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人教版九年级数学上册同步练习 第23课 垂径定理（原卷版+解析）
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这是一份人教版九年级数学上册同步练习 第23课 垂径定理（原卷版+解析），共26页。
第23课 垂径定理 目标导航 知识精讲 知识点01 垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 . 2.推论 平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的 . 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点02 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. . 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意 ，就能推出其他 结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 能力拓展 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．(结果保留根号) 【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列结论正确的是( ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴 2．下列命题中正确的是( ) A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心 3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( ) A．CE=DE B．AE=OE C． D．△OCE≌△ODE 4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是( ) A．3 B．3 C．6 D．6 5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm. 7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB =______cm． 8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE= ． 9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____． 题组B 能力提升练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________． 2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm． 5．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 6．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 题组C 培优拔尖练 1．如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 2．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． (1)证明：点E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长． 5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 课程标准理解圆的对称性； 掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 第23课 垂径定理 目标导航 知识精讲 知识点01 垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点02 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 能力拓展 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【答案】 eq \r(,5). 【解析】 作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴OA=. 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ ， ， ∴ 在Rt△BOM中，． 【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD， ∴F为CD的中点，即CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8， ∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2， 在Rt△OEF中，∠DEB=30°， ∴OF=OE=1， 在Rt△ODF中，OF=1，OD=4， 根据勾股定理得：DF==， 则CD=2DF=2． 【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【思路点拨】 在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. 【答案与解析】 (1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M， 并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 图1 图2 (2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm. 【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解. 【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 【答案】2或8． 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．(结果保留根号) 【答案与解析】 解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD， ∵∠OAB=45°， ∴AD=OD， ∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50． ∵∠OCA=30°， ∴=，即=， 解得x=， ∴OA=x=×()=()(米)． 答：人工湖的半径为()米． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案与解析】 (1)如图所示， 在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点； 在图②中AB、CD交于⊙O内一点； 在图③中AB∥CD． (2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF． (3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD． ∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F， ∴ AE∥OG∥BF． ∵ AB为直径， ∴ AO＝OB， ∴ EG＝GF， ∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF． 【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列结论正确的是( ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴 【答案】A 【详解】 因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确, B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误, C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误, D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A. 点睛:本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性. 2．下列命题中正确的是( ) A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心 【答案】D 【分析】 利用弦的定义，构成圆的条件以及垂径定理逆定理判断即可． 【详解】 解：A. 不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原题说法错误； B. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原题说法错误； C. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原题说法错误； D. 弦的垂直平分线一定经过圆心，原题说法正确． 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了命题与定理，关键是掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( ) A．CE=DE B．AE=OE C． D．△OCE≌△ODE 【答案】B 【详解】 试题分析：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B． 考点：垂径定理． 4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是( ) A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】D 【解析】 连接OC． Rt△OCM中，OC=6，OM=AB=3， 由勾股定理得：MC==3； ∵AB⊥CD， ∴CM=MD， ∴CD=2MC=6． 故选D． 点睛：要求弦长，一般过圆心作弦的垂线段，连接圆心和弦的一个端点，结合垂径定理、勾股定理求得. 5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 【答案】 【详解】 试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=． 考点：垂径定理． 6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm. 【答案】13 【解析】 先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=AB=12，再利用勾股定理易求OA． 解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，OA==13． 故答案是13． 7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB =______cm． 【答案】8 【解析】 如图：连接. ， ∴为的中点，即 在中,根据勾股定理得： 故答案为： 8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE= ． 【答案】6cm 【解析】 试题分析：根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=(x+2)cm，再利用勾股定理可得(x+2)2=42+x2，解出x=3，再根据三角形中位线定理可得BE=2CO=6cm． 考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、三角形的中位线定理 9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____． 【答案】4cm 【详解】 解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4(cm)． 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 题组B 能力提升练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________． 【答案】50° 【解析】 试题分析：连接CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴的度数为50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质 2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 【答案】 【分析】 连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理求得AC，再由勾股定理求得OC，再在直角三角形OPC中，利用勾股定理求得OP即可． 