)之间的角求值
公式四
将角转化为0～eq \f(π,2)之间的角求值