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第一章 整式的乘除（巩固与复习）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）
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第一章 整式的乘除 复习与巩固 1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 知识点一. 幂的运算 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(为正整数). 2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘； (为正整数). 3.积的乘方：积的乘方 ，等于各因数乘方的积；(为正整数). 4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减；(≠0, 为正整数，并且). 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明： ①公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式； ②灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点二. 整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： ①运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式． ②根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： . 知识点三. 整式的除法 1.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点四. 乘法公式 1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （a+b）(a−b)=a2−b2 特别说明：①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②公式的特征：左边既有相同项，又有“相反项”，右边是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 完全平方公式：； 特别说明： ①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍(口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中间符号看前方). 知识点01 幂的运算 典例：1.下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（am）2＝a2+m D．a2+2a2＝3a2 【答案】D 【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案； C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案； D：应用多项式加法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：A：因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项不符合题意； B：因为（2a）3＝8a3，所以B选项不符合题意； C：因为（am）2＝a2m，所以C选项不符合题意； D：因为a2+2a2＝3a2，所以D选项正确． 故选：D． 【点拨】此题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方和积的乘方以及合并同类型，熟练掌握相关法则是解题的关键． 典例：2.计算（﹣）2022×（﹣2）2022的结果是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2022 【答案】C 【分析】逆用积的乘方法则对式子进行运算即可． 【详解】解：（﹣）2022×（﹣2）2022 ＝[﹣×（﹣）]2022 ＝12022 ＝1， 故选：C． 【点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 典例：3.计算（1） （2） 【答案】(1)-8 (2) 【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可． （2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可． （1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查幂的混合运算，包含绝对值，0次幂，负整数指数幂，幂的乘方等运算公式，熟练地运用公式进行计算是解题关键． 巩固练习 1．计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝ ． 2．已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值． 3．计算：； 知识点02 整式的乘法 典例：1.若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值 ． 【答案】2 【分析】先根据单项式乘单项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，继而根据代数式的值与b的取值无关知对应项的系数为0，据此求解即可． 【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣（3ka2b﹣4ka3﹣3ab2+4a2b） ＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+4ka3+3ab2﹣4a2b ＝2ka2b﹣4a2b+4ka3 ＝（2k﹣4）a2b+4ka3， 根据题意知2k﹣4＝0， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查整式的乘法法，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则． 典例：2.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可 解：原式= = = 当时，原式= 【点拨】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 巩固练习 1.某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 2．化简：（x﹣1）（x2﹣3x+2）﹣x（x﹣1）（x﹣3），其中x=1． 知识点03 整式的除法 典例:1计算：_____． 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，然后再进行同底数幂除法运算即可. 【详解】解：原式， 故答案为m2. 【点拨】本题考查了整式的运算，涉及了积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 典例:2.计算(5m2+15m3n-20m4)(-5m2) 结果正确的是（ ） A. 1-3mn+4m2 B. 1-3m+4m2 C. 4m2 -3mn-1 D. 4m2 -3mn 【答案】C 【分析】根据多项式除以单项式，先提取公因式再除以单项式，再把所得的商相加即可得到正确答案． 【详解】解：原式=5m2（1+3mn-4m2）÷（-5m2）=4m2-3mn-1． 故选C． 【点拨】本题考查多项式除以单项式，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 巩固练习 1.（3xy﹣6x2y2）÷（3x）； 2.计算： (1) (2)； 知识点03 乘法公式 典例：1.下列从左到右的变形正确的是（ ） A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（﹣x﹣y）（-x﹣y）＝x2﹣y2 C．（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6 D．