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【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-期末专项复习3 七下计算题型期末选题练习
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期末专项复习3 七下计算题型期末试卷选题练习
1．（2022春•绍兴期末）因式分解：x2﹣16x+64＝ （x﹣8）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣8）2．
故答案为：（x﹣8）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2022春•宁波期末）阅读材料：若x3+2x2﹣2x+m（m为常数）有一个因式为（x﹣1），则如何因式分解x3+2x2﹣2x+m？
解：因为x3+2x2﹣2x+m有一个因式为（x﹣1），所以当x﹣1＝0时，x3+2x2﹣2x+m＝0，于是把x＝1代入x3+2x2﹣2x+m＝0得1+2﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，原代数式变为x3+2x2﹣2x﹣1，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+2x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（x2+3x+1）
若x3+4x2+mx+2（m为常数）有一个因式为（x+2），则因式分解x3+4x2+mx+2＝ （x+2）（x2+2x+1） ．
【分析】类比题目所给的示例，解答即可．
【解答】解：因为x3+4x2+mx+2有一个因式为（x+2），所以当x+2＝0时，x3+4x2+mx+2＝0，于是把x＝﹣2代入x3+4x2+mx+2＝0得1+2﹣2+m＝0，解得m＝5，原代数式变为x3+4x2+5x+2，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+4x2+5x+2＝（x+2）（x2+2x+1）
∴因式分解x3+4x2+mx+2＝（x+2）（x+1）2，
故答案为：（x+2）（x+1）2．
【点评】本题考查了利用因式分解分解因式的特殊方法，解题的关键是：根据材料仿做．
3．（2022春•嘉兴期末）计算：
（1）3﹣1+；
（2）20232﹣2022×2023．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）把2022变形为（2023﹣1）进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）3﹣1+
＝+1
＝；
（2）20232﹣2022×2023
＝20232﹣（2023﹣1）×2023
＝20232﹣20232+2023
＝2023．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022春•婺城区期末）计算：．
【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂法则，零指数幂法则，二次根式的性质进行计算便可．
【解答】解：原式＝5+4﹣1+4
＝12．
【点评】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记绝对值的性质，负整数指数幂法则，零指数幂法则，二次根式的性质．
5．（2022春•绍兴期末）（1）计算：3﹣2+（﹣1）2﹣（2022﹣π）0；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）．
【分析】（1）先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案；
（2）根据整式的运算法则直接计算即可求解．
【解答】解：（1）原式＝+1﹣1
＝；
（2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+2x
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
6．（2022春•柯桥区期末）计算下列各题：
（1）（﹣1）2022﹣（2022﹣π）0+（﹣）﹣3；
（2）（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）．
【分析】（1）根据实数指数幂的计算方法计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+（﹣8）
＝﹣8；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2
＝5y2﹣4xy．
【点评】本题主要考查实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识，熟练掌握实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识是解题的关键．
7．（2022春•湖州期末）已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
【分析】（1）根据（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，可得a＝3；
（2）化简（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）得4a+5，将a＝3代入即得答案..
