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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题31反比例函数中的等腰直角三角形(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题31反比例函数中的等腰直角三角形(原卷版+解析)，共49页。
A．2B．3C．4D．6
2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
3．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（ ）．
A．32B．16C．8D．4
4．（2022秋·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．
6．（2022春·九年级课时练习）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
7．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．
8．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．
9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为_____．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．
11．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为__________．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ________．
13．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．
14．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
18．（2022·山东泰安·统考二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A(a，-2)、B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标．
(2)点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果POC的面积为3，求点P的坐标．
(3)点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使BEF是以∠F为直角的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．
专题31 反比例函数中的等腰直角三角形
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则
设 则
而当时，则
∴的最小值是8，
∴的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
3．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（ ）．
A．32B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】已知反比例函数的解析式为，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数的图象上，所以设点B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，
由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−16．
∴S△OAC−S△BAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)，
即S△OAC−S△BAD=8．
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．
4．（2022秋·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】设B点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得．
【详解】解：设B点坐标为，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．
【答案】
【分析】作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
∴，
∴，
∴，
∵经过点A的函数图象在第二象限内，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数k的意义，全等三角形的判定与性质以及反比例函数的图象性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2022春·九年级课时练习）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
【答案】
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可证CE=AE=2，由“AAS”可证△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得点B坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，
∵点C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△OAC和△DCB中
，
∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2，
∴AO=2+2=CD，
∴DO=2，
∴点B坐标为(2,-2)，
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴k=(-2)×2=-4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B的坐标是解题关键．
7．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．
【答案】##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．
【答案】
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为_____．
【答案】-6
【分析】设A（m，n），根据题意得出△BCE的面积＝OB．AB＝3，即可得到mn＝﹣6，从而求得k的值．
【详解】∵△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，BD⊥AC，
∴AB＝BC，∠EBC＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OB＝OE，
设A（m，n），
∴AB＝BC＝n，OB＝OE＝﹣m，
∵△BCE的面积为3，
∴BC•OE＝3，
∴OB•AB＝3，
∴（﹣m）•n＝3，
∴mn＝﹣6，
∴k＝﹣6，
故答案为﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质以及三角形面积公式是解题的关键．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．
【答案】
【分析】根据点B在反比例函数图象上，可设B点坐标为，得出，，再由等腰直角三角形的性质可得C点坐标为，依据点是中点得出D点的坐标为，过点C作AB的垂线交OB于点E，如图（见详解），可得，列出，化简得，最后利用点D也在反比例函数图象上，列出，将代入即可求得k的值．
【详解】解：∵轴于点A，点B和点在反比例函数的图象上，
设，则，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵点是中点，
∴．
过点C作AB的垂线交OB于点E，垂足为F，如图所示，
∴F为AB的中点，且，
∴，，
∴，
化简得．
又∵，化简得，
将代入得到，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象与三角形的综合问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能将点的坐标和线段用字母表示出来，列出方程求解是解题的关键．
11．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为__________．
【答案】
【分析】延长交轴于点，先证明，由，及四边形是菱形，；在直角三角形中，，得出
，；再根据的图象经过点和，得，设，有，得，即可求解．
【详解】解：延长交轴于点，
在中，
，
根据，
，
，
；
由，
，
又四边形是菱形，
；
在直角三角形中，
，
，；
又反比例函数的图象经过点和，
，
设，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，三角形全等的判定及性质、菱形，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ________．
【答案】（2，0）
【分析】先设点的坐标为，然后由点是的中点得到点的坐标为，进而得到的坐标为，即可得到，，然后由△是等腰直角三角形得到，解方程得到的值，即可得到点的坐标；然后设点的坐标为，进而得到点和的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到，求得的值即可得到的坐标，用同样的方法求得点坐标，结合点、点、的坐标猜测规律，得到点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，
