第08讲 三角函数的定义-【预习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第三册）

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1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养．
2．借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养．
3.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切，重点培养数学抽象核心素养．
4．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．重点提升直观想象、逻辑推理核心素养．
【知识导航】
任意角的正弦、余弦与正切的定义
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
2．对确定的锐角α，sin α，cs α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
任意角的三角函数的定义
(1)对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝eq \r(x2＋y2)，则称eq \f(y,r)为角α的正弦，记作__________；称eq \f(x,r)为角α的余弦，记作__________．即sin α＝__________，cs α＝__________．
当角α的终边不在y轴上时，此时称eq \f(y,x)为角α的正切，记作__________，即tan α＝___________________．
(2)对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的__________．
[点拨]
1．在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
2．要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cs”“tan”等是没有意义的．
正(余)弦与正切在各象限的符号
当α的终边不落在坐标轴上即α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)时，你能判断sin α，cs α，tan α在各象限的符号吗？
提示：由三角函数定义可知 ，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上异于原点的任意点P(x，y)，r＝eq \r(x2＋y2)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).由r＞0可知，当α为第一象限角时，y＞0，x＞0，故sin α＞0，cs α＞0，tan α＞0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
1．三角函数的符号规律(记忆口诀)
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2.
正弦线、余弦线和正切线
1．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示．
(1)试求P点的坐标；
(2)能否用向量直观表示sin α，cs α，tan α.
(2)根据三角函数的定义，用向量eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(AT,\s\up6(→))表示sin α，cs α，tan α.
2．三角函数线的方向是如何规定的？
3．三角函数线的长度和方向各表示什么？
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
【知识预习】
考点一：三角函数的定义
1．已知角的终边经过点，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边经过点，则角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．若角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．若，则所在的象限是
A．二、四B．一、二C．一、四D．二、三
考点二：单位圆与三角函数线
6．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在
A．直线y＝x上B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上D．x轴上或y轴上
7．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（ ）
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
8．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）
A．B．C．D．
9．，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则
A．0B．1C．D．
【对点训练】
一、单选题
1．若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．B．C．D．
2．若，以下不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下面四个不等式中不正确的为
A．B．C．D．
4．下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若为第四象限角，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
7．若点在角的终边上，则tan＝（ ）
A．B．C．D．
8．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点
B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
10．下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
三、填空题
11．用三角函数线比较与的大小，结果是______.（用“>”连接）
12．若角的终边过点，则__________.
四、解答题
13．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线.
(1);
(2).
14．（1）如果，，则是第几象限角．
（2）若，则是第几象限角．
（3）若与异号，则是第几象限角．
（4）若与同号，则是第几象限角．
15．已知角的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，
(1)判断角的终边所在的象限；
(2)求和的值．
【提升作业】
一、单选题
1．已知角的终边经过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知角，角，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．1或D．或
4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．已知角，则的大小关系为__________．
7．若角满足，则的终边在第______象限.
三、解答题
8．已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
9．（1）已知是第二象限角，试判断的符号．
（2）若，求的终边的位置．
10．利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.
（1）求满足不等式的x的集合；
（2）求函数的定义域.
三角函数值
α落在坐标轴上
sin α
cs α
tan α
α＝2kπ(k∈Z)
α＝2kπ＋π(k∈Z)
α＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
不存在
α＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)
不存在
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，__________称为正弦线
余弦线
__________称为余弦线
正切线
过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，__________称为正切线