第09讲 同角三角函数基本式与诱导公式-【预习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第三册）

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1.理解并掌握同角三角函数的基本关系、重点提升数学抽象核心素养．
2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．重点提升数学运算逻辑推理核心素养．
3.了解三角函数诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，重点培养直观想象、数学抽象核心素养．
4.能运用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．
【知识导航】
知识点一 同角三角函数的基本关系式
已知角α终边上一点P(－3，－4)．
(1)求sin α，cs α，tan α的值；
(2)计算sin2 α＋cs2 α，eq \f(sin α,cs α)的值；
(3)是否对任意角α都有sin2 α＋cs2 α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，试证明．
提示：(1)sin α＝－eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(4,3).
(2)1，eq \f(4,3).
(3)是．利用三角函数定义证明(略)．
1．同角三角函数的基本关系式成立的条件：当α∈R时，sin2 α＋cs2 α＝1成立；当α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，eq \f(sin α,cs α)＝tan_α成立．
2．基本关系式的变形公式
sin2 α＋cs2 α＝1⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2 α＝1－cs2 α，,cs2 α＝1－sin2 α，,sin α＝±\r(1－cs2 α)，,（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.))
tan α＝eq \f(sin α,cs α)⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
知识点二 角α与α＋2kπ(k∈Z)的三角函数值之间的关系
已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.
(1)角α与β的终边有什么关系？
(2)作出β的三角函数线，通过作图，你会发现α，β的三角函数值有何关系？
提示：(1)终边相同．
(2)(作图略)．sin β＝sin α，cs β＝cs α，tan β＝tan α.
1．诱导公式①
sin(α＋k·2π)＝sin_α，cs(α＋k·2π)＝cs_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α．
2．诱导公式①的作用：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0～2π角的同名三角函数值问题．
知识点三 角的旋转、对称
如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC；
那么①指出角α＋θ的终边，②指出角α－θ的终边．③角α＋θ的终边与角α－θ的终边有怎样的对称关系．
提示：①射线OB ②射线OC ③关于直线OA对称
一般地，角α的终边和角β的终边关于角eq \f(α＋β,2)的终边所在的直线对称．
知识点四 角α与角－α的三角函数值之间的关系
1．角α与角－α的终边有怎样的对称关系？
提示：关于x轴对称．
2．结合三角函数线，角α与角－α的三角函数值之间的关系如何？
提示：(作图略)利用三角函数线和两角的对称关系得sin(－α)＝－sin α，cs(－α)＝cs α，tan(－α)＝－tan α.
1．诱导公式②：sin(－α)＝－sin_α，cs(－α)＝cs_α，tan(－α)＝－tan_α．
2．诱导公式②的作用：用正角的三角函数值表示负角的三角函数值．
知识点五 角α与π±α的三角函数值之间的关系
1．任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．
提示：α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin α，cs(π－α)＝－x＝－cs α，tan(π－α)＝eq \f(y,－x)＝－tan α.
2．你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？
提示：如cs(π＋α)＝cs[π－(－α)]＝－cs(－α)＝－cs α.
1．诱导公式③：sin(π－α)＝sin_α，cs(π－α)＝－cs_α，tan(π－α)＝－tan_α．
2．诱导公式④：sin(π＋α)＝－sin_α，cs(π＋α)＝－cs_α，tan(π＋α)＝tan_α．
知识点六 角α与eq \f(π,2)－α的三角函数值之间的关系
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.
(1)P2点的坐标是什么？
提示：P2(y，x)．
(2)eq \f(π,2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？
提示：对称．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.
诱导公式⑤
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α．
知识点七 角α与eq \f(π,2)＋α，eq \f(3π,2)±α的三角函数值之间的关系
1．利用诱导公式②⑤探究α与eq \f(π,2)＋α的三角函数值的关系？
提示：如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,2)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.
2．利用前面学习的诱导公式，你能发现eq \f(3π,2)＋α与α、eq \f(3π,2)－α与α间的三角函数值的关系吗？
提示：如sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq \f(π,2)－α)＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.
诱导公式⑥⑦⑧
⑥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α．
⑦cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sin_α，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－cs_α．
⑧cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin_α，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cs_α．
[点拨]
诱导公式①～⑧可以统一概括为“k·eq \f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．
【知识预习】
考点一：同角三角函数基本关系式
1．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】为第四象限角，且.
故选：D.
2．已知α为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由可得，
又α为第二象限角，所以.
所以.
故选：C.
3．若，且是第二象限角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由,且是第二象限角,
得
.
故选:．
4．已知,是第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】,


故选：.
5．已知,则的值为
A．2B．C．-2D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，故选：B.
考点二：诱导公式
6．已知，且为第三象限角，则
A．B．-C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴.
∵，
∴，即，
又∵为第三象限角，∴.
故选B.
7．已知sin＝ ，则cs (π＋α)的值为( )
A．B．－C．D．－
【答案】D
【详解】因为sin＝cs ＝，所以cs(π＋α)＝－cs ＝－．
故选D．
8．已知，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题得.
故选D
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，故选C.
10．已知，则（ ）
A．B．3C．D．0
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，即．
故选：A．
【对点训练】
一、单选题
1．已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，所以.
故选：A.
2．已知角终边上一点，则（ ）
A．2B．-2C．0D．
【答案】B
【详解】解：由题意，
角终边上一点，
∴
∴，
故选：B.
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，
．
故选：C．
4．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
5．已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，在第一象限，则，所以.
故选：C.
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
又，即，解得，
所以，
故选：B.
7．若且，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】，所以，又，所以，故是第三象限角.
故选：C
8．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
∴.
故选：D．
二、多选题
9．已知，，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】因为①，又sin2α+cs2α=1②，
联立①②，解得或，
因为，所以或．
故选：BD
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】解: 因为，所以，
．
所以．
故选: AD
三、填空题
11．已知A为三角形内角且，则________.
【答案】##0.6
【详解】根据，且A为三角形内角，
所以为锐角，
由题意得：，
解得：，
故答案为：.
12．已知，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：由题意得：
∵，
∴．
故答案为：
四、解答题
化简．
13．（1）;
14．（2）
【答案】(1)(2)
(1)
；
(2)
.
15．已知，，求的值.
【答案】
【详解】解：因为，所以，即，
又，联立可得，解得，
因为，所以，，
所以.
16．已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
（1）
（2）
∵，
∴
又为第三象限角，
∴
【提升作业】
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
故选：A.
2．已知为第四象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为为第四象限角且，所以，
也即，将两边同时平方可得：
，所以，
则，
故选：.
3．已知（ ）.
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【详解】因为，由题意可知:,
将分式的分子和分母分别除以，可得:,
解得:.
故选：.
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知，，
平方得：，
∴
∴
∵，∴，，∴，
∴.
故选：C.
5．已知，则的值为（ ）
A．B．18C．D．15
【答案】A
【详解】
，
代入可算得原式的值为.
故选：A
二、填空题
6．已知关于x的方程的两根为和（），则m的值为_______.
【答案】
【详解】根据题意可得①，，①式平方可得，所以.
故答案为：.
7．__________.
【答案】
【详解】原式


故答案为：
三、解答题
8．已知角满足.
(1)求的值；
(2)若角是第三象限角，，求的值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
9．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，故．
则．
又，且，则．
故．
又，二者联立解得：，，故．
（2）
10．已知关于的方程的两根为和，.求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)(2)
(1)
解：，是方程的两个根，
，
则
；
(2)
解：