的坐标为，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为；
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为，，
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，，点的坐标为，，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为，，，点的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是设中点的坐标得到点和点的坐标．
13．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）点F的坐标为（2，4）；（3）∠AOF＝∠EOC，理由见解析；（4）P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0）
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线，所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；
（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解，
【详解】解：
（1）设反比例函数的解析式y＝，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴4＝，即k＝12，
∴反比例函数的解析式y＝；
（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y＝﹣x+b上，
∴3＝﹣×4+b，
解得：b＝5，
∴直线DF为y＝﹣x+5，
将y＝4代入y＝﹣x+5，
得4＝﹣x+5，
解得：x＝2，
∴点F的坐标为（2，4），
（3）∠AOF＝∠EOC，理由为：
证明：在CD上取CG＝AF＝2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，
，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF＝∠COG，
，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG＝HG，
设直线EG：y＝mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴，
解得，
∴直线EG：y＝﹣2x+10，
令y＝﹣2x+10＝0，得x＝5，
∴H（5，0），OH＝5，
在Rt△AOE中，AO＝4，AE＝3，根据勾股定理得OE＝5，
∴OH＝OE，
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线，
∴OG是等腰三角形顶角的平分线，
∴∠EOG＝∠GOH，
∴∠EOG＝∠GOC＝∠AOF，
即∠AOF＝∠EOC；
（4）当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L，
则△DPK≌△QDK，
设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4-a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），
把（7，-1+a）代入y=得：
7（-1+a）=12，
解得：a=，
则P的坐标是（，0）；
当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PDK，
则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4-b，则QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，
则Q的坐标是（1，7-b），代入y=得：
b=-5，
则P的坐标是（-5，0）；
当Q在D的右侧（如图3），且∠DQP=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PQK，则DK=DL=3，
设Q的横坐标是c，则纵坐标是，
则QK=QL=，
又∵QL=c-4，
∴c-4=，
解得：c=-2（舍去）或6，
则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1，
∴OP=OK-PK=6-1=5，
则P的坐标是（5，0）；
当Q在D的左侧（如图3），且∠DQP=90°时，不成立；
当∠DPQ=90°时，（如图4），作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，
则△DPR≌△PQK，
∴DR=PK=3，RP=QK，
设P的坐标是（d，0），
则RK=QK=d-4，
则OK=OP+PK=d+3，
则Q的坐标是（d+3，d-4），代入y=得：
（d+3）（d-4）=12，
解得：d=或（舍去），
则P的坐标是（，0），
综上所述，P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0），
【点睛】本题是反比例函数综合题，掌握待定系数法求解析式，反比例函数的性质是解题的关键.
14．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，
，
，
∴；
（3）解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．
15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式；
（2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得；
（3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标．
【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图，
四边形是矩形，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，
设，
点在直线上，
，
解得，
，
反比例函数（）的图像经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
,
把代入，解得，
，
，
在中，①，
在中，②，
①-②,得，
（3）①若，，如图，连接，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
，
，
把代入，得，
，
②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，
在与，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
③若，如图，过点作轴于，过作轴于，
在与中，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y，yx＋3
(2)
(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）
【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，M（t，t＋3），N（t，），得出PMt＋3，PN，分两种情况得出答案；
（3）先求出OC，OD，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数y（m≠0）的图象经过A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，
∴，
解得：
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx＋b得，
解得，
∴一次函数的解析式为yx＋3；
（2）解：由题意得，M（t，t＋3），N（t，），
∴PMt＋3，PN，
当t＞2时，d＝PM﹣PN；
当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM
（3）解：由（1）知，直线AB的解析式为yx＋3，
令x＝0，则yx＋3＝3，
令y＝0，则0x＋3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，
如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH＋∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH＋∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴，
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD＋DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②当∠DCQ＝90°时，同理可得，（﹣9，3）；
③当∠CQD＝90°时，
同理可得，，
∴，CL＝DK，
∴设（﹣a，a），
∴＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a，
∴（，），
即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，属反比例综合题，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)
(2)P点坐标
【详解】（1）∵四边形是矩形
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴
