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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题34反比例函数中的矩形和菱形(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题34反比例函数中的矩形和菱形(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了，设AB所在直线解析式为等内容，欢迎下载使用。
1．（江苏省淮安市涟水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1)求点A和点C的坐标；
(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；
(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？
（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．
3．（江苏省淮安市洪泽区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．
(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
5．（江苏省连云港市东海县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
7．（江苏省淮安市淮阴区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
8．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（江苏省扬州市邗江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．
11．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
12．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．
四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状
当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
14．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
15．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
16．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、BC边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落往y轴上的点C处，点B落在点B'处．
(1) 求D、E两点的坐标；
(2) 反比例函数y =(k >0) 在第一象限的图像经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图像上? 并说明理由；
(3) 点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的AB边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标．(直接写出答案)
专题34 反比例函数中的矩形和菱形
1．（江苏省淮安市涟水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1)求点A和点C的坐标；
(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；
(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）
(2)t=2s
(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；
（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；
（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，
∴0=-2x+2，得x=1，
∴点A（1，0）；
过点C作CH⊥y轴于点H，
∴∠CHB=∠BOA=90°，
∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，
∴∠BAC=45°，
又∵BC⊥AB，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
在△AOB和△BHC中，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH=AO=1，CH=BO，
设OB=a，则OH=a+1，
∴点C（a，-a-1），
∵点C在直线l上，
∴-a-1=-2a+2，
∴a=3，
∴C（3，-4）；
（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，
A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），
∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），
∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，
∴1×3t=3×（-4+3t），
∴t=2；
（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），
设P（b，0），
则，，，
当EF为对角线时，则PE=PF，即，
∴，
解得：b=，
∴P（，0），
点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），
∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），
∴Q（，5）；
当EP为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=+3或+3，
∴P（+3，0）或（+3，0），
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当EQ为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=1或-1，
∴P（1，0）或（-1，0），
当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；
当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；
综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？
（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．
【答案】（1），；（2）当4＜x＜16时，（3）（0，0），（15，0），P或．
【分析】（1）将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入反比例函数y（x＞0）中，可求m、a；再将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入y＝kx+b中，列方程组求k、b即可；
（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围；
（3）根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象于A（4，﹣8），
∴k＝4×（﹣8）＝﹣32．
∵双曲线y过点B（m，﹣2），
∴m＝16．
由直线y＝kx+b过点A，B得：，
解得，，
∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为．
（2）观察图象可知，当4＜x＜16时，一次函数的值小于反比例函数的值．
（3）在直线yx﹣10中，令y＝0，则x＝20，
∴C（20，0），
∴OC＝20，AC8，BC2，
AO4，
∴
∴△OAC为直角三角形
∴OA⊥AB
四边形是矩形时分三种情况①当PA⊥AB时
∵OA⊥AB
∴P点以O点重合
∴P点坐标为（0,0）
②当PB⊥AB时
设P（m，0），则PC＝20﹣m，
∵∠PBC=∠OAC=90°，∠PCB=∠OCA
∴△BCP∽△ACO，
∴，即，，
∴m＝15，
此时P（15，0），
③当∠APB=90°时
设P（m，0），作AM⊥OC，BN⊥OC
∴∠AMP=∠BNP=90°
∵，
∴AM=8，BN=2，PM=m-4，NP=16-m
∵∠APB=90°
∴∠APM+∠BPN=90°
∵∠MAP+∠APM=90°
∴∠MAP=∠BPN
∴△APM∽△PBN，
∴，即，
解得：
此时P或
综上，四边形是矩形时P点的坐标为（0，0），（15，0），P或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，这里体现了数形结合的思想．
3．（江苏省淮安市洪泽区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为；
(3)①点，，点，；②点的坐标为，或或．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设点，根据的面积列方程，求解即可；
（3）①连接，根据平行线的性质，可得直线的解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式，求出点坐标，根据平移的性质进一步即可求出点坐标；
②根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，的坐标，可得，，，以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可．
（1）
解：将点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的表达式：，
将点代入反比例函数，
得，
反比例函数表达式：，