【详解】 解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C， ∵PA＝6，PB＝2， ∴AC＝4， ∴PC＝2， ∵OA＝5， ∴由勾股定理得：OC＝＝3， ∴OP＝， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm． 【答案】5 【解析】 试题分析：连接OA，根据垂径定理可得：AD=3cm，OD=4cm，根据Rt△OAD的勾股定理可得：OA=5cm，即圆的半径为5cm. 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm． 【答案】4 【解析】 连接OC，如图所示： ∵AB是O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=3cm， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=45°， ∴△COE为等腰直角三角形， ∴OC=CE=cm， 故答案为. 5．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 【答案】AB=8． 【解析】 试题分析：连接OA，先根据CD=10cm得出OC的长，再由OM：OC=3：5得出OM的长，由勾股定理求出AM的长，进而可得出结论． 试题解析：连接OA，∵CD=10cm，∴OC=5cm．∵OM：OC=3：5，∴OM=3， ∴AM=OA2−OM2=52−32=4， ∴AB=2AM=8． 【考点】垂径定理；勾股定理． 6．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 【答案】CD=8. 【解析】 试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论. 试题解析：连接OC， ∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5； ∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE= =4，∴CD=2CE=8． 题组C 培优拔尖练 1．如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 【答案】8 【解析】 【分析】 求出OD，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出AD，即可得出答案． 【详解】 解：∵⊙的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查垂径定理及其推论，勾股定理，解题关键在于得出 2．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 【答案】4 【分析】 作OM⊥BC于M，连接OE，根据垂径定理求出EF=2EM，求出OE和OM长，根据勾股定理求出EM，即可求出EF． 【详解】 作OM⊥BC于M，连接OE， 则ME=MF=EF， ∵AD=12， ∴OE=6， 在矩形ABCD中，OM⊥BC， ∴OM=AB=4， ∵在△OEM中，∠OME=90°， ME===2 ， ∴线段EF的长度为4． 【点睛】 考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，解题关键是构造直角三角形. 3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析. 【分析】 连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断． 【详解】 设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示 设半径为则 由垂径定理可知， ∵，∴，且 在中，由勾股定理可得 即，解得 ∴ 在中，由勾股定理可得 ∴ ∴不需要采取紧急措施. 【点睛】 此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． (1)证明：点E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】 (1)要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可； (2)在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【详解】 (1)证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴，AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB， ∴点E为OB的中点； (2)解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4， 又∵BE＝OE， ∴OE＝2， ∴CE＝， ∴CD＝2CE＝． 【点睛】 本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) ． 【详解】 试题分析：(1)过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD； (2)由(1)可得，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，继而可得NE=ME， 从而得AE=CE， DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，即可求出NE． 试题解析：(1)过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1， ∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD； (2)如图2所示，由(1)知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM(HL)，∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2． 课程标准理解圆的对称性； 掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．
第23课 垂径定理 目标导航 知识精讲 知识点01 垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 . 2.推论 平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的 . 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点02 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. . 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意 ，就能推出其他 结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 能力拓展 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．(结果保留根号) 【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列结论正确的是( ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴 2．下列命题中正确的是( ) A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心 3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( ) A．CE=DE B．AE=OE C． D．△OCE≌△ODE 4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是( ) A．3 B．3 C．6 D．6 5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm. 7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB =______cm． 8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE= ． 9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____． 题组B 能力提升练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________． 2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm． 5．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 6．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 题组C 培优拔尖练 1．如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 2．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． (1)证明：点E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长． 5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 课程标准理解圆的对称性； 掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 第23课 垂径定理 目标导航 知识精讲 知识点01 垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点02 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 能力拓展 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【答案】 eq \r(,5). 【解析】 作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴OA=. 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ ， ， ∴ 在Rt△BOM中，． 【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD， ∴F为CD的中点，即CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8， ∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2， 在Rt△OEF中，∠DEB=30°， ∴OF=OE=1， 在Rt△ODF中，OF=1，OD=4， 根据勾股定理得：DF==， 则CD=2DF=2． 【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【思路点拨】 在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. 【答案与解析】 (1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M， 并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 图1 图2 (2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm. 【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解. 【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 【答案】2或8． 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．(结果保留根号) 【答案与解析】 解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD， ∵∠OAB=45°， ∴AD=OD， ∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50． ∵∠OCA=30°， ∴=，即=， 解得x=， ∴OA=x=×()=()(米)． 