（2m﹣3n）2=4m2﹣6mn+9n2 【答案】C 【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2，原变形错误，故此选项不符合题意； B、（﹣x﹣y）（-x﹣y）＝(-x﹣y)2＝(x+y)2＝a2+2ab+b2，原变形错误，故此选项不符合题意； C、（2x+3）（x﹣2）=2x2﹣x﹣6，原变形正确，故此选项符合题意； D、（2m﹣3n）2=4m2﹣12mn+9n2，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查平方差公式和完全平方式，准确运用乘法公式是解决问题的关键． 典例：2. ． 【答案】2x+2 【分析】利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值． 解： ＝ ＝2x+2． 【点拨】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解决问题的关键。 典例：3. 如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． 若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） 由（1）你可以得到乘法公式____________． 根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 【答案】(1) (2)(3) ①；② 【分析】（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出； （3）由平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）图2中的阴影部分面积为． 故答案为：； （2）由（1）可以得到乘法公式：． 故答案为：； （3）解：① ； ② ． ． 【点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 巩固练习 1.若mn＝3，m﹣n＝7，则m2n﹣mn2＝ ． 2.二次三项式x2﹣kx+36是一个完全平方式，则k的值是 ． 3.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） B． C． D． 能力提升 选择题 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列选项中正确的有（ ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ） A． B． C． D． 6．如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A． B．3 C．0 D．1 7．下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 8. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1．计算：___________． 2．已知，，则=_______ 3. 计算：(3a－2b)·(2b＋3a)＝________． 4. 若，ab=2，则=_______． 5. 计算：(-2a2)3×(-a)2÷(-4a4)2=____________． 6. 如果2x2y•A=6x2y2﹣4x3y2，则A=____________． 7．图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形．若中间小正方形的面积是，问图1中的长方形的面积是________． 三、解答题 1．计算： (1) ； (2) 2. 先化简，再求值：(x－y2)－(x－y)(x＋y)＋(x＋y)2，其中x＝3，y＝－. 3．先化简，再求值．，其中， 4．要建一个如下图所示的长方形养鸡场（分为两个区域），养鸡场的一边靠着一面墙，另几条边用总长为m的竹篱笆围成，每块区域的前面各开一个宽1m的门． (1)如果,m，那么___________m． (2)如果m,求的长,并用字母表示这个长方形养鸡场的面积． 5．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并= ； (2)已知，求的值； (3)拓广探索：已知，求的值．
第一章 整式的乘除 复习与巩固 1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 知识点一. 幂的运算 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(为正整数). 2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘； (为正整数). 3.积的乘方：积的乘方 ，等于各因数乘方的积；(为正整数). 4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减；(≠0, 为正整数，并且). 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明： ①公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式； ②灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点二. 整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： ①运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式． ②根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： . 知识点三. 整式的除法 1.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点四. 乘法公式 1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （a+b）(a−b)=a2−b2 特别说明：①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②公式的特征：左边既有相同项，又有“相反项”，右边是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 完全平方公式：； 特别说明： ①在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. ②公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍(口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中间符号看前方). 知识点01 幂的运算 典例：1.下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（am）2＝a2+m D．a2+2a2＝3a2 【答案】D 【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案； C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案； D：应用多项式加法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：A：因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项不符合题意； B：因为（2a）3＝8a3，所以B选项不符合题意； C：因为（am）2＝a2m，所以C选项不符合题意； D：因为a2+2a2＝3a2，所以D选项正确． 故选：D． 【点拨】此题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方和积的乘方以及合并同类型，熟练掌握相关法则是解题的关键． 典例：2.计算（﹣）2022×（﹣2）2022的结果是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2022 【答案】C 【分析】逆用积的乘方法则对式子进行运算即可． 【详解】解：（﹣）2022×（﹣2）2022 ＝[﹣×（﹣）]2022 ＝12022 ＝1， 故选：C． 【点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 典例：3.