故答案为：，；
（2）
点的横坐标为3，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，
点，点，
，
设点，
点到的距离等于它到轴的距离，
，
解得，
点坐标为；
（3）
①连接，如图所示：
根据平移的性质可得，
直线的解析式：，
联立，
解得或（不合题意，舍去），
点，，
根据平移的性质，可得点，；
②点，
设直线的解析式：，
代入点，
得，
解得，
直线的解析式：，
根据平移，可得，
设直线的表达式为，
直线的解析式为，
设平移后的点为，则点，
将点坐标代入，
得，
解得，
直线的表达式为：，
当时，，
点，
，，，
以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：
当，为边时，，
解得或（舍去），
点，，
当、为边时，，
解得，
点；
当、为边时，，
解得（舍或，
点，
综上，点的坐标为，或或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判定等，本题综合性较强，计算量较大．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．
(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
【答案】(1)①，；②6
(2)1
(3)D为线段GF的中点，理由见解析
【分析】(1)①把A(2,4)分别代入入y1=(k＞0)和y2=mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-x+6，得出K(0,6)，再由S△AOD=S△DOK-S△AOK，即可求得答案；
(2)由题意得：A(s,ms)，D(t，nt)，k=ms2=nt2①，再根据矩形性质可得OA=OD，即s2+m2s2=t2+n2t2②，①②联立即可求得答案；
(3)由题意得：A(s,)，D(t,)，C(-s,-)，运用待定系数法可得直线CD的解析式为y=x+-，得出E(s,-)，再由矩形性质可得：FG∥AE∥y轴，EFAGx轴，进而得出F(t,-)，G(t,)，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵点A(2，4)在上，
∴，；
∵点A(2,4)在上，
∴，
②∵点D的横坐标为4，
∴当时，，
∴D(4,2)
分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K，
∵，，
∴；
（2）解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数分别交于点A，C，B，D，反比例函数的图像关于原点中心对称，
∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称，
∴，，
∴四边形ABCD为平行四边形．
当时，四边形ABCD是矩形．
∵点A，D的横坐标分别为s，t()，
∴点A的坐标为(s,)，点D的坐标为(t,)，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴
又∵A(s,)在上，
∴，
∴
D(t，在上，
∴，
∴．
（3）解：由(2)知，，，则
设CD的表达式为
，解得，
∴CD的表达式为，
∵轴交CD于点E，
∴当时，
∴E(s，)，
∵四边形AEFG是矩形
∴
∴，
∴
∴D为线段GF的中点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.
5．（江苏省连云港市东海县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，或
(3)存在，
【分析】（1）将点，代入一次函数解析式求得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标，结合函数图像的交点坐标，即可求得自变量的取值范围；
（3）根据对称性可得，则在的上方，找到关于的对称点，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）∵一次函数经过点，
∴，
∴．
∴．
∵反比例函数经过点，∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）如图，过点分别作轴的垂线，交于点，
与关于轴对称，
关于轴对称，
，
设，则，
在上，
，
，
解得，
，
，，
当，则自变量的取值范围是或．
（3）存在，．
如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，
由（2）可知在上，设，
，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．
6．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【答案】(1)，
(2)0≤m≤
(3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，）
【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；
（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．
（1）解：延长AD交x轴于F，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，则AF⊥x轴，∵点D坐标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函数的解析式为；将A、B坐标代入中，得，解得：，∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），∴，∴m= ，∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤．
（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，则∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，则，∴NH=，∵点N在直线AB上，∴当x=时，，∴点N坐标为（，）；设M（x，），则x+0=+4，解得：x=，，∴点M的坐标为（，）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．
7．（江苏省淮安市淮阴区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)2．5
(3)存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形
【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；
（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为，点M的坐标为（5，，），则，，再根据，列出方程求解即可；
（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则，，，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．
（1）
解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），
∴OC=AB=5，
∵点D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
∴CD=8，
∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，
∴
故答案为：，；
（2）
：如图1，连接PM，
由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，
∴点P的坐标为（t，4），
∵点P在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为（5，），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）；
（3）
解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）
∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），
∴，，；
当PQ=PC时，则，
解得（不合题意，舍去）；
当PQ=CQ时，，
解得（负值已舍去）；
当PC=CQ时，
解得（负值已舍去）；
综上所述，存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）8；（3）（，-2）或（，2）或（5，4）或（3，4）
【分析】（1）根据点A（2，3）在的图象上，得到m值，求出点B的坐标，把点A，B坐标代入即可得到结果；
（2）求出点M坐标，再利用S△OAB=S△OAM-S△OBM得到结果；
（3）分当AB为矩形的边时，当AB为矩形的对角线时两种情况，结合相似三角形的判定和性质以及矩形的性质分别求解．
【详解】解：（1）∵点A（2，3）在上，
则，∴m=6，
∴反比例函数的解析式为，
把x=6代入上式得：y=1，
即点B的坐标为（6，1），
∵点A（2，3），B（6，1）在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）如图，设一次函数与x轴交于点M，
在中，令y1=0，则x=8，
∴M（8，0），
∴S△OAB=S△OAM-S△OBM==8；
（3）当AB为矩形的边时，
情形一：AB⊥AC，
过点A作x轴的平行线，再分别过点C和点B作该平行线的垂线，垂足为E和F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴CE=3，BF=2，AF=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CAB=90°，则∠CAE+∠BAF=90°，
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAF=∠ACE，又∠E=∠F=90°，
∴△ACE∽△BAF，
∴，即，
∴AE=，
∴OC=2-=，即点C的坐标为（，0），
通过平移规律可得：点D的坐标为（，-2）；
情形二：AD⊥AB，
