专题24.5 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题24.5 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11493" 【题型1 判断点和圆的位置关系】  PAGEREF _Toc11493 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc12989" 【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】  PAGEREF _Toc12989 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc18626" 【题型3 判断直线和圆的位置关系】  PAGEREF _Toc18626 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc376" 【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】  PAGEREF _Toc376 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc21169" 【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】  PAGEREF _Toc21169 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc27110" 【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】  PAGEREF _Toc27110 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc19670" 【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】  PAGEREF _Toc19670 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc3787" 【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】  PAGEREF _Toc3787 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc6991" 【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】  PAGEREF _Toc6991 \h 9  【知识点1 点和圆的位置关系】 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。 【题型1 判断点和圆的位置关系】 【例1】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）在平面直角坐标xOy中，⊙O的半径为5，以下各点在⊙O内的是（　　） A．(−2,3) B．(3,−4) C．(−4,−5) D．(5,6) 【变式1-1】（2023春·吉林通化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0，4、B2，4、C4，2． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ； （2）这个圆的半径为 ； （3）点D3，−1与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）． 【变式1-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x−5=0的一个根，则点P在（  ） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 【变式1-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（    ） A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外 C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内 【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】 【例2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm． 【变式2-1】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（    ） A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm 【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知⊙O的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，则r的取值范围是 ． 【变式2-3】（2023春·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． (1)求AF、AE的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【知识点2 直线和圆的位置关系】 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示: 若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交则d ＜ r； 直线l与⊙O相切则 d = r；直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。 【题型3 判断直线和圆的位置关系】 【例3】（2023春·九年级课时练习）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作⊙A， (1)当半径r为何值时，⊙A与直线BC相切； (2)当半径r为何值时，⊙A与直线BD相切； (3)当半径r的取值范围为何值时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离． 【变式3-1】（2023春·九年级课时练习）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−7x+12=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是 ． 【变式3-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为210，则直线l与⊙O的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么？    【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例4】（2023春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点A4,3为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A．0 2 【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径是3，点A在⊙O上，点P是⊙O所在平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ． 【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例6】（2023春·全国·九年级统考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以点C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-1】（2023春·九年级课时练习）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 个． 【变式6-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【变式6-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠ABC=60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O． (1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径； (2)直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围． 【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例7】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切． 【变式7-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【变式7-2】（2023春·天津宝坻·九年级校联考期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【变式7-3】（2023·天津·九年级统考期中）如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm． 【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例8】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（    ）． A．MN=433 B．若MN与⊙O相切，则AM=3 C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2 【变式8-1】（2023春·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y=34x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为12的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A．−1≤x≤1 B．−2≤x≤2 C．−2