【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，且（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3；
（2）（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣1）
＝a2+4a+4﹣a2+1
＝4a+5，
当a＝3时，
原式＝4×3+5
＝17．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握结果中不含x的一次项，即是x一次项系数为0，从而求出a值．
8．（2022春•宁波期末）在①4mn，②﹣4mn这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答：
问题：分解因式：m2+ （±4mn） +4n2．
【分析】分别把两个代数式填入横线上，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：若选择①，
分解因式：m2+4mn+4n2＝（m+2n）2；
若选择②，
分解因式：m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2．
故答案为：（±4mn）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022春•绍兴期末）分解因式：
（1）3x2﹣3；
（2）2（a﹣b）﹣3x（a﹣b）．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：（1）3x2﹣3
＝3（x2﹣1）
＝3（x+1）（x﹣1）；
（2）2（a﹣b）﹣3x（a﹣b）＝（a﹣b）（2﹣3x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10．（2022春•柯桥区期末）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2mx2﹣4mxy+2my2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
【解答】解：（1）4a2﹣16
＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）2mx2﹣4mxy+2my2
＝2m（x2﹣2xy+y2）
＝2m（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．（2022春•嘉兴期末）化简：．小明的解法如下框：
解：原式＝x+2+2（x﹣1）
＝x+2+2x﹣2
＝3x
小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．
【分析】利用异分母分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：小明的解答不正确．
＝+
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
12．（2022春•绍兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先②×6得6x﹣3y＝6③，再①+③即可求出x的值，再将x的值代入①即可求出方程组的解；
（2）先将方程变形为，再去分母化成整式方程解出x的值，最后检验．
【解答】解：（1），
②×6得：6x﹣3y＝6③，
①+③得：8x＝10，
解得x＝，
将x＝代入①得2×+3y＝4，
解得y＝，
∴原方程组的解为；
（2）分式方程可化为，
两边同时乘以（x﹣2）得：x﹣2（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝7，
经检验：x＝7是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是x＝7．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组，分式方程，掌握二元一次方程组的解法和分式方程的解法是解题的关键，分式方程最后要检验．
13．（2022春•南浔区期末）解分式方程：．
【分析】方程两边同时乘以（1﹣y），把分式方程化成整式方程，检验后即可得出答案．
【解答】解：
去分母得：3＝﹣y﹣5（1﹣y），
解得：y＝2，
当y＝2时，1﹣y≠0，
∴原分式方程的解为y＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
14．（2022春•滨江区期末）解下列方程（组）：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
①﹣②得：9t＝﹣9，
解得：t＝﹣1，
把t＝﹣1代入①得：2s﹣3＝﹣1，
解得：s＝1，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×3+②×5得：19x＝﹣38，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入②得：﹣4+3y＝2，
解得：y＝2，
则方程组的解为；
（3）去分母得：2（1+x）+（1+x）（1﹣x）＝x（1﹣x），
整理得：2+2x+1﹣x2＝x﹣x2，
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入得：（1+x）（1﹣x）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
15．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出a不能为2，﹣2，1，取a＝0，把a＝0代入化简结果，再求出答案即可．
【解答】解：
＝÷+
＝÷+
＝•+
＝+
＝
＝，
要使分式有意义，a﹣2≠0，a+2≠0，a﹣1≠0，
所以a不能为2，﹣2，1，
取a＝0，
当a＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，﹣3，
当x＝0时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
17．（2022春•北仑区期末）化简与计算：
（1）因式分解：x3﹣25x；
（2）先化简，再求值：当a＝3，b＝1时，求的值．
【分析】（1）根据提取公因式以及平方差公式即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）．
（2）原式＝•
＝•
＝
＝，
当a＝3，b＝1时，
原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，提取公因式以及平方差公式，本题属于基础题型．
18．（2022春•温州期末）已知是二元一次方程组的解．
（1）求a，b的值．
（2）求方程组的解．
【分析】（1）把代入方程组计算可得答案；
（2）对比原方程组和所求方程组可知：2x+1与3y﹣5分别是原方程组中的x和y．
【解答】解：（1）把代入方程组得：
，
①×2+②得，8+2b＝2，
∴b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得，a＝﹣4，
∴；