过点B作x轴的垂线，分别过A和C作该垂线的垂线，垂足为E，F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴AE=4，BE=2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，则∠ABE+∠CBF=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，又∠E=∠CFE=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF=，
∴OC=6-=，即点C的坐标为（，0），
通过平移规律可得：点D的坐标为（，2）；
当AB为矩形的对角线时，
CD经过AB的中点G，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为E和F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴AE=3，EF=4，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ACB=90°，则∠ACE+∠BCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCF =∠CAE，又∠AEC=∠BFC=90°，
∴△AEC∽△CFB，
∴，即，
∴CE=1或3，
经检验：CE=1或3是原方程的解，
当CE=1时，点C的坐标为（3，0），
∵点G的坐标为（，），即（4，2），
则点D的坐标为（5，4）；
当CE=3时，点C的坐标为（5，0），
∵点G的坐标为（4，2），
则点D的坐标为（3，4）；
综上：存在点C，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，点D的坐标为（，-2）或（，2）或（5，4）或（3，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，注意讨论矩形的存在性时，要分类讨论．
9．（江苏省扬州市邗江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【答案】(1)（8，3），（4，6）；
(2)①P(3，8)，②
【分析】（1）根据矩形的性质得点C的坐标，再利用中点坐标公式得点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
（2）①首先根据S△ODE=S梯形OACE-S△OAD-S△ECD，求出△ODE的面积，再根据S△PBO=S△ODE．得出点P的横坐标，从而得出答案；
②由①知，点P在直线x=5上，设直线x=5交x轴于H，分AP=AC，CA=C，PA=PC三种情形，分别利用菱形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=6，
∴C（8，6），
∵点D是AC的中点，
∴D（8，3），
∴k=8×3=24，
∴y=，
当y=6时，x=4，
∴E（4，6），
故答案为：（8，3），（4，6）；
（2）（2）①∵点D(8，3)，
∴，
反比例函数：，
设点P的横坐标为m (m>0)，
=48-12-6-12=18，
∵ ，
∴ ，
即 ，且BO = 6，
∴
∵ 点P在 的图像上，
∴P(3，8)
② 由①知点P在直线上，
当AC=AP=6时，若点P在第一象限，
∴PH=,
∴Q（3，） ，
当点P在第四象限，不符合题意，舍去；
当CA=CP时，如下图，
同理得，Q(3,)或（3，）；
当PC=PA时，如下图，点P(3，3)，
则点Q与P关于直线AC对称，
∴Q（13，3）
综上所述，
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点P在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．
【分析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可；
（2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．
【详解】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n）．
∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn＝（m﹣6）n，
∴m＝9．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m﹣6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×9×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA∙yP＝OA∙OC，
∴yP＝OC＝4．
当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），
∵yP＝4，yA+yB＝5，
∴，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，4）．
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，9）；
（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，
解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），
∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
11．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
【答案】（1）得到60°， ； （2）的坐标为
【分析】（1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，即可求得∠AOF，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）设G点坐标为（x，0），然后运用勾股定理AG，CG的长，又由于是菱形，可以得到三角形ACG是等腰三角形，然后分类讨论即可完成解答.
【详解】解：（1）由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC,∠BAO=∠OAF ，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，，
∴AF=OF
∴AF=OF=OA.，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠AOF=
∵点A，D在反比例函数y=的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴
如图1，设过A做AH⊥x轴于点M，
在Rt△AOM中，可得∠QAM=30°，
∴
∴
∴
（2）设G（x，0），且A（1， ），C（-4，0），
则
要使A,C,G,K四点构成菱形，则三角形ACG一定是等腰三角形，才可能与K组成菱形：则有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况，
当AG=CG时，则 =|x+4|，解得x= ，此时G点坐标为（，0）；
当AG=AC时，则 ，解得x=-4（与C点重合，舍去）或x=6，此时G点坐标为（6，0）；
当CG=AC时，则|x+4|= ，解得x=-4+或x=-4-，此时G点坐标为（-4+2√77，0）或（-4-2√77，0）；
综上，当A,C,G,K构成菱形时，G点坐标为.
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，难度较大，认真、冷静的分析是解题的关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．
四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状
当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）平行四边形；（2），，（3）四边形ABCD不可能成为菱形，理由见解析.
【分析】(1)根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称，再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称，即可得出对角线BD、AC互相平分，由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形；
(2)由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值，进而得出点A的坐标以及OA的长度，再根据矩形的性质即可得出OB=OA，由点B的坐标即可求出m值；
(3)由点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，可得出∠AOB<90°，而菱形的对角线互相垂直平分，由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形．
【详解】正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，
点A、C关于原点O成中心对称，
点B与点D关于坐标原点O成中心对称，
对角线BD、AC互相平分，
四边形ABCD的是平行四边形，
故答案为平行四边形．
点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点，
，
四边形ABCD为矩形，
，，，
，
；
四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：
点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，
，
与BD不可能互相垂直，
四边形ABCD不可能成为菱形．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、平行四边形的判定、矩形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：(1)找出对角线BD、AC互相平分；(2)根据矩形的性质找出OA=OB；(3)找出∠AOB<90°.
