第7章 三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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一、单选题
1．（2022春·上海崇明·高一统考期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】根据函数图象变换直接求解.
【详解】因为,
所以要得到函数的图象，
只需要将函数的图象向右平移个单位,
故选:B.
2．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为；
故选：B
二、填空题
3．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调递增区间是___________.
【答案】
【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.
【详解】由，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
4．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）函数的最小正周期为______．
【答案】##
【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：.
5．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）函数的初始相位是______．
【答案】
【分析】由初始相位的定义可得结论.
【详解】因为，
所以函数的初始相位是，
故答案为：.
6．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______．
【答案】
【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可.
【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为.
故答案为：.
7．（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）函数的单调增区间是_____．
【答案】,
【分析】可先求出的单调增区间,取的单增区间与的交集即可,注意单调区间不可写并集.
【详解】解:由题知的单调增区间为
,
即,
当时,单增区间为,
当时,单增区间为,
,
,是的单调增区间.
故答案为: ,
8．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知，且，则______.
【答案】-5
【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出.
【详解】，故，
所以
故答案为：-5
9．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）函数的定义域为______.
【答案】，
【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域.
【详解】由题意得：，即，
所以.
故答案为：，
10．（2022春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
【答案】
【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.
【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.
故答案为：
11．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是______．
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即得.
【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期，
因为函数的最小正周期为，
所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是.
故答案为：.
三、解答题
12．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.
【答案】.
【分析】根据正弦函数的性质求解.
【详解】由题意得，解得.
13．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设函数部分图像如图所示．
(1)求；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)，，
(2)．
【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；
（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.
【详解】（1）由题意得，则周期为，
则，
所以，
将代入得，所以，即，
由可得，则；
（2），
令，
得，
令，则，
因为，
所以单调递减区间为．
14．（2022春·上海闵行·高一校考期末）函数的部分图象如图所示．
(1)写出的最小正周期及图中、的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)周期为，，
(2)最大值是3，最小值是
【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求；
（2）首先求的范围，再求函数的最值.
【详解】（1）,
令，，
解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值；
（2）当时，，
此时
所以函数的最大值是3，最小值是
15．（2022春·上海崇明·高一统考期末）已知函数．
(1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可.
【详解】（1）由题知，
所以，
当时，，
列表
作图
（2）由（1）得，
因为，
所以，
又函数在区间上是严格增函数，
所以，
，
解得，，又
解得，所以的取值范围为.
16．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）已知函数，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的单调减区间.
【答案】(1)
(2)
(3)（）
【分析】（1）直接代入计算；
（2）结合正弦函数的周期求解；
（3）由正弦函数的单调性求解．
【详解】（1）；
（2）；
（3），解得，，
所以减区间是（）．
17．（2022春·上海宝山·高一校考期中）已知函数.
(1)将函数化为的形式，求的值；
(2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值.
【答案】(1)，，，；
(2)时，，时，．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式变形可得；
（2）求出的范围，然后由正弦函数的性质可得最值．
(1)
，
所以，，；
(2)
时，，
所以，即时，，
，即时，．
【典型】
一、单选题
1．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．第一象限的角必是锐角
C．若，则与的终边相同
D．不是周期函数．
【答案】D
【分析】根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确.
【详解】由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0∉，故A错误；
380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；
60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；
假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立，
当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*，
但,
,
，
所以函数不是周期函数，故D正确.
故选：D.
2．（2021春·高一课时练习）“”是“函数的最小正周期为”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分且必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为时，利用周期公式求得a的值，从而判定是否必要；注意函数的最小正周期公式，不要遗漏绝对值.
【详解】解：
当时，的最小正周期为，故充分性成立
当函数的最小正周期为时，
所以,不能得出，故必要性不成立，
综上：“”是“函数的最小正周期为”的充分而不必要条件.
故选：A.
3．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为；
（2）该函数图象关于点对称；
（3）该函数在上是增函数；
（4）若函数在上的最小值为，则.
其中正确的判断有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.