（2）根据题意可得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的有关概念，一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
19．（2022春•温州期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 甲 ；
（2）请你书写正确的化简过程，并在“﹣1，0，1”中选择一个合适的数代入求值．
【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）利用异分母分式加减法法则先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲，
故答案为：甲；
（2）（﹣x+1）÷
＝•
＝•
＝，
∵x+1≠0，x≠0，
∴x≠﹣1，x≠0，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（2022春•南浔区期末）小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：
（30x4y2+M+12x2y2）÷（﹣6x2y）＝N+3xy﹣2y．
（1）请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算．
（2）先求正确答案与x2y+xy+y的和，再因式分解．
【解答】解：（1）由题意得：N＝30x4y2÷（﹣6x2y）＝﹣5x2y，
M＝3xy×（﹣6x2y）＝﹣18x3y2．
∴正确答案为：﹣5x2y+3xy﹣2y．
（2）﹣5x2y+3xy﹣2y+x2y+xy+y＝﹣4x2y+4xy﹣y．
这个和能够因式分解，
﹣4x2y+4xy﹣y
＝﹣y（4x2﹣4x+1）＝﹣y（2x﹣1）2．
【点评】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则是求解本题的关键．
21．（2022春•湖州期末）【学习材料】一拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
例2：分解因式：x3+5x﹣6．
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+14x﹣51＝ （x+17）（x﹣3） ．
（2）化简：．
【分析】（1）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答；
（2）仿照例2的解题思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+14x﹣51
＝x2+14x+49﹣49﹣51
＝（x+7）2﹣100
＝（x+7+10）（x+7﹣10）
＝（x+17）（x﹣3），
故答案为：（x+17）（x﹣3）；
（2）
＝
＝
＝
＝x2+x﹣2．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，分式的化简求值，理解例1和例2的解题思路是解题的关键．
22．（2022春•绍兴期末）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ；
（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；
（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+有最小值，并求出这个最小值；
（4）设a为实数，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+取得最小整数时，则a＝ 或 ，b＝ 1 ．
【分析】（1）利用配方法分解因式；
（2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最大值；
（3）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值；
（4）根据（3）的结论，结合a，b的取值范围求解．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣32
＝（m+1）（m﹣5）；
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17，
∴当a＝4时，﹣a2+8a+1的最大值是17．
（3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+
＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+
＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+≥．
此时有：，
解得：，
所以当a＝﹣3，b＝﹣1时，这个最小值为．
（4）∵b为正整数，
∴由（3）得：原式≥，
原式取得的最小整数值是5，
当（a﹣2b+1）2+（b+1）2+＝5时
（a﹣2b+1）2+（b+1）2＝
∵b为正整数，
∴b+1＝2，
∴（a﹣2b+1）2＝
解得：a＝或a＝
∴b＝1，a＝或a＝．
故答案为：或；1．
【点评】本题考查了配方法进行因式分解，求代数式的最值，理解完全平方式是解题的关键．
23．（2022春•婺城区期末）在当今“互联网+”的时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的结果为（x+2）（x+3）（x﹣3），当x＝15时，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．
根据上述方法，解答以下问题：
（1）对于因式分解结果为（x+2）（x﹣1）的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为 2320，2023 ．
（2）当x＝20，y＝2时，对于多项式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码（求出四个即可）？
（3）已知多项式x3+ax2+bx+3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，求a，b的值．
【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，将两个数排序，从而获得密码．
（2）先提公因式，然后用平方差公式将多项式因式分解，然后把x和y的值代入求得3个因式的值，然后把这3个数进行组合得出密码．
（3）由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后计算这3个因式的乘积，其结果与x3+ax2+bx+3相同，其多项式的二次项系数＝a，一次项系数＝b．
【解答】解：（1）当x＝21时，x+2＝23，x﹣1＝20，此时，可获得密码2320，2023．
故答案为：2320，2023．
（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），
当x＝20，y＝2时，
x+y＝22，x﹣y＝18，
此时，可获得密码202218，201822，182022，182220，222018，221820．
（3）当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，
∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），