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
②根据中心对称的性质可得OA＝OB，OC＝OD，从而证明结论；
（2）根据矩形的性质可知CD＝AB，则OC＝OB，求出OB的长，即可得出答案；
（3）分点A为中点，C为中点，E为中点，分别画出图形，利用三角形中位线定理可得OE和AD的长，从而解决问题．
（1）
解：（1）①∵正比例函数与反比例函数的图象于点，B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴；
②∵点A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵点D与点C关于y轴对称，
∴OC＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）
当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，
∴OC＝OB，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
当点E为AC的中点时，则AE＝CE，
作AH⊥x轴于H，
∴，
∴，
∵，
∴点D与H重合，
∴，
∴，
当点A为CE的中点时，如图，则，
同理可得，
∴，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当点C为AE的中点时，，则，，
由勾股定理得，
∴，
综上： 或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
14．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）BCD；（2）①平行四边形，理由见解析；②S=；③mn=6
【分析】（1）利用反比例函数的性质，找出结论；
（2）①由正、反比例函数的对称性可得出，，进而可证出四边形为平行四边形；
②由的值可得出点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，由可求出的面积，再利用平行四边形的性质，即可求出与之间的函数表达式；
③利用矩形的判定定理可得出：当时，四边形是矩形，由点，的坐标结合，即可得出，再结合即可找出当四边形是矩形时，之间的关系．
【详解】解：（1），
在同一象限内，随的增大而减小，A不符合题意；
为反比例函数，
函数的图象关于原点中心对称，函数的图象关于直线成轴对称，B，C符合题意；
设点为反比例函数上任意一点，
将该点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标为，，，
把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线，D符合题意．
故答案为：BCD．
（2）①四边形为平行四边形，理由如下：
直线，经过原点且与双曲线分别交于点，，，，双曲线的图象关于原点中心对称，
点，关于原点对称，点、关于原点对称，
，，
四边形为平行四边形．
②当时，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
点的坐标为，
，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
③当时，四边形是矩形．
点，的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
．
又，
，
，
当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用反比例函数的性质，找出结论；（2）①利用正、反比例函数的对称性，找出OA=OB，OC=OD；②利用分割图形求面积法，用含n的代数式表示出△OAC的面积；③利用两点间的距离公式，找出m，n之间的关系．
15．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，t=或t=2
【分析】（1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，求出周长最小值即可；
（3）存在，若四变形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．分BF为对角线，BE为对角线，EF为对角线时，建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知点B的坐标为(3，8)，且点B在y＝上．
∴k=3×8=24，
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）t=1时，E（1，8），F（3，6），则EF＝，
取E关于y轴的对称E′(-1，8)，
连接E′F，E′F＝，△DEF的周长＝DE+DF+EF＝+DE′+DF≥2+E′F，
∴△DEF的周长的最小值＝2+2，
此时点D为E′F与y轴交点，
∵E′(-1，8)，F(3，6)，
设E′F：y=kx+b，
则，
解得，
∴E′F：y＝，
∴此时D(0，)，
即：y轴上存在点D(0，)，使△DEF周长最小，且最小值为2+2．
（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．
①当BF是对角线时，BE//FM，此时M在F右侧，M(，8−2t)，
又∵BE=FM，
∴3−t＝−3，t2-10t+12=0，
解得t1＝5−，t2＝5+（舍）．
②当BE为对角线时，BF//EM，此时M在E正上方，Mt(t，)，
∵ME=BF，
∴−8＝2t，t2+4t-12=0，
解得t1=2，t2=-6（舍）．
③EF为对角线时，明显，点M不在双曲线上．
故综上：t=2或5−．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
16．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）D点坐标为，M点坐标为；（2）a=12，反比例函数解析式为：；（3）Q点坐标为或或或.
【分析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，求出AH和DH的长，即可求出D点坐标，再根据M为BC中点，求出M的坐标即可；
（2）写出平移后，的坐标，再根据，都在反比例函数上，建立方程求出即可；
（3）设P点坐标为，分别讨论①当∠90°时，②当∠90°时，③当∠90°时，建立方程解出m，从而求出Q点坐标.
【详解】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，
∵AD=8，∠DAB=60°，
∴AH=4，DH=，
∵AB=6，点B的坐标为（-6，0），
∴H点坐标为（-8,0），
∴D点坐标为，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴C点坐标为，
∵M为BC中点，
∴M点坐标为；
（2）将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，
∴的坐标为，的坐标为，
∵，都在反比例函数图像上，
∴把，代入反比例函数中，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为：；
（3）过点M，作直线l，
则直线l的解析式为：，
∴设P点坐标为，
由（2）知，
的坐标为（6，0），
的坐标为，
则，
，
，
若以，P，Q为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：
①当∠90°时，
则，即，
解得：m=16，
则P点坐标为，
则Q点坐标为；
②当∠90°时，
则，即，
解得：m=0，
则P点坐标为，
则Q点坐标为；
③当∠90°时，
则，即，
解得： ，
则P点坐标为或，
则对应的Q点坐标为或；
综上，Q点坐标为或或或.