【详解】把函数的图象沿着轴向左平移个单位，可得的图象，
再把纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，
对于函数，故（1）错误；
由于当时，，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；
在上，，故函数该函数在上不是增函数，故（3）错误；
在上，，故当时，
函数在上取得最小值为，，故（4）正确，
故选：B.
【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
4．（2021春·高一单元测试）已知函数，，给出下列四个结论：
①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数的图象关于直线对称；④若对任意，都有成立，则的最小值为.
其中正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数和余弦函数的性质，分别判断即可．
【详解】.①的值域是，结论正确；
②为偶函数，结论错误；
③当时，，取最大值，结论正确；
④因为，分别为的最小值点和最大值点，则，结论正确.
所以正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
5．（2021春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】根据的图象可得到，及时的取值范围，结合余弦函数在上函数值符号的变化情况可得到不等式的解集．
【详解】由图象可知：时，；
当时，．
又余弦函数在时，时，
当时，，
故答案为：．
6．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数的图象的对称中心为________．
【答案】
【分析】由正切函数的图象的对称性,结合图象平移变换即可得到答案.
【详解】的对称中心是.
∵函数的图象由的图象向上平移1个单位得到，
∴函数的对称中心为
故答案为：.
7．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）已知，将的图象向左平移2个单位，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则____________．
【答案】
【分析】先利用同角三角函数的关系和诱导公式化简后，再利用平移伸缩变换法则得到答案.
【详解】

,
图象向左平移2个单位，得到的图象，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，即为的图象，则,
故答案为：.
8．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_______．
【答案】4
【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.
【详解】由于函数与函数 均关于点成中心对称，
结合图形两函数有如图所示的共4个交点，其中和都关于点对称.
其横坐标分别记作,则有 ，同理有，
所以所有交点的横坐标之和为4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.
三、解答题
9．（2021春·上海·高一期中）已知，求它的最小值
【答案】2
【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案.
【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２.
【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10．（2021春·高一课时练习）已知函数．
（1）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的所有零点．
【答案】（1）；（2）所有零点是0，，．
【分析】（1）先求得函数的在轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数的取值范围；
（2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数的所有零点，进而得到在上的所有零点.
【详解】（1）由，得，．
取，可得，
∵函数在区间上是严格增函数，
∴实数的取值范围是．
（2）由，得，
则或，．
即或，．
又，∴，，．
即函数在区间上的所有零点是0，，．
【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.或.
11．（2021春·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据偶函数的性质，以及时，，即可求出在上的解析式；
（2）分和两种情况，结合正弦函数的性质，解正弦函数的不等式即可求出结果.
【详解】（1）令，则，
所以，
又函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以时，；
即，；
（2）当时，，即，
所以；
当时，，即，
所以，
所以；
综上不等式的解集.
12．（2022·上海·高一专题练习）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或或.
【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围；
（2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性；
（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.
【详解】（1）由已知得存在实数，使得，
∴，
∴实数m的取值范围是.
（2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：
对是任意实数，关于的方程都有解，
则对于时有解，即,∴；
反之，当时，,等价于
，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.
综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
（3）由已知得，，
化简得，的最小正周期为；
根据函数在上的图象可知：
①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；
②当时，在有个“跃点”，此时；
③当或时，在上有个“跃点”，故；
综上：或或.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.