把代人得，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点D是CB中点，
∴B（8,3）
当x=8时
∴E（8，）
当AEP构成等腰三角形时，只能是PA=EA=
P点可位于E点左边或右边
当P点位于E点左边时：
P的横坐标x=8-=
当P点位于E点右边时：
P的横坐标为x=8+=
故P点坐标
【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三角形性质，掌握这些才能解出此题．
18．（2022·山东泰安·统考二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A(a，-2)、B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标．
(2)点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果POC的面积为3，求点P的坐标．
(3)点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使BEF是以∠F为直角的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，B(4，2)
(2)或(2，4)
(3)存在，F(2，4)或(-4，-2)
【分析】（1）把A（a，-2）代入，可得A（-4，-2），再把A（-4，-2）代入，然后根据点B和点A关于原点对称，即可求解；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于C，设，则，可得，再由POC的面积为3，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当E点在y轴正半轴时，当点E在y轴负半轴时，即可求解．
（1）
解：将A（a，-2）代入，得，
解得：a＝-4，
∴A（-4，-2），
将A（-4，-2）代入，得，解得：k＝8，
∴反比例函数的解析式为，
∵点B和点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）
解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于C，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：或2，
∴或（2，4）；
（3）
解：存在，理由如下：
如图甲所示，当E点在y轴正半轴时，过点F作HG⊥y轴于点H，过点B作BG∥y轴交HG于点G，则BG⊥HG，
∴∠G=90°，
∴∠BFG+∠FBG＝90°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG+∠HFE＝90°，
∴∠HFE＝∠FBG，
又∵∠EHF＝∠FGB，
∴，
∴FG＝HE，BG＝HF，
∵点B（4，2），
∴HG=4，
设FH＝m，BG=m，则F（m，2+m），
∵点F在反比例函数图象上，
∴，
解得m＝2或m＝-4（舍去），
∴F（2，4）；
当点E在y轴负半轴时，如图乙所示，
同理可得F（-4，-2），
综上：F（2，4）或（-4，-2）．
图甲 图乙
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．（河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．
【答案】（1）见解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【详解】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论；
（2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论．
解：（1）如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如图2，
图2
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C点坐标为（－7，3），
设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入，
得，
解得，
∴l2的函数表达式为y＝x＋4；
（3）分三种情况：
①如图3，，过点C作轴于E，
当时，，
当时，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如图4，，过点C作轴于F，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如图5，，过点C作轴，过点B作轴，
同（1）可得，
∴，，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案为：-112、－84、-49．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
A．2B．3C．4D．6
2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
3．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（ ）．
A．32B．16C．8D．4
4．（2022秋·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．
6．（2022春·九年级课时练习）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
7．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．
8．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．
9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为_____．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．
11．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为__________．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ________．
13．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．
14．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
18．（2022·山东泰安·统考二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A(a，-2)、B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标．
(2)点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果POC的面积为3，求点P的坐标．
(3)点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使BEF是以∠F为直角的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．
专题31 反比例函数中的等腰直角三角形
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则
设 则
而当时，则
∴的最小值是8，
∴的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
3．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（ ）．
A．32B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】已知反比例函数的解析式为，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数的图象上，所以设点B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，
由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−16．
∴S△OAC−S△BAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)，
即S△OAC−S△BAD=8．
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．
4．（2022秋·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】设B点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得．
【详解】解：设B点坐标为，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．
【答案】
【分析】作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
∴，
∴，
∴，
∵经过点A的函数图象在第二象限内，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数k的意义，全等三角形的判定与性质以及反比例函数的图象性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2022春·九年级课时练习）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
【答案】