【点睛】本题是对反比例函数和几何知识的综合考查，熟练掌握反比例函数及矩形的性质定理是解决本题的关键.
17．如图，在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、BC边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落往y轴上的点C处，点B落在点B'处．
(1) 求D、E两点的坐标；
(2) 反比例函数y =(k >0) 在第一象限的图像经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图像上? 并说明理由；
(3) 点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的AB边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标．(直接写出答案)
【答案】（1）E（10，8）（2）不在；（3）G1（20，13）、G2（12，-3）、G3（0，3）
【详解】试题分析：（1）设OD=m，则CD=DA=16-m，在Rt△COD中，由勾股定理可得m=6，即可得D的坐标，再根据矩形的性质，可得CE=CD=10，可得E的坐标；
（2）过B′作B′M⊥BC于M，易得B′M与CM的长，进而可得k的值，根据题意，可得答案；
（3）根据题意，分三种情况讨论，可得在平面直角坐标系中存在G1、G2、G3的坐标，进而可得答案．
试题解析：（1）OA=16，OC=8，
设OD=m，则CD=DA=16-m
在Rt△COD中，∠COD=90°
∵CD2=OC2+OD2
∴（16-m）2=82+m2
解得m=6，
∴D（6，0）
∵四边形OABC是矩形
∴OA∥CB
∴∠CED=∠EDA
∵∠EDA=∠CDE
∴∠CED=∠CDE
∴CE=CD=10，E（10，8）
（2）如图，过B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8，B′E=BE=6，∠CB′E=90°
∴B′M=，B′（6.4，12.8）
∵k=10×8=80，y＝
又∵6.4×12.8≠80
∴点B′不在这个反比例函数的图象上
（3）当x=16时，y=5
∴F（16，5）
有三种情况如图：
①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位，端点E落在G1处，G1（20，13）；
②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位，端点F落在G2处，G2（12，-3）；
③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位，端点D落在G3处，G3（0，3）．
综上所述，在平面直角坐标系中存在G1（20，13）、G2（12，-3）、G3（0，3）使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
1．（江苏省淮安市涟水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1)求点A和点C的坐标；
(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；
(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？
（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．
3．（江苏省淮安市洪泽区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．
(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
5．（江苏省连云港市东海县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
7．（江苏省淮安市淮阴区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
8．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（江苏省扬州市邗江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．
11．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
12．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．
四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状
当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
14．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
15．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
16．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、BC边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落往y轴上的点C处，点B落在点B'处．
(1) 求D、E两点的坐标；
(2) 反比例函数y =(k >0) 在第一象限的图像经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图像上? 并说明理由；
(3) 点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的AB边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标．(直接写出答案)
专题34 反比例函数中的矩形和菱形
1．（江苏省淮安市涟水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1)求点A和点C的坐标；
(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；
(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）
(2)t=2s
(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；
（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；
（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，
∴0=-2x+2，得x=1，
∴点A（1，0）；
过点C作CH⊥y轴于点H，
∴∠CHB=∠BOA=90°，
∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，
∴∠BAC=45°，
又∵BC⊥AB，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
在△AOB和△BHC中，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH=AO=1，CH=BO，
设OB=a，则OH=a+1，
∴点C（a，-a-1），
∵点C在直线l上，
∴-a-1=-2a+2，
∴a=3，
∴C（3，-4）；
（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，
A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），
∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），
∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，
∴1×3t=3×（-4+3t），
∴t=2；