【易错】
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）对于函数f（x）＝sin（2x+），下列命题：
①函数图象关于直线x＝﹣对称；
②函数图象关于点（，0）对称；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的．
（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①把x＝﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；
②把x＝，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．
【解答】解：①把x＝﹣代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正确；
②把x＝，代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，函数值为0，所以②正确；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）＝sin（2x+），所以不正确；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数f（x）＝sin（2x+），正确；
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．
2．（2022春•浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2是周期，
利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．
【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，
所以＝2，解得ω＝；
所以f（x）＝tan（x+），
所以f（）＝tan（+）＝tan＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．
二．填空题（共6小题）
3．（2021春•浦东新区校级月考）设函数在[﹣π，π]的图像大致如图，则f（x）的最小正周期为 ．
【分析】结合图象中标的数据，得到关于最小正周期满足不等关系和等量关系，据此求解．
【解答】解：据图可知：，
即，所以……①，
结合图像可知＝0，
则，
，结合①式可知，k＝0时，
符合题意，故即为所求．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
4．（2021春•普陀区校级月考）方程，在[0，2π]内的解集是 {，} ．
【分析】根据余弦函数的值，结合x的取值集合，即可求出方程在[0，2π]内的解集．
【解答】解：方程，
所以x+＝2kπ±，k∈Z
解得x＝2kπ±﹣，k∈Z；
又因为x∈[0，2π]，
所以x＝或，
所以方程在[0，2π]内的解集是{，}．
故答案为：{，}．
【点评】本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．（2021春•杨浦区校级期中）函数的单调递增区间为 ．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数，
即，解得，
所以单调递增区间为．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦函数的单调性的求解，诱导公式的应用，是基础题．
6．（2021春•奉贤区月考）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，x∈R）满足：，且上具有单调性，则满足条件的ω取值个数为 2 ．
【分析】根据函数的单调性，确定周期满足的条件，得到0＜ω≤12．根据，得到对称中心与对称轴之间的关系，进而求出ω的值．
【解答】解：∵上具有单调性，
∴﹣＝≤，
即T≥，则≥，则0＜ω≤12．
∵，
∴x＝是一条对称轴，（，0）是一个对称中心，
则﹣＝，
若＝，即T＝，即＝，则ω＝3，满足0＜ω≤12，
若＝，即T＝，即＝，则ω＝9，满足0＜ω≤12，
若＝，即T＝，即＝，则ω＝15，不满足0＜ω≤12，
故满足条件的ω＝3或9，
故ω取值个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调区间，对称轴和对称中心的距离判断周期满足的条件是解决本题的关键．
7．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝cs（2x+）﹣cs2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
其中正确的结论序号 ②③④ ．
【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；
由f（）＝1取得最大值，得出直线x＝是f（x）的一条对称轴，判断②正确；
由f（）＝0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；
由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．
【解答】解：函数f（x）＝cs（2x+）﹣cs2x＝﹣cs2x﹣sin2x＝﹣sin（2x+），其中x∈R：
对于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+）＝sin（2x﹣）≠﹣f（x），
∴函数f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝1为最大值，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，②正确；
对于③，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝0，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），③正确；
对于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正确．
综上，正确的结论序号是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．
8．（2022春•徐汇区校级期中）函数的值域是 ．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝
又∵
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的性质研究y＝Asin（ωx+φ）的性质．
三．解答题（共4小题）
9．（2021春•奉贤区期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内，当x＝时，y有最大值为2，当x＝时，y有最小值为﹣2．
（1）求函数y＝Asin（ωx+φ）表达式；
（2）并画出函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图．（用“五点法”）；
（3）当x∈[0，]时，求函数的最值．
【分析】（1）根据题意得A＝2，周期为T＝π，求出ω＝2，φ＝，从而得到函数的解析式；
（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；
（3）求出x∈[0，]时2x+的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值．
【解答】解：（1）在1个周期内，当x＝时y有最大值为2，当时y有最小值为﹣2，
所以A＝2，且函数的周期T＝2×（﹣）＝π，所以ω＝＝2．
把（，2）代入f（x）＝2sin（2x+φ），得2×+φ＝+2kπ，k∈Z；
解得φ＝+2kπ，k∈Z，结合|φ|＜，取k＝0，得φ＝；
所以函数表达式为y＝2sin（2x+）．
（2）由题意列表如下：
描点、连线，画出函数在1个周期[﹣，]上的简图如下：
（3）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
所以2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝﹣1为最小值；
2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝2为最大值．
所以，当x＝时，y有最小值为﹣1，当x＝时，y有最大值为2．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．