（x﹣1）（x+1）（x﹣3）
＝（x2﹣1）（x﹣3）
＝x3﹣3x2﹣x+3，
∴a＝﹣3，b＝﹣1．
【点评】本题考查因式分解的应用，在多项式因式分解的基础上，由给定的字母的取值确定获得的密码．
24．（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：
第1个：2+2＝2×2；
第2个：3+＝3×；
第3个：4+＝4× …
我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．
（1）写出第4个式子．
（2）写出第n个式子，并检验．
（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．
【分析】（1）、（2）根据已知条件得出的规律，直接写即可．
（3）m，n是一对“和积数对”，所以可设m+n＝mn＝x，化简式子，代入再化简即可．
【解答】解：（1）第4个式子为5+＝5×；
（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；
检验：左边＝+＝＝右边；
（3）∵m，n是一对“和积数对”，
∴m+n＝mn，
设m+n＝mn＝x，
原式＝＝＝；
【点评】本题考查了新定义和化简求值问题，解题关键是读懂题意，根据新定义的规律解决问题．
25．（2022春•杭州期末）在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣x2+2x+2的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+3≤3．
当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3．
∴﹣x2+2x+2的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值．
（2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值．
（3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（3）由x2﹣3x+y﹣10＝0，可得y﹣x＝﹣x2+2x+10，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，
∵﹣（y+3）2≤0，
∴﹣（y+3）2+11≤11．
∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．
（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，
∵﹣2（a﹣2）2≤0，
∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．
∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．
（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+11≤11．
∴y﹣x的最大值是11．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26．（2022春•上城区期末）如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若2a＝b，求的值；
（3）若S2＝32，S3＝12，求CH的长．
【分析】（1）四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，则AD＝DC＝BC＝AB＝EH＝a，DG＝GF＝HF＝DH＝AE＝b，得到BE＝b﹣a，EF＝b+a，表示出△BEF的面积即可；
（2）用含有a和b的式子表示出S3，计算比值即可；
（3）已知S2＝32，S3＝12，则利用面积可以表示出ab＝12，a+b＝8，而CH＝b﹣a，求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，四边形AEFG是长方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝EH＝a，DG＝GF＝HF＝DH＝AE＝b，
∴BE＝b﹣a，EF＝b+a，
∴△BEF的面积为S1＝（b﹣a）（b+a），
四边形ABFG的面积记为S2＝（b+a）（b+a）＝；
（2）长方形DCMG的面积记为S3＝ab，
当2a＝b时，＝；
（3）∵S2＝32，S3＝12，
∴，ab＝12，
∵b＞a＞0，
∴b+a＝8，
∴（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab＝64﹣4×12＝16，
∴b﹣a＝4，
∴CH＝b﹣a＝4．
即CH的长为4．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形的性质，解题的关键熟练掌握正方形和长方形的性质．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
27．（2022春•杭州期末）阅读：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，我们不能用xyz表示，而要表示为100x+10y+z，有时为书写方便还可以表示为，即有：＝100x+10y+z．
（1）类比：＝ 10a+b ；
观察下列等式：
152＝100×1×2+25
252＝100×2×3+25
352＝100×3×4+25
452＝100×4×5+25
（2）猜想：①552＝ 100×5×6+25 ；②2＝ 100a（a+1）+25 ；
（3）验证：利用所学知识证明猜想②．
【分析】（1）十位数字是a，个位数字是b；
（2）根据第（1）题的规律可得：（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25；
（3）2＝（10a+5）2，利用完全平方公式展开计算．
【解答】解：（1）十位数字是a，个位数字是b，所以＝10a+b．
故答案为：10a+b；
（2）观察下列等式：
152＝100×1×2+25
252＝100×2×3+25
352＝100×3×4+25
452＝100×4×5+25
•••
（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25；
所以552＝100×5×6+25．
2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
故答案为：100×5×6+25；100a（a+1）+25；
（3）2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
理由：2＝（10a+5）2＝100a2+2×10a×5+52＝100a2+100a+25，
100a（a+1）+25＝100a2+100a+25，
所以，2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
因此结论正确．
【点评】此题考查数的十进制和列代数式，此题属于数字的规律问题，本题的关键是根据第（1）题得出规律：（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25．