计算（1） （2） 【答案】(1)-8 (2) 【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可． （2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可． （1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查幂的混合运算，包含绝对值，0次幂，负整数指数幂，幂的乘方等运算公式，熟练地运用公式进行计算是解题关键． 巩固练习 1．计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝ ． 2．已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值． 3．计算：； 知识点02 整式的乘法 典例：1.若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值 ． 【答案】2 【分析】先根据单项式乘单项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，继而根据代数式的值与b的取值无关知对应项的系数为0，据此求解即可． 【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣（3ka2b﹣4ka3﹣3ab2+4a2b） ＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+4ka3+3ab2﹣4a2b ＝2ka2b﹣4a2b+4ka3 ＝（2k﹣4）a2b+4ka3， 根据题意知2k﹣4＝0， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查整式的乘法法，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则． 典例：2.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可 解：原式= = = 当时，原式= 【点拨】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 巩固练习 1.某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 2．化简：（x﹣1）（x2﹣3x+2）﹣x（x﹣1）（x﹣3），其中x=1． 知识点03 整式的除法 典例:1计算：_____． 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，然后再进行同底数幂除法运算即可. 【详解】解：原式， 故答案为m2. 【点拨】本题考查了整式的运算，涉及了积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 典例:2.计算(5m2+15m3n-20m4)(-5m2) 结果正确的是（ ） A. 1-3mn+4m2 B. 1-3m+4m2 C. 4m2 -3mn-1 D. 4m2 -3mn 【答案】C 【分析】根据多项式除以单项式，先提取公因式再除以单项式，再把所得的商相加即可得到正确答案． 【详解】解：原式=5m2（1+3mn-4m2）÷（-5m2）=4m2-3mn-1． 故选C． 【点拨】本题考查多项式除以单项式，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 巩固练习 1.（3xy﹣6x2y2）÷（3x）； 2.计算： (1) (2)； 知识点03 乘法公式 典例：1.下列从左到右的变形正确的是（ ） A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（﹣x﹣y）（-x﹣y）＝x2﹣y2 C．（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6 D．（2m﹣3n）2=4m2﹣6mn+9n2 【答案】C 【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2，原变形错误，故此选项不符合题意； B、（﹣x﹣y）（-x﹣y）＝(-x﹣y)2＝(x+y)2＝a2+2ab+b2，原变形错误，故此选项不符合题意； C、（2x+3）（x﹣2）=2x2﹣x﹣6，原变形正确，故此选项符合题意； D、（2m﹣3n）2=4m2﹣12mn+9n2，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查平方差公式和完全平方式，准确运用乘法公式是解决问题的关键． 典例：2. ． 【答案】2x+2 【分析】利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值． 解： ＝ ＝2x+2． 【点拨】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解决问题的关键。 典例：3. 如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． 若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） 由（1）你可以得到乘法公式____________． 根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 【答案】(1) (2)(3) ①；② 【分析】（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出； （3）由平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）图2中的阴影部分面积为． 故答案为：； （2）由（1）可以得到乘法公式：． 故答案为：； （3）解：① ； ② ． ． 【点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 巩固练习 1.若mn＝3，m﹣n＝7，则m2n﹣mn2＝ ． 2.二次三项式x2﹣kx+36是一个完全平方式，则k的值是 ． 3.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） B． C． D． 能力提升 选择题 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列选项中正确的有（ ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ） A． B． C． D． 6．如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A． B．3 C．0 D．1 7．下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 8. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1．计算：___________． 2．已知，，则=_______ 3. 计算：(3a－2b)·(2b＋3a)＝________． 4. 若，ab=2，则=_______． 5. 计算：(-2a2)3×(-a)2÷(-4a4)2=____________． 6. 如果2x2y•A=6x2y2﹣4x3y2，则A=____________． 7．图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形．若中间小正方形的面积是，问图1中的长方形的面积是________． 三、解答题 1．计算： (1) ； (2) 2. 先化简，再求值：(x－y2)－(x－y)(x＋y)＋(x＋y)2，其中x＝3，y＝－. 3．先化简，再求值．，其中， 4．要建一个如下图所示的长方形养鸡场（分为两个区域），养鸡场的一边靠着一面墙，另几条边用总长为m的竹篱笆围成，每块区域的前面各开一个宽1m的门． (1)如果,m，那么___________m． (2)如果m,求的长,并用字母表示这个长方形养鸡场的面积． 5．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并= ； (2)已知，求的值； (3)拓广探索：已知，求的值．
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