（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），
设P（b，0），
则，，，
当EF为对角线时，则PE=PF，即，
∴，
解得：b=，
∴P（，0），
点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），
∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），
∴Q（，5）；
当EP为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=+3或+3，
∴P（+3，0）或（+3，0），
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当EQ为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=1或-1，
∴P（1，0）或（-1，0），
当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；
当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；
综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？
（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．
【答案】（1），；（2）当4＜x＜16时，（3）（0，0），（15，0），P或．
【分析】（1）将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入反比例函数y（x＞0）中，可求m、a；再将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入y＝kx+b中，列方程组求k、b即可；
（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围；
（3）根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象于A（4，﹣8），
∴k＝4×（﹣8）＝﹣32．
∵双曲线y过点B（m，﹣2），
∴m＝16．
由直线y＝kx+b过点A，B得：，
解得，，
∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为．
（2）观察图象可知，当4＜x＜16时，一次函数的值小于反比例函数的值．
（3）在直线yx﹣10中，令y＝0，则x＝20，
∴C（20，0），
∴OC＝20，AC8，BC2，
AO4，
∴
∴△OAC为直角三角形
∴OA⊥AB
四边形是矩形时分三种情况①当PA⊥AB时
∵OA⊥AB
∴P点以O点重合
∴P点坐标为（0,0）
②当PB⊥AB时
设P（m，0），则PC＝20﹣m，
∵∠PBC=∠OAC=90°，∠PCB=∠OCA
∴△BCP∽△ACO，
∴，即，，
∴m＝15，
此时P（15，0），
③当∠APB=90°时
设P（m，0），作AM⊥OC，BN⊥OC
∴∠AMP=∠BNP=90°
∵，
∴AM=8，BN=2，PM=m-4，NP=16-m
∵∠APB=90°
∴∠APM+∠BPN=90°
∵∠MAP+∠APM=90°
∴∠MAP=∠BPN
∴△APM∽△PBN，
∴，即，
解得：
此时P或
综上，四边形是矩形时P点的坐标为（0，0），（15，0），P或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，这里体现了数形结合的思想．
3．（江苏省淮安市洪泽区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为；
(3)①点，，点，；②点的坐标为，或或．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设点，根据的面积列方程，求解即可；
（3）①连接，根据平行线的性质，可得直线的解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式，求出点坐标，根据平移的性质进一步即可求出点坐标；
②根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，的坐标，可得，，，以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可．
（1）
解：将点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的表达式：，
将点代入反比例函数，
得，
反比例函数表达式：，
故答案为：，；
（2）
点的横坐标为3，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，
点，点，
，
设点，
点到的距离等于它到轴的距离，
，
解得，
点坐标为；
（3）
①连接，如图所示：
根据平移的性质可得，
直线的解析式：，
联立，
解得或（不合题意，舍去），
点，，
根据平移的性质，可得点，；
②点，
设直线的解析式：，
代入点，
得，
解得，
直线的解析式：，
根据平移，可得，
设直线的表达式为，
直线的解析式为，
设平移后的点为，则点，
将点坐标代入，
得，
解得，
直线的表达式为：，
当时，，
点，
，，，
以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：
当，为边时，，
解得或（舍去），
点，，
当、为边时，，
解得，
点；
当、为边时，，
解得（舍或，
点，
综上，点的坐标为，或或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判定等，本题综合性较强，计算量较大．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．
(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
【答案】(1)①，；②6
(2)1
(3)D为线段GF的中点，理由见解析
【分析】(1)①把A(2,4)分别代入入y1=(k＞0)和y2=mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-x+6，得出K(0,6)，再由S△AOD=S△DOK-S△AOK，即可求得答案；
(2)由题意得：A(s,ms)，D(t，nt)，k=ms2=nt2①，再根据矩形性质可得OA=OD，即s2+m2s2=t2+n2t2②，①②联立即可求得答案；
(3)由题意得：A(s,)，D(t,)，C(-s,-)，运用待定系数法可得直线CD的解析式为y=x+-，得出E(s,-)，再由矩形性质可得：FG∥AE∥y轴，EFAGx轴，进而得出F(t,-)，G(t,)，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵点A(2，4)在上，
∴，；
∵点A(2,4)在上，
∴，
②∵点D的横坐标为4，
∴当时，，
∴D(4,2)
分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K，
∵，，
∴；
（2）解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数分别交于点A，C，B，D，反比例函数的图像关于原点中心对称，
∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称，
∴，，
∴四边形ABCD为平行四边形．
当时，四边形ABCD是矩形．
∵点A，D的横坐标分别为s，t()，
∴点A的坐标为(s,)，点D的坐标为(t,)，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴
又∵A(s,)在上，
∴，
∴
D(t，在上，
∴，
∴．
（3）解：由(2)知，，，则
设CD的表达式为
，解得，
∴CD的表达式为，
∵轴交CD于点E，
∴当时，
∴E(s，)，
∵四边形AEFG是矩形
∴
∴，
∴
∴D为线段GF的中点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.
