第25讲 分式的运算-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第25讲 分式的运算 目录  TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc116648781" 第一部分 典例剖析+针对训练  PAGEREF _Toc116648781 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc116648782" 【模块一】分式的运算  PAGEREF _Toc116648782 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc116648783" 题型一 分式的运算  PAGEREF _Toc116648783 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc116648784" 题型二 分式的化简与求值  PAGEREF _Toc116648784 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc116648785" 题型三 分式的条件求值  PAGEREF _Toc116648785 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc116648786" 【模块二】分式的拆分  PAGEREF _Toc116648786 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc116648787" 题型一 分式的拆分  PAGEREF _Toc116648787 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc116648788" 题型二 分离常数  PAGEREF _Toc116648788 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc116648789" 第二部分 专题提优训练  PAGEREF _Toc116648789 \h 9  第一部分 典例剖析+针对训练 【模块一】分式的运算 题型一 分式的运算 典例1（2022秋•绿园区校级月考）计算： （1）2ax2y3axy2； （2）2yx+1−yx+1； （3）aa−b+bb−a． 典例2（2022秋•环翠区校级月考）分式计算： （1）3x2y⋅512ab2÷(−5a4b)； （2）(−a2bc)3⋅(−c2a2)2÷(−bca)4； （3）a+31−a÷a2+3aa2−2a+1； （4）(ab−b2)÷a2−b2a+b． 典例3 计算： (1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) a-2b2·(a2b-2)-3 针对训练 1．（2022秋•东营区校级月考）计算： （1）b2ca×acb÷(−ca)2； （2）x2−4x+2•1x−2÷（x﹣2）； （3）x−5x−2−xx−2−1+x2−x； （4）(2xx2−y2−1x+y)(x−y)2． 2.计算： (1) x2y-3(x-1y)3 (2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 题型二 分式的化简与求值 典例4 （2021秋•萨尔图区校级期末）先化简，再求值：y2x2−xy+xy−x，其中x＝2，y＝﹣4． 典例5（2021秋•武隆区校级期末）先化简，再求值：1x+2−x2−4x+4x2−x÷(x+1−3x−1)，其中x是不等式组x−1＞02(x−1)≤x+1的整数解． 针对训练 1．（2021秋•巩义市期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：（3xx−1−xx+1）•x2−12x，其中x＝﹣3． 解：原式＝[3x(x+1)(x−1)(x+1)−x(x−1)(x−1)(x+1)]•(x−1)(x+1)2x⋯⋯第一步 =3x2+3x−x2+x(x−1)(x+1)•(x−1)(x+1)2x⋯⋯第二步 =2x2+4x(x−1)(x+1)•(x−1)(x+1)2x⋯⋯第三步 =2x(x+2)(x−1)(x+1)•(x−1)(x+1)2x⋯⋯第四步 ＝x+2……第五步 当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1． 任务一：以上解题过程中，第 　 　步是约分，其变形依据是 　 　； 任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议． 2．（2022秋•开福区校级月考）先化简，再求值：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2，其中1＜m＜5，从中选取一个整数值，代入求值． 3．（2021秋•潍坊期末）先化简，再求值：(4mnm−2n+m)÷m2+4mn+4n24n3−m2n，其中m+n＞0，|m|＝2，|n|＝1． 4．（2021秋•西宁期末）先化简，再求值：m−m2−1m2+2m+1÷m−1m，选一个合适的数作为m的值代入求值． 题型三 分式的条件求值 典例6（2022春•黔江区校级期中）（1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+1a2的值． （2）已知a为实数，且a2﹣2016a+1＝0，求a2﹣2015a+2016a2+1的值． 针对训练 1．（2022春•南阳期末）已知x＞0，y＞0且−1x+1y=2x−y，则xy+yx的值为（　　） A．14 B．12 C．14或1 D．4 2．（2022春•封丘县期末）若x+y＝3，xy＝﹣3，则2x+2y的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2  【模块二】分式的拆分 题型一 分式的拆分 典例7（2022春•驿城区校级期末）请仿照例子解题： Mx+1+Nx−1=1−3xx2−1恒成立，求M、N的值． 解：∵Mx+1+Nx−1=1−3xx2−1， ∴M(x−1)+N(x+1)(x+1)(x−1)=1−3xx2−1，则Mx−M+Nx+N(x+1)(x−1)=1−3xx2−1， 即(M+N)x−M+N(x+1)(x−1)=−3x+1x2−1，故M+N=−3−M+N=1， 解得：M=−2N=−1，请你按照上面的方法解题：若Mx+2+Nx−2=x−8x2−4恒成立，求M、N的值． 针对训练 1．若Mx+1+Nx−1=1−5xx2−1恒成立，求M、N的值． 2．（丰台区校级期中）已知：3x2−7x+2(x−1)(x+1)=3+Ax−1+Bx+1恒成立，其中A，B为常数，求4A﹣2B的值．  题型二 分离常数 典例8（2022•南京模拟）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x−1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题． （1）假分式x+6x+4也可化为带分式 　　 形式； （2）利用分离常数法，求分式2x2+5x2+1的取值范围； （3）若分式5x2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m−11+1n−6，则m2+n2+mn的最小值为 　 　． 针对训练 1．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：x2−x+3x+1=x(x+1)−2(x+1)+5x+1=x(x+1)x+1−2(x+1)x+1+5x+1=x−2+5x+1． 这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式． （1）将分式x2+6x−3x−1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　 　． （2）已知整数x使分式2x2+5x−20x−3的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　．  2．（2021春•泰兴市校级期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）如果分式x−4x−2的值为整数，求满足条件的整数x的值； （2）若分式3x2+7x−2x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：3m+7+4n−2，则m2+n2+mn的最小值为 　 　． （3）利用分离常数法，求分式2x2+3x2+2的取值范围．  第二部分 专题提优训练 1． 计算： 2． 计算：(1) (2) 3．计算：(1) (2) 4．先化简，再求值：，其中x＝2y(xy≠0). 5.先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取. 6．已知，求的值. 7.已知x2－4x＋1＝0，求出的值