高中苏教版 (2019)7.2 三角函数概念优秀第2课时2课时学案及答案

这是一份高中苏教版 (2019)7.2 三角函数概念优秀第2课时2课时学案及答案，共8页。

第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)








利用诱导公式一～四，将任意范围内的角的三角函数值转化到[0,2π)后，又如何将角eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))间的角转化到eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))呢？





1．诱导公式五


终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α．


思考1：角eq \f(π,6)与角eq \f(π,3)的三角函数值有什么关系？


[提示] sin eq \f(π,6)＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，cs eq \f(π,6)＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)．


思考2：角α的终边与角eq \f(π,2)－α的终边有怎样的对称关系？


[提示] 关于直线y＝x对称．


2．诱导公式六


eq \f(π,2)＋α型诱导公式(公式六)：


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)诱导公式中角α是任意角．( )


(2)sin(90°＋α)＝－cs α．( )


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝－sin α．( )


[提示] (1)如tan(π＋α)＝tan α中，α＝eq \f(π,2)不成立．


(2)sin(90°＋α)＝cs α．


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α．


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．(1)若sin α＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ ；


(2)若cs α＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ ．


(1)eq \f(1,3) (2)eq \f(4,5) [(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,3)．


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α＝eq \f(4,5)．]








【例1】 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值是 ．


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值是 ．


(3)已知sin(π＋A)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－A))的值是 ．


[思路点拨] 从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．


(1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(1,3) (3)－eq \f(1,2) [(1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(π,2)，


∴eq \f(π,6)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)．


(2)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,3)．


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(π,2)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,3)．


(3)sin(π＋A)＝－sin A＝－eq \f(1,2)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－A))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－A))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝－sin A＝－eq \f(1,2)．]





1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．


2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有eq \f(π,3)－α，eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α，eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α，eq \f(π,4)－α等．常见的互补关系有eq \f(π,3)＋θ，eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ，eq \f(3π,4)－θ等．





eq \([跟进训练])


1．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))的值．


[解] ∵α＋eq \f(2π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋eq \f(π,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋\f(π,2)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))


＝eq \f(3,5)．


【例2】 已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α)．


(1)化简f(α)；


(2)若α是第三象限的角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；


(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．


[思路点拨] 利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．


[解] (1)f(α)＝eq \f(－sin α·cs α·－cs α,－cs αsin α)＝－cs α．


(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α，∴sin α＝－eq \f(1,5)，


又α是第三象限的角，


∴cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(6),5)，


∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5)．


(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))


＝－cseq \f(5π,3)＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)．





用诱导公式化简求值的方法


1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.


2对于kπ±α和eq \f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.





eq \([跟进训练])


2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)＋eq \f(sinπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)),sinπ＋α)的值．


[解] 原式＝eq \f(cs αsin α,－cs α)＋eq \f(sin αsin α,－sin α)＝－sin α－sin α


＝－2sin α．


又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，所以－sin α＝eq \f(1,3)．


所以原式＝－2sin α＝eq \f(2,3)．


【例3】 在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状．


[思路点拨]





[解] ∵A＋B＋C＝π，


∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．


又∵sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，


∴sineq \f(π－2C,2)＝sineq \f(π－2B,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－C))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，


∴cs C＝cs B．


又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，


∴△ABC为等腰三角形．





1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．


2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；tan(A＋B)＝－tan C；sin eq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)；cseq \f(A＋C,2)＝sineq \f(B,2)．








eq \([跟进训练])


3．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋αsin－α)．


(1)化简f(α)；


(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝eq \f(3,5)，求tan A－sin A的值．


[解] (1)f(α)＝eq \f(sin αcs αcs α,－cs α－sin α)＝cs α．


(2)因为f(A)＝cs A＝eq \f(3,5)，


又A为△ABC的内角，


所以由平方关系，得sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5)，


所以tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(4,3)，


所以tan A－sin A＝eq \f(4,3)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,15)．








1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．


2．要掌握诱导公式的三个应用


(1)利用诱导公式解决化简求值问题．


(2)利用诱导公式解决条件求值问题．


(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．


3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧


eq \f(π,6)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(π,2)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)等．





1．若cs 40°＝a，则sin 50°＝( )


A．－a B．a C．eq \r(1－a2) D．－eq \r(1－a2)


B [∵sin 50°＝cs 40°，∴sin 50°＝a．]


2．若cs(π＋α)＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝________．


－eq \f(1,3) [∵cs(π＋α)＝－cs α＝eq \f(1,3)，


∴cs α＝－eq \f(1,3)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝－eq \f(1,3)．]


3．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________．


eq \f(2,3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(2,3)．]


4．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，求eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))的值．


[解] eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋


eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))


＝eq \f(cs[2π＋π－α],cs α\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,2)＋α))－1)))＋


eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),csπ＋αsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))－sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))


＝eq \f(－cs α,cs α－cs α－1)＋eq \f(cs α,－cs αcs α＋cs α)


＝eq \f(1,1＋cs α)＋eq \f(1,1－cs α)＝eq \f(2,sin2α)．


∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，


∴eq \f(2,sin2α)＝10．


即原式＝10．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)


2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
给值求值
利用诱导公式化简求值
诱导公式在三角形中的应用