5．（江苏省连云港市东海县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，或
(3)存在，
【分析】（1）将点，代入一次函数解析式求得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标，结合函数图像的交点坐标，即可求得自变量的取值范围；
（3）根据对称性可得，则在的上方，找到关于的对称点，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）∵一次函数经过点，
∴，
∴．
∴．
∵反比例函数经过点，∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）如图，过点分别作轴的垂线，交于点，
与关于轴对称，
关于轴对称，
，
设，则，
在上，
，
，
解得，
，
，，
当，则自变量的取值范围是或．
（3）存在，．
如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，
由（2）可知在上，设，
，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．
6．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【答案】(1)，
(2)0≤m≤
(3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，）
【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；
（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．
（1）解：延长AD交x轴于F，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，则AF⊥x轴，∵点D坐标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函数的解析式为；将A、B坐标代入中，得，解得：，∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），∴，∴m= ，∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤．
（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，则∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，则，∴NH=，∵点N在直线AB上，∴当x=时，，∴点N坐标为（，）；设M（x，），则x+0=+4，解得：x=，，∴点M的坐标为（，）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．
7．（江苏省淮安市淮阴区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)2．5
(3)存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形
【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；
（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为，点M的坐标为（5，，），则，，再根据，列出方程求解即可；
（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则，，，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．
（1）
解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），
∴OC=AB=5，
∵点D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
∴CD=8，
∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，
∴
故答案为：，；
（2）
：如图1，连接PM，
由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，
∴点P的坐标为（t，4），
∵点P在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为（5，），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）；
（3）
解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）
∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），
∴，，；
当PQ=PC时，则，
解得（不合题意，舍去）；
当PQ=CQ时，，
解得（负值已舍去）；
当PC=CQ时，
解得（负值已舍去）；
综上所述，存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）8；（3）（，-2）或（，2）或（5，4）或（3，4）
【分析】（1）根据点A（2，3）在的图象上，得到m值，求出点B的坐标，把点A，B坐标代入即可得到结果；
（2）求出点M坐标，再利用S△OAB=S△OAM-S△OBM得到结果；
（3）分当AB为矩形的边时，当AB为矩形的对角线时两种情况，结合相似三角形的判定和性质以及矩形的性质分别求解．
【详解】解：（1）∵点A（2，3）在上，
则，∴m=6，
∴反比例函数的解析式为，
把x=6代入上式得：y=1，
即点B的坐标为（6，1），
∵点A（2，3），B（6，1）在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）如图，设一次函数与x轴交于点M，
在中，令y1=0，则x=8，
∴M（8，0），
∴S△OAB=S△OAM-S△OBM==8；
（3）当AB为矩形的边时，
情形一：AB⊥AC，
过点A作x轴的平行线，再分别过点C和点B作该平行线的垂线，垂足为E和F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴CE=3，BF=2，AF=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CAB=90°，则∠CAE+∠BAF=90°，
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAF=∠ACE，又∠E=∠F=90°，
∴△ACE∽△BAF，
∴，即，
∴AE=，
∴OC=2-=，即点C的坐标为（，0），
通过平移规律可得：点D的坐标为（，-2）；
情形二：AD⊥AB，
过点B作x轴的垂线，分别过A和C作该垂线的垂线，垂足为E，F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴AE=4，BE=2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，则∠ABE+∠CBF=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，又∠E=∠CFE=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF=，
∴OC=6-=，即点C的坐标为（，0），
通过平移规律可得：点D的坐标为（，2）；
当AB为矩形的对角线时，
CD经过AB的中点G，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为E和F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴AE=3，EF=4，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ACB=90°，则∠ACE+∠BCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCF =∠CAE，又∠AEC=∠BFC=90°，
∴△AEC∽△CFB，
∴，即，
∴CE=1或3，
经检验：CE=1或3是原方程的解，
当CE=1时，点C的坐标为（3，0），
∵点G的坐标为（，），即（4，2），
则点D的坐标为（5，4）；
当CE=3时，点C的坐标为（5，0），
∵点G的坐标为（4，2），
则点D的坐标为（3，4）；
综上：存在点C，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，点D的坐标为（，-2）或（，2）或（5，4）或（3，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，注意讨论矩形的存在性时，要分类讨论．
9．（江苏省扬州市邗江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【答案】(1)（8，3），（4，6）；
(2)①P(3，8)，②
【分析】（1）根据矩形的性质得点C的坐标，再利用中点坐标公式得点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
（2）①首先根据S△ODE=S梯形OACE-S△OAD-S△ECD，求出△ODE的面积，再根据S△PBO=S△ODE．得出点P的横坐标，从而得出答案；
②由①知，点P在直线x=5上，设直线x=5交x轴于H，分AP=AC，CA=C，PA=PC三种情形，分别利用菱形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=6，
∴C（8，6），
∵点D是AC的中点，
∴D（8，3），
∴k=8×3=24，
∴y=，
当y=6时，x=4，
∴E（4，6），
故答案为：（8，3），（4，6）；
（2）（2）①∵点D(8，3)，
∴，
反比例函数：，
设点P的横坐标为m (m>0)，
=48-12-6-12=18，
∵ ，
∴ ，
即 ，且BO = 6，
∴
∵ 点P在 的图像上，
∴P(3，8)
② 由①知点P在直线上，
当AC=AP=6时，若点P在第一象限，
∴PH=,
∴Q（3，） ，
当点P在第四象限，不符合题意，舍去；
当CA=CP时，如下图，
同理得，Q(3,)或（3，）；
当PC=PA时，如下图，点P(3，3)，
则点Q与P关于直线AC对称，
∴Q（13，3）
综上所述，
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点P在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．
【分析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可；
（2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．
【详解】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n）．
∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn＝（m﹣6）n，
∴m＝9．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m﹣6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×9×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA∙yP＝OA∙OC，
∴yP＝OC＝4．
当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），
∵yP＝4，yA+yB＝5，
∴，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，4）．
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，9）；
（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，
解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），
∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
11．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
【答案】（1）得到60°， ； （2）的坐标为
【分析】（1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，即可求得∠AOF，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）设G点坐标为（x，0），然后运用勾股定理AG，CG的长，又由于是菱形，可以得到三角形ACG是等腰三角形，然后分类讨论即可完成解答.