28．（2022春•钱塘区期末）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①得，x＝4．
所以方程组的解为．
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组．
（2）表示一个两位数，其中a为1～9的整数．圆圆在研究平方的规律时发现：
152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25．
252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25．
352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25．…
猜想（）2的结果，并说明理由．
【分析】（1）仿照材料中的解题思路，将方程组变形后，“整体代换”即可求出解；
（2）根据所给的例子发现：（）2＝100a（a+1）+25．根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证．
【解答】解：（1）
将方程②变形得：3（5a﹣2b）+2b＝25③，
把方程①代入③得：3×5+2b＝25，
解得：b＝5，
将b＝5代入①得：a＝3，
所以原方程组的解为；
（2）由152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25．
252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25．
352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25．
…
可猜想：（）2＝100a（a+1）+25．理由如下：
∵（）2
＝（10a+5）2
＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25，
∴（）2＝100a（a+1）+25．
【点评】本题考查了数的十进制，规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚式子的规律．
期末专项复习3 七下计算题型期末试卷选题练习
1．（2022春•绍兴期末）因式分解：x2﹣16x+64＝ （x﹣8）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣8）2．
故答案为：（x﹣8）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2022春•宁波期末）阅读材料：若x3+2x2﹣2x+m（m为常数）有一个因式为（x﹣1），则如何因式分解x3+2x2﹣2x+m？
解：因为x3+2x2﹣2x+m有一个因式为（x﹣1），所以当x﹣1＝0时，x3+2x2﹣2x+m＝0，于是把x＝1代入x3+2x2﹣2x+m＝0得1+2﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，原代数式变为x3+2x2﹣2x﹣1，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+2x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（x2+3x+1）
若x3+4x2+mx+2（m为常数）有一个因式为（x+2），则因式分解x3+4x2+mx+2＝ （x+2）（x2+2x+1） ．
【分析】类比题目所给的示例，解答即可．
【解答】解：因为x3+4x2+mx+2有一个因式为（x+2），所以当x+2＝0时，x3+4x2+mx+2＝0，于是把x＝﹣2代入x3+4x2+mx+2＝0得1+2﹣2+m＝0，解得m＝5，原代数式变为x3+4x2+5x+2，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+4x2+5x+2＝（x+2）（x2+2x+1）
∴因式分解x3+4x2+mx+2＝（x+2）（x+1）2，
故答案为：（x+2）（x+1）2．
【点评】本题考查了利用因式分解分解因式的特殊方法，解题的关键是：根据材料仿做．
3．（2022春•嘉兴期末）计算：
（1）3﹣1+；
（2）20232﹣2022×2023．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）把2022变形为（2023﹣1）进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）3﹣1+
＝+1
＝；
（2）20232﹣2022×2023
＝20232﹣（2023﹣1）×2023
＝20232﹣20232+2023
＝2023．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022春•婺城区期末）计算：．
【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂法则，零指数幂法则，二次根式的性质进行计算便可．
【解答】解：原式＝5+4﹣1+4
＝12．
【点评】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记绝对值的性质，负整数指数幂法则，零指数幂法则，二次根式的性质．
5．（2022春•绍兴期末）（1）计算：3﹣2+（﹣1）2﹣（2022﹣π）0；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）．
【分析】（1）先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案；
（2）根据整式的运算法则直接计算即可求解．
【解答】解：（1）原式＝+1﹣1
＝；
（2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+2x
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
6．（2022春•柯桥区期末）计算下列各题：
（1）（﹣1）2022﹣（2022﹣π）0+（﹣）﹣3；
（2）（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）．
【分析】（1）根据实数指数幂的计算方法计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+（﹣8）
＝﹣8；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2
＝5y2﹣4xy．
【点评】本题主要考查实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识，熟练掌握实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识是解题的关键．
7．（2022春•湖州期末）已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
【分析】（1）根据（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，可得a＝3；
（2）化简（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）得4a+5，将a＝3代入即得答案..
