新教材2023_2024学年高中数学第四章数学建模活动三1自主数学建模的结题报告课件北师大版选择性必修第一册

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第四章§1　自主数学建模的结题报告　　　【内容概述】数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建数学模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容.【数学建模】数学建模活动的基本过程如下:数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容.本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长模型、信度评价模型等.在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、数学表达的道理、模型参数的意义、模型适用的范围,提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养;知道其中的有些模型(以及模型的衍生)获得诺贝尔经济学奖的理由,理解数学的应用,提高学习数学的兴趣,提升实践能力和创新能力.【数学建模实例】 实例1　设计的最优化问题[问题情境]如图,高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为8 400元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为420元/m2;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为160元/m2.设总造价为y(单位:元),AD长为x(单位:m).(1)用x表示AM的长度,并求x的取值范围;(2)当x为何值时,总造价y最小?并求出这个最小值.[分析]本题涉及如何进行设计可以达到效益的最大化,只需根据题目的条件建立相应的函数模型然后求解模型即可.(1)根据已知条件,结合矩形的面积公式,以及AM>0,即可求解;(2)根据已知条件,结合基本不等式,即可求解.实例2　鞋子尺码问题[情境] 网上购鞋常常看到下面的表格.脚长与鞋号对应表请解决下面的问题:(1)找出满足表中对应规律的计算公式,通过实际脚长a计算出鞋号b;(2)根据计算公式,计算30号童鞋所对应的脚长是多少?(3)如果一个篮球运动员的脚长为282 mm,根据计算公式,他该穿多大号的鞋?[分析] 数学建模素养的一个基本表现,就是能够针对具体的数据,选择合适的数学模型表达数量之间的关系,解决实际问题.[解] (1)构建数据表,利用计算工具的电子表格作出散点图,选择几种函数模型进行拟合;对比拟合结果,发现线性函数的拟合效果最好,进而确定计算公式是一个线性模型,最后确定模型中的参数,如表所示.然后建立关系式b=0.2a-10.(2)令b=30,代入公式b=0.2a-10,得a=200,脚的长度为200 mm.(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,解得b=46.4,所以分两种情况:如果简单地进行“四舍五入”,那么选46号鞋;如果想穿鞋不挤脚,可以选47号鞋.【跟踪训练】 [情境] 为了实现绿色发展,避免浪费能源,某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此,相关部门在该市随机调查了200户居民六月份的用电量(单位:kW·h),以了解这个城市家庭用电量的情况.数据如下:根据以上数据,应当如何确定阶梯电价中的电量临界值,才能使得电价更为合理?[分析] 选取六月份调查,是因为这个城市六月份的部分时间需要使用空调,因此六月份的用电量在一年12个月中处于中等偏上水平.如果阶梯电价临界值的确定依赖于居民月用电量的分布,例如计划实施3阶的阶梯电价,有人给出一个分布如下:75%用户在第一档(最低一档),20%用户在第二档,5%用户在第三档(最高一档).这样,需要通过样本数据估计第一档与第二档、第二档与第三档的两个电量临界值,即75%和95%这两个电量临界值.通过样本估计总体百分位数的要领是对样本数据进行排序,得到有序样本(在统计学中称之为顺序统计量).[解]利用电子表格软件,对上面的样本数据进行排序,可以得到下面的结果: 样本数据总共有200个,最小值是8,最大值是626,说明200户居民六月份的最小用电量为8 kW·h,最大用电量为626 kW·h,极差为618.因为数据量是200,所以这组数据的样本中位数就是有序样本第100个数130和第101个数130的平均数,即130,说明这个城市六月份居民用电量的中间水平大约在130 kW·h.下面确定75%和95%这两个电量临界值.类似中位数的计算,因为200×75%= 150,所以第一个临界值为有序样本中第150个数178和第151个数178的平均数,仍然是178.因为200×95%=190,所以第二个临界值为有序样本中第190个数289和第191个数304的平均数,这个平均数为296.5(因为是对百分位数的估计,为了便于操作可以取值为297).依据确定了的电量临界值,阶梯电价可以规定如下:用户每月用电量不超过178 kW·h(或每年用电量不超过2 136 kW·h),按第一档电价标准缴费;每月用电量(单位:kW·h)在区间(178,297]内(或每年用电量在区间(2 136,3 564]内),其中的178 kW·h按第一档电价标准缴费,超过178 kW·h的部分按第二档电价标准缴费;每月用电量超过297 kW·h(或每年用电量超过3 564 kW·h),其中的178 kW·h按第一档电价标准缴费,(297-178)=119 kW·h按第二档电价标准缴费,超过297 kW·h的部分按第三档电价标准缴费.社会上对这种制定阶梯电价的原则和方法存在不同意见,教师可以引导学生讨论制定合理阶梯电价的原则和方法.