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可证CE=AE=2，由“AAS”可证△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得点B坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，
∵点C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△OAC和△DCB中
，
∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2，
∴AO=2+2=CD，
∴DO=2，
∴点B坐标为(2,-2)，
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴k=(-2)×2=-4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B的坐标是解题关键．
7．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．
【答案】##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．
【答案】
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为_____．
【答案】-6
【分析】设A（m，n），根据题意得出△BCE的面积＝OB．AB＝3，即可得到mn＝﹣6，从而求得k的值．
【详解】∵△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，BD⊥AC，
∴AB＝BC，∠EBC＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OB＝OE，
设A（m，n），
∴AB＝BC＝n，OB＝OE＝﹣m，
∵△BCE的面积为3，
∴BC•OE＝3，
∴OB•AB＝3，
∴（﹣m）•n＝3，
∴mn＝﹣6，
∴k＝﹣6，
故答案为﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质以及三角形面积公式是解题的关键．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．
【答案】
【分析】根据点B在反比例函数图象上，可设B点坐标为，得出，，再由等腰直角三角形的性质可得C点坐标为，依据点是中点得出D点的坐标为，过点C作AB的垂线交OB于点E，如图（见详解），可得，列出，化简得，最后利用点D也在反比例函数图象上，列出，将代入即可求得k的值．
【详解】解：∵轴于点A，点B和点在反比例函数的图象上，
设，则，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵点是中点，
∴．
过点C作AB的垂线交OB于点E，垂足为F，如图所示，
∴F为AB的中点，且，
∴，，
∴，
化简得．
又∵，化简得，
将代入得到，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象与三角形的综合问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能将点的坐标和线段用字母表示出来，列出方程求解是解题的关键．
11．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为__________．
【答案】
【分析】延长交轴于点，先证明，由，及四边形是菱形，；在直角三角形中，，得出
，；再根据的图象经过点和，得，设，有，得，即可求解．
【详解】解：延长交轴于点，
在中，
，
根据，
，
，
；
由，
，
又四边形是菱形，
；
在直角三角形中，
，
，；
又反比例函数的图象经过点和，
，
设，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，三角形全等的判定及性质、菱形，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ________．
【答案】（2，0）
【分析】先设点的坐标为，然后由点是的中点得到点的坐标为，进而得到的坐标为，即可得到，，然后由△是等腰直角三角形得到，解方程得到的值，即可得到点的坐标；然后设点的坐标为，进而得到点和的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到，求得的值即可得到的坐标，用同样的方法求得点坐标，结合点、点、的坐标猜测规律，得到点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，
的坐标为，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为；
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为，，
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，，点的坐标为，，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
点的坐标为，，，点的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是设中点的坐标得到点和点的坐标．
13．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）点F的坐标为（2，4）；（3）∠AOF＝∠EOC，理由见解析；（4）P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0）
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线，所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；
（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解，
【详解】解：
（1）设反比例函数的解析式y＝，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴4＝，即k＝12，
∴反比例函数的解析式y＝；
（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y＝﹣x+b上，
∴3＝﹣×4+b，
解得：b＝5，
∴直线DF为y＝﹣x+5，
将y＝4代入y＝﹣x+5，
得4＝﹣x+5，
解得：x＝2，
∴点F的坐标为（2，4），
（3）∠AOF＝∠EOC，理由为：
证明：在CD上取CG＝AF＝2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，
，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF＝∠COG，
，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG＝HG，
设直线EG：y＝mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴，
解得，
∴直线EG：y＝﹣2x+10，
令y＝﹣2x+10＝0，得x＝5，
∴H（5，0），OH＝5，
在Rt△AOE中，AO＝4，AE＝3，根据勾股定理得OE＝5，
∴OH＝OE，
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线，
∴OG是等腰三角形顶角的平分线，
∴∠EOG＝∠GOH，
∴∠EOG＝∠GOC＝∠AOF，
即∠AOF＝∠EOC；
（4）当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L，
则△DPK≌△QDK，
设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4-a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），
把（7，-1+a）代入y=得：
7（-1+a）=12，
解得：a=，
则P的坐标是（，0）；
当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PDK，
则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4-b，则QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，
则Q的坐标是（1，7-b），代入y=得：
b=-5，
则P的坐标是（-5，0）；
当Q在D的右侧（如图3），且∠DQP=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PQK，则DK=DL=3，
设Q的横坐标是c，则纵坐标是，
则QK=QL=，
又∵QL=c-4，
∴c-4=，
解得：c=-2（舍去）或6，
则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1，
∴OP=OK-PK=6-1=5，
则P的坐标是（5，0）；
当Q在D的左侧（如图3），且∠DQP=90°时，不成立；
当∠DPQ=90°时，（如图4），作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，
则△DPR≌△PQK，
∴DR=PK=3，RP=QK，
设P的坐标是（d，0），
则RK=QK=d-4，
则OK=OP+PK=d+3，
则Q的坐标是（d+3，d-4），代入y=得：
（d+3）（d-4）=12，
解得：d=或（舍去），
则P的坐标是（，0），
综上所述，P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0），
【点睛】本题是反比例函数综合题，掌握待定系数法求解析式，反比例函数的性质是解题的关键.