10．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．
（1）求f（x）的解析式及对称中心；
（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到g（x）的图像，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．
【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出A、最小正周期、ω的值，再令f（x）＝0求出对称中心的坐标；
（2）根据图像变换的规律，即可求出g（x）的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．
【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，
故，k∈Z，即，k∈Z，
又|φ|＜π，故k＝0时，即为所求，
故f（x）＝2sin（2x﹣），
f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．
（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cs2x，
要求g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得，k∈Z，令k＝1可得函数g（x）的一个单调递减区间为[]，显然g（x）在[]单调递增，
故y＝g（x）在上的单调减区间为[]，
而＝，g（）＝1，g（）＝0，
故g（x）在上的最小值为，最大值为1．
【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．
11．（2021春•静安区校级期中）已知函数．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．
【分析】（1）a＝1时f（x）＝（2cs2+sinx）+b，利用三角恒等变换求出f（x）的解析式，再求单调递增区间
（2）由三角恒等变换化简f（x），讨论a的正负，求出对应a、b的值．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（2cs2+sinx）+b＝csx+1+sinx+b＝sin（x+）+1+b，
2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，
2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；
（2）f（x）＝a（2cs2+sinx）+b＝a（csx+1+sinx）+b＝asin（x+）+a+b，
当x∈[0，π]时，sin（x+）∈[﹣，1]；
当a＞0时，由，解得；
当a＜0时，由，解得；
综上知，a＝﹣1，b＝3；或a＝1﹣，b＝4．
【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
12．（2022春•松江区校级期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图像如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的三内角A、B、C的正弦值依次成等比数列，求f（B）的值域；
（3）将f（x）图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图像，记h（x）＝g（x）g（x+）﹣m，是否同时存在实数m和正整数n，使得函数h（x）在[0，nπ]上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像求出T、ω和φ的值，写出函数解析式，求出f（x）的单调递增区间；
（2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得csB的取值范围，从而求出f（B）的值域；
（3）根据平移变换求出g（x）的解析式，再利用三角恒等变换求出h（x）的解析式，从而求出满足条件的m和n的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像知，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，
由五点法画图知，2×+φ＝2kπ+π，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z；
因为|φ|＜π，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）△ABC中，sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝ac，
由余弦定理得：csB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取“＝”，
所以0＜B≤，
所以＜2B+≤π，
所以0≤sin（2B+）≤1
所以0≤f（B）≤2，即f（B）的值域为[0，2]；
（3）将f（x）图像上所有点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+）的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得y＝g（x）＝2sin（x+）的图像，
因为h（x）＝g（x）g（x+）﹣m＝4sin（x+）sin（x+）＝4csx（sinx+csx）＝2sinxcsx+2cs2x＝sin2x+cs2x+1＝2sin（2x+）+1，
假设同时存在实数m和正整数n满足条件，
函数h（x）＝2sin（2x+）+1在x∈[0，nπ]上恰有2022个零点，
即函数y＝2sin（2x+）与直线y＝﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点．
当x∈[0，π]时，2x+∈[，]，作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象如下图所示：
①当m﹣1＞2或m﹣1＜﹣2，即m＞3或m＜﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上无交点，
②当m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，即m＝3或m＝﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有一个交点，
此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，则n＝2022；
③当﹣2＜m﹣1＜1或1＜m﹣1＜2，即﹣1＜m＜2或2＜m＜3时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有两个交点，
此时函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上有2022个交点，n＝1011；
④当m﹣1＝1即，m＝2时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有三个交点，
此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，不符合题意；
综上所述，存在实数m和n满足题设条件：m＝﹣1或m＝3时，n＝2022；m∈（﹣1，2）∪（2，3）时，n＝1011．
【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，是难题．
【压轴】
一、单选题
1．（2021春·高一课时练习）关于函数的判断，正确的是
A．最小正周
期为，值域为，在区间上是单调减函数
B．最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数
C．最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数
D．最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数
【答案】C
【详解】的值域为，故排除选项A、B，因为的最小正周期为，故排除选项D；故选C.
2．（2022春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题：
（1）若，则对任意实数x恒成立；
（2）若，则函数为奇函数；
（3）若，则函数为偶函数；
（4）当时，若，则，
其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误.