【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，且（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3；
（2）（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣1）
＝a2+4a+4﹣a2+1
＝4a+5，
当a＝3时，
原式＝4×3+5
＝17．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握结果中不含x的一次项，即是x一次项系数为0，从而求出a值．
8．（2022春•宁波期末）在①4mn，②﹣4mn这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答：
问题：分解因式：m2+ （±4mn） +4n2．
【分析】分别把两个代数式填入横线上，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：若选择①，
分解因式：m2+4mn+4n2＝（m+2n）2；
若选择②，
分解因式：m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2．
故答案为：（±4mn）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022春•绍兴期末）分解因式：
（1）3x2﹣3；
（2）2（a﹣b）﹣3x（a﹣b）．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：（1）3x2﹣3
＝3（x2﹣1）
＝3（x+1）（x﹣1）；
（2）2（a﹣b）﹣3x（a﹣b）＝（a﹣b）（2﹣3x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10．（2022春•柯桥区期末）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2mx2﹣4mxy+2my2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
【解答】解：（1）4a2﹣16
＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）2mx2﹣4mxy+2my2
＝2m（x2﹣2xy+y2）
＝2m（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．（2022春•嘉兴期末）化简：．小明的解法如下框：
解：原式＝x+2+2（x﹣1）
＝x+2+2x﹣2
＝3x
小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．
【分析】利用异分母分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：小明的解答不正确．
＝+
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
12．（2022春•绍兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先②×6得6x﹣3y＝6③，再①+③即可求出x的值，再将x的值代入①即可求出方程组的解；
（2）先将方程变形为，再去分母化成整式方程解出x的值，最后检验．
【解答】解：（1），
②×6得：6x﹣3y＝6③，
①+③得：8x＝10，
解得x＝，
将x＝代入①得2×+3y＝4，
解得y＝，
∴原方程组的解为；
（2）分式方程可化为，
两边同时乘以（x﹣2）得：x﹣2（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝7，
经检验：x＝7是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是x＝7．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组，分式方程，掌握二元一次方程组的解法和分式方程的解法是解题的关键，分式方程最后要检验．
13．（2022春•南浔区期末）解分式方程：．
【分析】方程两边同时乘以（1﹣y），把分式方程化成整式方程，检验后即可得出答案．
【解答】解：
去分母得：3＝﹣y﹣5（1﹣y），
解得：y＝2，
当y＝2时，1﹣y≠0，
∴原分式方程的解为y＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
14．（2022春•滨江区期末）解下列方程（组）：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
①﹣②得：9t＝﹣9，
解得：t＝﹣1，
把t＝﹣1代入①得：2s﹣3＝﹣1，
解得：s＝1，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×3+②×5得：19x＝﹣38，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入②得：﹣4+3y＝2，
解得：y＝2，
则方程组的解为；
（3）去分母得：2（1+x）+（1+x）（1﹣x）＝x（1﹣x），
整理得：2+2x+1﹣x2＝x﹣x2，
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入得：（1+x）（1﹣x）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
15．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出a不能为2，﹣2，1，取a＝0，把a＝0代入化简结果，再求出答案即可．
【解答】解：
＝÷+
＝÷+
＝•+
＝+
＝
＝，
要使分式有意义，a﹣2≠0，a+2≠0，a﹣1≠0，
所以a不能为2，﹣2，1，
取a＝0，
当a＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，﹣3，
当x＝0时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
17．（2022春•北仑区期末）化简与计算：
（1）因式分解：x3﹣25x；
（2）先化简，再求值：当a＝3，b＝1时，求的值．
【分析】（1）根据提取公因式以及平方差公式即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）．
（2）原式＝•
＝•
＝
＝，
当a＝3，b＝1时，
原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，提取公因式以及平方差公式，本题属于基础题型．
18．（2022春•温州期末）已知是二元一次方程组的解．
（1）求a，b的值．
（2）求方程组的解．
【分析】（1）把代入方程组计算可得答案；
（2）对比原方程组和所求方程组可知：2x+1与3y﹣5分别是原方程组中的x和y．
【解答】解：（1）把代入方程组得：
，
①×2+②得，8+2b＝2，
∴b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得，a＝﹣4，
∴；
（2）根据题意可得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的有关概念，一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
19．（2022春•温州期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 甲 ；
（2）请你书写正确的化简过程，并在“﹣1，0，1”中选择一个合适的数代入求值．
【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）利用异分母分式加减法法则先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲，
故答案为：甲；