14．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，
，
，
∴；
（3）解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．
15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式；
（2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得；
（3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标．
【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图，
四边形是矩形，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，
设，
点在直线上，
，
解得，
，
反比例函数（）的图像经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
,
把代入，解得，
，
，
在中，①，
在中，②，
①-②,得，
（3）①若，，如图，连接，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
，
，
把代入，得，
，
②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，
在与，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
③若，如图，过点作轴于，过作轴于，
在与中，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y，yx＋3
(2)
(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）
【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，M（t，t＋3），N（t，），得出PMt＋3，PN，分两种情况得出答案；
（3）先求出OC，OD，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数y（m≠0）的图象经过A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，
∴，
解得：
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx＋b得，
解得，
∴一次函数的解析式为yx＋3；
（2）解：由题意得，M（t，t＋3），N（t，），
∴PMt＋3，PN，
当t＞2时，d＝PM﹣PN；
当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM
（3）解：由（1）知，直线AB的解析式为yx＋3，
令x＝0，则yx＋3＝3，
令y＝0，则0x＋3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，
如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH＋∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH＋∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴，
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD＋DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②当∠DCQ＝90°时，同理可得，（﹣9，3）；
③当∠CQD＝90°时，
同理可得，，
∴，CL＝DK，
∴设（﹣a，a），
∴＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a，
∴（，），
即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，属反比例综合题，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)
(2)P点坐标
【详解】（1）∵四边形是矩形
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴
把代人得，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点D是CB中点，
∴B（8,3）
当x=8时
∴E（8，）
当AEP构成等腰三角形时，只能是PA=EA=
P点可位于E点左边或右边
当P点位于E点左边时：
P的横坐标x=8-=
当P点位于E点右边时：
P的横坐标为x=8+=
故P点坐标
【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三角形性质，掌握这些才能解出此题．
18．（2022·山东泰安·统考二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A(a，-2)、B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标．
(2)点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果POC的面积为3，求点P的坐标．
(3)点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使BEF是以∠F为直角的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，B(4，2)
(2)或(2，4)
(3)存在，F(2，4)或(-4，-2)
【分析】（1）把A（a，-2）代入，可得A（-4，-2），再把A（-4，-2）代入，然后根据点B和点A关于原点对称，即可求解；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于C，设，则，可得，再由POC的面积为3，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当E点在y轴正半轴时，当点E在y轴负半轴时，即可求解．
（1）
解：将A（a，-2）代入，得，
解得：a＝-4，
∴A（-4，-2），
将A（-4，-2）代入，得，解得：k＝8，
∴反比例函数的解析式为，
∵点B和点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）
解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于C，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：或2，
∴或（2，4）；
（3）
解：存在，理由如下：
如图甲所示，当E点在y轴正半轴时，过点F作HG⊥y轴于点H，过点B作BG∥y轴交HG于点G，则BG⊥HG，
∴∠G=90°，
∴∠BFG+∠FBG＝90°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG+∠HFE＝90°，
∴∠HFE＝∠FBG，
又∵∠EHF＝∠FGB，
∴，
∴FG＝HE，BG＝HF，
∵点B（4，2），
∴HG=4，
设FH＝m，BG=m，则F（m，2+m），
∵点F在反比例函数图象上，
∴，
解得m＝2或m＝-4（舍去），
∴F（2，4）；
当点E在y轴负半轴时，如图乙所示，
同理可得F（-4，-2），
综上：F（2，4）或（-4，-2）．
图甲 图乙
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．（河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．
【答案】（1）见解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【详解】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论；
（2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论．
解：（1）如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如图2，
图2
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C点坐标为（－7，3），
设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入，
得，
解得，
∴l2的函数表达式为y＝x＋4；
（3）分三种情况：
①如图3，，过点C作轴于E，
当时，，
当时，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如图4，，过点C作轴于F，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如图5，，过点C作轴，过点B作轴，
同（1）可得，
∴，，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案为：-112、－84、-49．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
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