【详解】对于（1），即为，
即，
两边平方后可得，故或.
若，则，故，
此时，
若，则，故，
此时，
若或，则，故（1）成立.
对于（2），因为，则，
若均为零，
则,
其定义域为，且，故为奇函数；
若不全为零，不妨设，则，
故
，
此时函数的定义域为，而，故为奇函数；
故（2）正确.
对于（3），因为，则，
若均为零，
则，
此时函数的定义域为，而，故为偶函数；
若不全为零，不妨设，则，
故
，
此时函数的定义域为，而，故为偶函数；
故（3）正确.
对于（4），因为，
故，
整理得到：，
取，则，
即，故，
令，则，
而，故，故（4）错误，
故选：A.
【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论.
二、填空题
3．（2021春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是________
【答案】1008或1009
【分析】根据图象可得图象关于点（1,0）对称，且两函数交点成对出现，每一对关于点（1,0）对称，结合题意，可得或，即可求得答案.
【详解】设，作出两函数图象，如图所示
两函数图象关于点（1,0）对称，定义域也关于点（1,0）对称，
所以求方程的根，即求两函数图象的交点，且交点成对出现，关于点（1,0）对称，
因为所有根的和等于2024，
所以两函数图象共有1012对关于点（1,0）对称的交点，
所以或，
解得或.
故答案为：1008或1009
【点睛】解题的关键是分析得图象关于点（1,0）对称，根据函数的对称性，结合题意，进行求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
4．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______
【答案】
【分析】结合诱导公式和三角函数定义可求得，利用正弦函数的奇偶性可求得所求式子的值.
【详解】，
，
，
，
又，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用诱导公式确定，从而根据三角函数定义化简所求式子，利用正弦函数的奇偶性进行求值.
5．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是______．
【答案】
【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值.
【详解】作出单位圆如图所示，
由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，
，即，
对任意，总成立，，即，
又，，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.
6．（2021春·上海·高一期中）若函数，则__________
【答案】3032
【分析】根据正弦函数的周期性进行求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以有当时，
，
，
，
因此有：，于是有：
，
故答案为：3032
【点睛】关键点睛：根据所求的代数式的值联想到正弦型函数的周期性是解题的关键.
7．（2021春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
【答案】1
【分析】根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解】因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
8．（2021春·上海·高一期末）已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
【答案】
【分析】由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
【详解】由，则，而，知：关于对称，
又最小正周期为，，
∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，
∴如图，区间内共有6个根，且有，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：转化为两个函数在某闭区间上的交点问题，结合正弦函数的性质得到草图，应用数形结合的方法确定根及各根之间的对称轴.
9．（2021春·上海·高一期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________.
【答案】
【详解】由题意，令，解得.
∵函数的最小正周期为，，
∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.
∴函数在上有条对称轴
根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.
∵
∴
∴
故答案为.
点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
三、解答题
10．（2021春·上海·高一期末）已知，，是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图1，如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形ABC的边长.
（2）如图2，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，如果能放，求BC和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在，，上，设与间的距离为，与间的距离为，求的取值范围.
【答案】（1） ；（2）能放，边长为；（3）
【分析】（1）根据到直线的距离相等，可得过的中点，，从而求得边长的值.
（2）假设能放，设边长为，BC与的夹角，不妨设，可得，，两式相比化简可得，由此能求出的值，从而得出结论.
（3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简为，再根据正弦函数的定义和值域求出的取值范围.
【详解】（1）到直线的距离相等，
过的中点，
，
边长
（2）假设能放，设边长为，BC与的夹角，
由对称性，不妨设，
，，
两式相比可得：，
即，
，，，
故边长，
综上可得，能放.
（3）
.
，，，
所以，
又，，所以.
【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
11．（2020春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知函数，
(1)化简到，并求最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围.
【答案】(1)，最小正周期是；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解.
(2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答.
(3)利用(1)的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答.
(1)
依题意，，
其中，则，
所以，最小正周期是.