（2）（﹣x+1）÷
＝•
＝•
＝，
∵x+1≠0，x≠0，
∴x≠﹣1，x≠0，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（2022春•南浔区期末）小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：
（30x4y2+M+12x2y2）÷（﹣6x2y）＝N+3xy﹣2y．
（1）请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算．
（2）先求正确答案与x2y+xy+y的和，再因式分解．
【解答】解：（1）由题意得：N＝30x4y2÷（﹣6x2y）＝﹣5x2y，
M＝3xy×（﹣6x2y）＝﹣18x3y2．
∴正确答案为：﹣5x2y+3xy﹣2y．
（2）﹣5x2y+3xy﹣2y+x2y+xy+y＝﹣4x2y+4xy﹣y．
这个和能够因式分解，
﹣4x2y+4xy﹣y
＝﹣y（4x2﹣4x+1）＝﹣y（2x﹣1）2．
【点评】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则是求解本题的关键．
21．（2022春•湖州期末）【学习材料】一拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
例2：分解因式：x3+5x﹣6．
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+14x﹣51＝ （x+17）（x﹣3） ．
（2）化简：．
【分析】（1）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答；
（2）仿照例2的解题思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+14x﹣51
＝x2+14x+49﹣49﹣51
＝（x+7）2﹣100
＝（x+7+10）（x+7﹣10）
＝（x+17）（x﹣3），
故答案为：（x+17）（x﹣3）；
（2）
＝
＝
＝
＝x2+x﹣2．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，分式的化简求值，理解例1和例2的解题思路是解题的关键．
22．（2022春•绍兴期末）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ；
（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；
（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+有最小值，并求出这个最小值；
（4）设a为实数，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+取得最小整数时，则a＝ 或 ，b＝ 1 ．
【分析】（1）利用配方法分解因式；
（2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最大值；
（3）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值；
（4）根据（3）的结论，结合a，b的取值范围求解．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣32
＝（m+1）（m﹣5）；
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17，
∴当a＝4时，﹣a2+8a+1的最大值是17．
（3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+
＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+
＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+≥．
此时有：，
解得：，
所以当a＝﹣3，b＝﹣1时，这个最小值为．
（4）∵b为正整数，
∴由（3）得：原式≥，
原式取得的最小整数值是5，
当（a﹣2b+1）2+（b+1）2+＝5时
（a﹣2b+1）2+（b+1）2＝
∵b为正整数，
∴b+1＝2，
∴（a﹣2b+1）2＝
解得：a＝或a＝
∴b＝1，a＝或a＝．
故答案为：或；1．
【点评】本题考查了配方法进行因式分解，求代数式的最值，理解完全平方式是解题的关键．
23．（2022春•婺城区期末）在当今“互联网+”的时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的结果为（x+2）（x+3）（x﹣3），当x＝15时，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．
根据上述方法，解答以下问题：
（1）对于因式分解结果为（x+2）（x﹣1）的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为 2320，2023 ．
（2）当x＝20，y＝2时，对于多项式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码（求出四个即可）？
（3）已知多项式x3+ax2+bx+3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，求a，b的值．
【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，将两个数排序，从而获得密码．
（2）先提公因式，然后用平方差公式将多项式因式分解，然后把x和y的值代入求得3个因式的值，然后把这3个数进行组合得出密码．
（3）由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后计算这3个因式的乘积，其结果与x3+ax2+bx+3相同，其多项式的二次项系数＝a，一次项系数＝b．
【解答】解：（1）当x＝21时，x+2＝23，x﹣1＝20，此时，可获得密码2320，2023．
故答案为：2320，2023．
（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），
当x＝20，y＝2时，
x+y＝22，x﹣y＝18，
此时，可获得密码202218，201822，182022，182220，222018，221820．
（3）当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，
∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），
（x﹣1）（x+1）（x﹣3）
＝（x2﹣1）（x﹣3）
＝x3﹣3x2﹣x+3，
∴a＝﹣3，b＝﹣1．
【点评】本题考查因式分解的应用，在多项式因式分解的基础上，由给定的字母的取值确定获得的密码．
24．（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：
第1个：2+2＝2×2；
第2个：3+＝3×；
第3个：4+＝4× …
我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．
（1）写出第4个式子．
（2）写出第n个式子，并检验．
（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．
【分析】（1）、（2）根据已知条件得出的规律，直接写即可．
（3）m，n是一对“和积数对”，所以可设m+n＝mn＝x，化简式子，代入再化简即可．
【解答】解：（1）第4个式子为5+＝5×；
（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；
检验：左边＝+＝＝右边；
（3）∵m，n是一对“和积数对”，
∴m+n＝mn，
设m+n＝mn＝x，
原式＝＝＝；
【点评】本题考查了新定义和化简求值问题，解题关键是读懂题意，根据新定义的规律解决问题．