答：人工湖的半径为()米． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案与解析】 (1)如图所示， 在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点； 在图②中AB、CD交于⊙O内一点； 在图③中AB∥CD． (2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF． (3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD． ∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F， ∴ AE∥OG∥BF． ∵ AB为直径， ∴ AO＝OB， ∴ EG＝GF， ∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF． 【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列结论正确的是( ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴 【答案】A 【详解】 因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确, B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误, C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误, D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A. 点睛:本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性. 2．下列命题中正确的是( ) A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心 【答案】D 【分析】 利用弦的定义，构成圆的条件以及垂径定理逆定理判断即可． 【详解】 解：A. 不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原题说法错误； B. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原题说法错误； C. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原题说法错误； D. 弦的垂直平分线一定经过圆心，原题说法正确． 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了命题与定理，关键是掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( ) A．CE=DE B．AE=OE C． D．△OCE≌△ODE 【答案】B 【详解】 试题分析：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B． 考点：垂径定理． 4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是( ) A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】D 【解析】 连接OC． Rt△OCM中，OC=6，OM=AB=3， 由勾股定理得：MC==3； ∵AB⊥CD， ∴CM=MD， ∴CD=2MC=6． 故选D． 点睛：要求弦长，一般过圆心作弦的垂线段，连接圆心和弦的一个端点，结合垂径定理、勾股定理求得. 5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 【答案】 【详解】 试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=． 考点：垂径定理． 6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm. 【答案】13 【解析】 先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=AB=12，再利用勾股定理易求OA． 解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，OA==13． 故答案是13． 7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB =______cm． 【答案】8 【解析】 如图：连接. ， ∴为的中点，即 在中,根据勾股定理得： 故答案为： 8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE= ． 【答案】6cm 【解析】 试题分析：根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=(x+2)cm，再利用勾股定理可得(x+2)2=42+x2，解出x=3，再根据三角形中位线定理可得BE=2CO=6cm． 考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、三角形的中位线定理 9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____． 【答案】4cm 【详解】 解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4(cm)． 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 题组B 能力提升练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________． 【答案】50° 【解析】 试题分析：连接CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴的度数为50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质 2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 【答案】 【分析】 连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理求得AC，再由勾股定理求得OC，再在直角三角形OPC中，利用勾股定理求得OP即可． 【详解】 解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C， ∵PA＝6，PB＝2， ∴AC＝4， ∴PC＝2， ∵OA＝5， ∴由勾股定理得：OC＝＝3， ∴OP＝， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm． 【答案】5 【解析】 试题分析：连接OA，根据垂径定理可得：AD=3cm，OD=4cm，根据Rt△OAD的勾股定理可得：OA=5cm，即圆的半径为5cm. 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm． 【答案】4 【解析】 连接OC，如图所示： ∵AB是O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=3cm， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=45°， ∴△COE为等腰直角三角形， ∴OC=CE=cm， 故答案为. 5．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 【答案】AB=8． 【解析】 试题分析：连接OA，先根据CD=10cm得出OC的长，再由OM：OC=3：5得出OM的长，由勾股定理求出AM的长，进而可得出结论． 试题解析：连接OA，∵CD=10cm，∴OC=5cm．∵OM：OC=3：5，∴OM=3， ∴AM=OA2−OM2=52−32=4， ∴AB=2AM=8． 【考点】垂径定理；勾股定理． 6．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 【答案】CD=8. 【解析】 试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论. 试题解析：连接OC， ∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5； ∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE= =4，∴CD=2CE=8． 题组C 培优拔尖练 1．如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 【答案】8 【解析】 【分析】 求出OD，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出AD，即可得出答案． 【详解】 解：∵⊙的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查垂径定理及其推论，勾股定理，解题关键在于得出 2．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 【答案】4 【分析】 作OM⊥BC于M，连接OE，根据垂径定理求出EF=2EM，求出OE和OM长，根据勾股定理求出EM，即可求出EF． 【详解】 作OM⊥BC于M，连接OE， 则ME=MF=EF， ∵AD=12， ∴OE=6， 在矩形ABCD中，OM⊥BC， ∴OM=AB=4， ∵在△OEM中，∠OME=90°， ME===2 ， ∴线段EF的长度为4． 【点睛】 考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，解题关键是构造直角三角形. 3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析. 【分析】 连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断． 【详解】 设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示 设半径为则 由垂径定理可知， ∵，∴，且 在中，由勾股定理可得 即，解得 ∴ 在中，由勾股定理可得 ∴ ∴不需要采取紧急措施. 【点睛】 此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． (1)证明：点E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】 (1)要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可； (2)在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【详解】 (1)证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴，AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB， ∴点E为OB的中点； (2)解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4， 又∵BE＝OE， ∴OE＝2， ∴CE＝， ∴CD＝2CE＝． 【点睛】 本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) ． 【详解】 试题分析：(1)过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD； (2)由(1)可得，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，继而可得NE=ME， 从而得AE=CE， DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，即可求出NE． 试题解析：(1)过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1， ∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD； (2)如图2所示，由(1)知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM(HL)，∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2． 课程标准理解圆的对称性； 掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．
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