(2)
由(1)知，当时，，则由得，
即在上单调递减，
所以函数在区间上的单调减区间是.
(3)
由(1)知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，
于是得，则的周期为，
因在区间上至少有100个最大值，则在长为2的区间上至少有99.5个周期，
因此，，解得，而，于是得，
所以a的取值范围.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
12．（2022春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，值域为；
(3).
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
所以在上的值域为.
（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，
则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，
则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
13．（2021春·上海·高一期末）已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.
（1）求解析式；
（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.
【答案】（1）=；（2）.
【分析】（1）由题设求的周期，根据P的坐标并结合图象有求，过作x轴的垂线，垂足为，利用列方程求A，写出解析式即可.
（2）令，将问题转化为在在区间内恰有一个零点，应用换元法令可得且，讨论在区间内的零点情况，并结合正弦函数、二次函数的性质确定a的范围.
【详解】（1）由解析式知： 又点的横坐标为，
∴，即．过作x轴的垂线，垂足为，则，
故，
∴，故=.
（2）令，
∴方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.
设，当时，，又，
∴，，
令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多有一个零点.
①当0为的零点时，显然不成立；
②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.
③当零点在区间时，
若，得，此时零点为1，即，由的图象知不符合题意；
若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以，解得.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）由最高点坐标及图象求φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数A，写出解析式；
（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.
14．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数.
(1)求函数的函数解析式；
(2)求函数的最大值及相对应的的值；
(3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可；
（2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；
（3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.
（1）
因为函数的最小正周期为，
所以有，即，
又因为直线是图象的一条对称轴，
所以有，
因为，所以令，则，即，
因为函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，
所以；
（2）
，
当时，即时，，
此时，即或；
当时，即时，，
此时，即；
当时，即时，，
此时，即，
综上所述：当时，，此时
或；
当时，，此时；
当时，，此时；
（3）
，
设，则，
该方程的判别式，
所以该方程有实根，设为，，显然两根为异号，
若时，则方程在内都有偶数个根，
所以方程有偶数个根，不符合题意；
若，则，此时，
当时，只有一个根，有两个根，
所以有三个根，由于，
所以在内有个根，
由于方程在内只有一个根，没有实根，
所以方程在时有个实根，不符合题意；
若，则，此时，
当时，只有一个根，有两个根，
所以有三个根，由于，
所以在内有个根，
由于方程在内没有实根根，有两个实根，
所以方程在时有个实根，符合题意；
若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，
综上所述：.
【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关键.
15．（2021春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．
（1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围；
（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析；
【分析】（1）根据函数定义有，易得时，根据已知条件有且即可求的范围；
（2）由函数定义有时，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求的范围；
（3）由题意恒成立，讨论、分别求对应值.
【详解】（1）由级类周期函数定义知：，即
∴当时，，…，当时，，
∵是上的严格增函数，且上单调递增，
∴且，解得，
∴.
（2）由题设：，而时，
∴当，即时，
当，即时，
∴，使，解得或
对任意都有，则.
（3）若存在，则，即恒成立，
∴当时，；
当时，，则，
若，，可得，
若，，可得，
∴综上，时；时.
【点睛】关键点点睛：利用级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数.
16．（2022春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)当时，，且；
(3)存在，.
【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.
（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.
（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.
(1)
依题意，函数定义域是R，
，
即，成立，
所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.
(2)
因，是上的P级周期函数，则，即，
而当时，，当时，，，
当时，，则，
当时，，则，
……
当时，，则，
并且有：当时，，当时，，当时，，……，
当时，，
因是上的严格增函数，则有，解得，
所以当时，，且.
(3)
假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，
即，恒有成立，则，恒有成立，
即，恒有成立，当时，，则，，
于是得，，要使恒成立，则有，
当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，
此时恒成立，则，即，
当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，
所以存在，符合题意，其中满足.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
0
2
0
0
2x+
0
π
2π
x
﹣

y＝2sin（2x+）
0
2
0
﹣2
0