25．（2022春•杭州期末）在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣x2+2x+2的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+3≤3．
当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3．
∴﹣x2+2x+2的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值．
（2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值．
（3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（3）由x2﹣3x+y﹣10＝0，可得y﹣x＝﹣x2+2x+10，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，
∵﹣（y+3）2≤0，
∴﹣（y+3）2+11≤11．
∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．
（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，
∵﹣2（a﹣2）2≤0，
∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．
∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．
（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+11≤11．
∴y﹣x的最大值是11．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26．（2022春•上城区期末）如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若2a＝b，求的值；
（3）若S2＝32，S3＝12，求CH的长．
【分析】（1）四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，则AD＝DC＝BC＝AB＝EH＝a，DG＝GF＝HF＝DH＝AE＝b，得到BE＝b﹣a，EF＝b+a，表示出△BEF的面积即可；
（2）用含有a和b的式子表示出S3，计算比值即可；
（3）已知S2＝32，S3＝12，则利用面积可以表示出ab＝12，a+b＝8，而CH＝b﹣a，求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，四边形AEFG是长方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝EH＝a，DG＝GF＝HF＝DH＝AE＝b，
∴BE＝b﹣a，EF＝b+a，
∴△BEF的面积为S1＝（b﹣a）（b+a），
四边形ABFG的面积记为S2＝（b+a）（b+a）＝；
（2）长方形DCMG的面积记为S3＝ab，
当2a＝b时，＝；
（3）∵S2＝32，S3＝12，
∴，ab＝12，
∵b＞a＞0，
∴b+a＝8，
∴（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab＝64﹣4×12＝16，
∴b﹣a＝4，
∴CH＝b﹣a＝4．
即CH的长为4．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形的性质，解题的关键熟练掌握正方形和长方形的性质．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
27．（2022春•杭州期末）阅读：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，我们不能用xyz表示，而要表示为100x+10y+z，有时为书写方便还可以表示为，即有：＝100x+10y+z．
（1）类比：＝ 10a+b ；
观察下列等式：
152＝100×1×2+25
252＝100×2×3+25
352＝100×3×4+25
452＝100×4×5+25
（2）猜想：①552＝ 100×5×6+25 ；②2＝ 100a（a+1）+25 ；
（3）验证：利用所学知识证明猜想②．
【分析】（1）十位数字是a，个位数字是b；
（2）根据第（1）题的规律可得：（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25；
（3）2＝（10a+5）2，利用完全平方公式展开计算．
【解答】解：（1）十位数字是a，个位数字是b，所以＝10a+b．
故答案为：10a+b；
（2）观察下列等式：
152＝100×1×2+25
252＝100×2×3+25
352＝100×3×4+25
452＝100×4×5+25
•••
（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25；
所以552＝100×5×6+25．
2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
故答案为：100×5×6+25；100a（a+1）+25；
（3）2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
理由：2＝（10a+5）2＝100a2+2×10a×5+52＝100a2+100a+25，
100a（a+1）+25＝100a2+100a+25，
所以，2＝（10a+5）2＝100a（a+1）+25．
因此结论正确．
【点评】此题考查数的十进制和列代数式，此题属于数字的规律问题，本题的关键是根据第（1）题得出规律：（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25．
28．（2022春•钱塘区期末）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①得，x＝4．
所以方程组的解为．
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组．
（2）表示一个两位数，其中a为1～9的整数．圆圆在研究平方的规律时发现：
152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25．
252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25．
352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25．…
猜想（）2的结果，并说明理由．
【分析】（1）仿照材料中的解题思路，将方程组变形后，“整体代换”即可求出解；
（2）根据所给的例子发现：（）2＝100a（a+1）+25．根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证．
【解答】解：（1）
将方程②变形得：3（5a﹣2b）+2b＝25③，
把方程①代入③得：3×5+2b＝25，
解得：b＝5，
将b＝5代入①得：a＝3，
所以原方程组的解为；
（2）由152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25．
252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25．
352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25．
…
可猜想：（）2＝100a（a+1）+25．理由如下：
∵（）2
＝（10a+5）2
＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25，
∴（）2＝100a（a+1）+25．
【点评】本题考查了数的十进制，规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚式子的规律．
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