第27章 圆与正多边形（知识清单+典型例题）-2024-2025学年九年级数学同步精品讲与练（沪教版）

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第27章 圆与正多边形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1 圆的基本性质 知识梳理 一、圆的确定： （一）相关定义： 1．圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形． 这个定点是圆心． 联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径． 这个定长是圆的半径长． 2．在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内）； 不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）． 【总结】 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的直线． （二）点与圆的位置关系： 1．一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 2．设一个圆的半径长为，点到圆心的距离为，则 点在圆外； 点在圆上； 点在圆内． （三）圆的确定： 1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 2．三角形的三个顶点确定一个圆． 经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形． 3．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形． 二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： （一）相关定义： 1．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧． 2．联结圆上任意两点的线段叫做弦． 过圆心的弦就是直径． 3．以圆心为顶点的角叫做圆心角． 4．圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 5．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 6．圆心到弦的距离叫做弦心距． （二）相关定理： 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所应的其余三组量也分别相等． 三、垂径定理： 1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． 4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的 弧． 5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． 6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 【例1】（2023·安徽芜湖·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（    ） A．点M在圆内 B．点M在圆外 C．点M在圆上 D．无法确定 【变式1】（2023·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、    (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； (2)的半径为__； (3)点到上最近的点的距离为__． 【变式2】（2023·江苏南京·九年级统考期中）尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．    【变式3】（2023·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 2 直线和圆的位置关系 知识梳理 一、基础定义： 1．当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 2．当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线．唯一的公共点叫做切点． 3．当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交．这时直线叫做圆的割线． 4．根据直线与圆公共点个数的情况，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相 交． 二、直线与圆位置关系用数量关系描述： 如果的半径长为，圆心到直线的距离为 直线与⊙相交； 直线与⊙相切； 直线与⊙相离. 三、相关定理： 1．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【例2】（2023·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）在中，．以点为圆心、为半径作，则与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1】（2023·安徽芜湖·九年级校联考阶段练习）已知的半径是一元二次方程的解，且点O到直线的距离为2，则与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式2】（2023·山西·九年级校联考阶段练习）已知等腰三角形的腰长为，底边长为，以等腰三角形的顶点为圆心，为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 3 圆和圆的位置关系 知识梳理 一、相关定义： 1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离． 2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点． 3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交． 4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的 内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点． 5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆 心重合时，称它们为同心圆． 6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 7．连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线． 二、两圆位置关系： 1．半径不等的两圆的位置关系： 半径不等的两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下： ①两圆外离； ②两圆外切； ③两圆相交； ④两圆内切； ⑤两圆内含． 2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合． 【总结】 1．半径不等两圆的位置关系用数轴表示： 2．从两圆公共点个数考虑： 交点个数半径不等半径相等两圆无交点两圆外离 两圆内含（同心圆）两圆外离两圆有一个交点两圆外切 两圆内切两圆外切两圆有两个交点两圆相交两圆相交两圆有无数个交点——两圆重合 三、相关定理： 1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 2．相切两圆的连心线经过切点． 【结论】 两圆的连心线是两圆的公共对称轴． 【例3】（2023·上海浦东新·统考二模）如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ． 【变式1】（2023·上海松江·统考二模）已知相交两圆的半径长分别为和，如果两圆的圆心距为，且，试写出一个符合条件的的值： ． 【变式2】（2023·上海宝山·一模）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 ． 4 正多边形和圆 知识梳理 1.正多边形与圆 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念： 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【总结】 1．正边形，若是奇数，则正边形是轴对称图形； 若是偶数，则正边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 2．正边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正边形的对称轴的交点．这个交点到正边形的各顶点的距离相等，到正边形各边的距离也相等． 半径、边心距，边长之间的关系： 画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）： 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） 【例4】（2022·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹)    【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．    【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    【变式1】（2023·陕西安康·九年级校联考阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 【变式2】（2023·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）（1）解方程：． （2）一个扇形的半径为4，扇形的弧长为，求扇形的圆心角的度数． 核心素养提升 方程思想 1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，弧弧，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，若，，求的长． 2．（2023·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，确足，则称是的“美丽角”． (1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连结交于点P，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由； (2)如图2，设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数； (3)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长． 分类讨论思想 3．（2023·上海宝山·统考二模）如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E． (1)当时，求的长； (2)当时，求的值； (3)当为直角三角形时，求的值． 中考热点聚焦 热点1.圆的概念，点与圆的位置关系 1．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 2．（上海嘉定·统考一模）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部 C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部 热点2.确定圆的条件 3．（2022·河南濮阳·校考三模）如图，中，，过点B作直线，D为线段上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．    (1)如图1，当时，线段和的数量关系是______． (2)如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． (3)若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 热点3.垂径定理及其推论 4．（2023·上海虹口·校联考二模）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 热点4.直线与圆的位置关系 5．（上海杨浦·统考三模）在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆与轴的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 6．（2022·上海金山·统考二模）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，圆P的半径为2，下列说法正确的是（    ） A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点 热点5.两圆位置关系的确定 7．（2023·上海静安·统考二模）已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有 个公共点． 8．（2023·上海青浦·统考二模）如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点． (1)若点D是弧的中点，求的值； (2)连接交半径于点E，交于点F，设． ①用含m的代数式表示线段的长； ②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围． 热点6.圆内接正多边形的计算 9．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 10．（2023·上海普陀·统考二模）如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长．