【全套精品专题】通用版八年级上数学学案 乘法公式（知识梳理+同步练习无答案）

平方差公式和完全平方公式是中学阶段两个非常重要的公式，单独考查时题目不难。完全平方式的配方是考试的重点，应熟悉并掌握。

平方差公式：

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

例1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）

A.   B.  C.   D.

例2. 的计算结果是（　　）

A. 2      B. ﹣2      C. 4       D. ﹣4

变式1.（2020年长郡八上期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（    ）

A.                     B.

C.                     D.

变式2.（2018年长郡八上期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（    ）

变式3.下列各式中，能用平方差公式计算的是　　

A． B． 

C． D．

变式4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数” 　　

A．56 B．66 C．76 D．86

变式5.将变形正确的是　　

A． B． C． D．

变式6.计算：．

例3.某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：

．

请借鉴该同学的经验，计算：．

例4.请先观察下列算式， 再填空：

，．

①________；

②　   　；

③　   　；

④　   　　   　；

（1） 通过观察归纳， 你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来 ．

（2） 你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？

变式1.若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝__________．

变式2.（2019年郡维第三次月考变式）若，，则代数式的值是(    )

A.    B.    C.    D.

变式3.已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝_________．

变式4.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数．

（1）32和2012这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．

（2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

变式5.（2019年明德八上第三次月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.

如：，，，因此，，这三个数都是神秘数.

(1)是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为和(其中取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？

(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数.

②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？

例5.如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是　　

A．     B． 

C．                 D．

变式1.根据如图可以验证的乘法公式为　　

A．    B． 

C．    D．

变式2.(2018年雅实八上第三次月考）如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是(   )

A.     B.

C.     D.

变式3.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于、的恒等式为　　

A． 

B． 

C． 

D．

变式4.如图所示，在边长为的正方形中减去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形如图，分别计算这两个图阴影部分的面积，验证了公式：_________________，用此公式计算：_________________．

例6.乘法公式的探究及应用：

（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是___________（写成两数平方差的形式）．

（2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是

　 　（写成多项式乘法的形式）．

（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．

（4）应用所得的公式计算：．

例7.前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：

图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；

图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．

（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：

图①：________________________；

图②：________________________．

（2）请利用上面的乘法公式计算：

①1002﹣99×101；       ②（60）2．

变式1.（2019年长郡八上第三次月考）如图，从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为(    )

A.      B.

C.       D.

变式2.（2019年雅礼第三次月考变式）图1是—个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形.则中间空的部分的面积是(    )

A.    B.   C.   D.

变式3.在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形把余下的部分再剪拼成一个长方形．

（1）如图1，阴影部分的面积是：__________；

（2）如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是　    　；

（3）比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是　    　；

（4）运用你所得到的公式，计算：．

变式4.（2019年明德第三次月考变式）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图．

（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）

．  ．  ．

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知，，求的值．

②计算：．

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

例8.（2018年长郡八上期中）整式 为某完全平方式展开后的结果，则的值为（    ）

例9.利用完全平方公式计算得（　　）

A.     B.   C.     D.

变式1.（2020年长郡八上期中）已知，，则（    ）

变式2.（2018年青一八上期末）若，，则的值为（    ）

变式3.（2018年广益八上第三次月考）已知，，则的值是(　　)

变式4.（2020年青一八上期中）已知a+b=4，ab=2， 则a²+b²= （　　）

变式5.(2018年雅礼变式第三次月考）若是一个完全平方式，那么m的值是____________.

例10.已知有理数，满足，．求下列各式的值．

（1）；        （2）．

例11.（2020年郡维八上期中）若，则的结果是(    )

变式1.已知，且，则的值为　　

变式2.（2020年中雅变式第三次月考）已知，当时，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

变式3.若满足，则________．

变式4.______．

变式5.小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为________．

变式6.已知，，则的值为_________．

变式7.已知：，，求的值．

例12.如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是（　　）

A．4                B．5              C．6             D．7

例13.（2019年长梅八上第三次月考）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？(   )

A.     B.

C.     D.

变式1.有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形，的面积之和为　　

A．13         B．11 

C．19         D．21

变式2.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式　　

A． 

B． 

C． 

D．

变式3.图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　　

A． B． C． D．

变式4.（2019年长芙八上第三次月考）如图，两个正方形的边长分别为，()，如果，，则阴影部分的面积是__________.

变式5.请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．

方法____________；

方法____________．

（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：____________；

（3）利用（2）中结论解决下面的问题：

如图2，两个正方形边长分别为、，如果，求阴影部分的面积．

例15.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；

方法1_____________；方法2__________．

（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上；

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：，，求的值；

②已知，求的值．

变式1.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图．

①图2中的阴影部分的面积为_________；

②观察图2请你写出、、之间的等量关系是__________________；

③根据（2）中的结论，若，，则_________；

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．

如图3，你发现的等式是　                  　．

变式2.如图①是一个长，宽的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；

（2）观察图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式；

（3）根据（2）中的结论，若，．求的值．

变式3.请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；

（3）如果图中的，满足，，求：①的值；②的值．

1．（2019年长郡八上期中）下列各式中，能用完平方公式计算的是(    )

A.      B.

C.         D.

2.（2020年青一八上期中）若是完全平方式，则的值是（    ）

A.4          B.8            C.16              D.32

3.（2019年长郡八上期中）如果是完全平方式，则的值为(    )

A.    B.1     C.1或   D.1或

4.（2018年雅实八上第三次月考）已知，则的值为(    )

A.     B.    C.     D.

5.(2019年麓山八上期中）如果的展开式只有两项，则常数的值为(    )

A.     B.1     C.或   D.或1

6.（2019年中雅八上期中）若中不含项，那么的值为（    ）

7.（2019年雅礼八上期中）已知，，则的值为　      　．

8．（2019年长芙八上第三次月考）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为__________.

9.（2019年长梅八上第三次月考）若，则的值为__________.

10．（2020年青一八上期中）若的结果中不含关于字母的一次项，则           .

11.（2019年长郡八上期中）若与的乘积中不含的一次项，则__________.

12.（2019年中雅八上期中）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，边长分别为，的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片4张，用这9张卡片拼成一个大正方形.

（1）求这个正方形的边长（用含，的式子表示）；

（2）已知拼成的大正方形边长为5，，求的值．

13.（2018年长郡八上期中）已知：，，求：

（1） 的值；

（2） 的值.

14.如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．

（1）设如图1中阴影部分面积为，如图2中阴影部分面积为，请直接用含a，b的代数式表示，；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用这个公式计算：