【详解】解：（1）由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC,∠BAO=∠OAF ，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，，
∴AF=OF
∴AF=OF=OA.，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠AOF=
∵点A，D在反比例函数y=的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴
如图1，设过A做AH⊥x轴于点M，
在Rt△AOM中，可得∠QAM=30°，
∴
∴
∴
（2）设G（x，0），且A（1， ），C（-4，0），
则
要使A,C,G,K四点构成菱形，则三角形ACG一定是等腰三角形，才可能与K组成菱形：则有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况，
当AG=CG时，则 =|x+4|，解得x= ，此时G点坐标为（，0）；
当AG=AC时，则 ，解得x=-4（与C点重合，舍去）或x=6，此时G点坐标为（6，0）；
当CG=AC时，则|x+4|= ，解得x=-4+或x=-4-，此时G点坐标为（-4+2√77，0）或（-4-2√77，0）；
综上，当A,C,G,K构成菱形时，G点坐标为.
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，难度较大，认真、冷静的分析是解题的关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．
四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状
当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）平行四边形；（2），，（3）四边形ABCD不可能成为菱形，理由见解析.
【分析】(1)根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称，再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称，即可得出对角线BD、AC互相平分，由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形；
(2)由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值，进而得出点A的坐标以及OA的长度，再根据矩形的性质即可得出OB=OA，由点B的坐标即可求出m值；
(3)由点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，可得出∠AOB<90°，而菱形的对角线互相垂直平分，由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形．
【详解】正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，
点A、C关于原点O成中心对称，
点B与点D关于坐标原点O成中心对称，
对角线BD、AC互相平分，
四边形ABCD的是平行四边形，
故答案为平行四边形．
点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点，
，
四边形ABCD为矩形，
，，，
，
；
四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：
点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，
，
与BD不可能互相垂直，
四边形ABCD不可能成为菱形．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、平行四边形的判定、矩形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：(1)找出对角线BD、AC互相平分；(2)根据矩形的性质找出OA=OB；(3)找出∠AOB<90°.
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
②根据中心对称的性质可得OA＝OB，OC＝OD，从而证明结论；
（2）根据矩形的性质可知CD＝AB，则OC＝OB，求出OB的长，即可得出答案；
（3）分点A为中点，C为中点，E为中点，分别画出图形，利用三角形中位线定理可得OE和AD的长，从而解决问题．
（1）
解：（1）①∵正比例函数与反比例函数的图象于点，B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴；
②∵点A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵点D与点C关于y轴对称，
∴OC＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）
当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，
∴OC＝OB，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
当点E为AC的中点时，则AE＝CE，
作AH⊥x轴于H，
∴，
∴，
∵，
∴点D与H重合，
∴，
∴，
当点A为CE的中点时，如图，则，
同理可得，
∴，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当点C为AE的中点时，，则，，
由勾股定理得，
∴，
综上： 或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
14．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）BCD；（2）①平行四边形，理由见解析；②S=；③mn=6
【分析】（1）利用反比例函数的性质，找出结论；
（2）①由正、反比例函数的对称性可得出，，进而可证出四边形为平行四边形；
②由的值可得出点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，由可求出的面积，再利用平行四边形的性质，即可求出与之间的函数表达式；
③利用矩形的判定定理可得出：当时，四边形是矩形，由点，的坐标结合，即可得出，再结合即可找出当四边形是矩形时，之间的关系．
【详解】解：（1），
在同一象限内，随的增大而减小，A不符合题意；
为反比例函数，
函数的图象关于原点中心对称，函数的图象关于直线成轴对称，B，C符合题意；
设点为反比例函数上任意一点，
将该点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标为，，，
把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线，D符合题意．
故答案为：BCD．
（2）①四边形为平行四边形，理由如下：
直线，经过原点且与双曲线分别交于点，，，，双曲线的图象关于原点中心对称，
点，关于原点对称，点、关于原点对称，
，，
四边形为平行四边形．
②当时，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
点的坐标为，
，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
③当时，四边形是矩形．
点，的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
．
又，
，
，
当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用反比例函数的性质，找出结论；（2）①利用正、反比例函数的对称性，找出OA=OB，OC=OD；②利用分割图形求面积法，用含n的代数式表示出△OAC的面积；③利用两点间的距离公式，找出m，n之间的关系．
15．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，t=或t=2
【分析】（1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，求出周长最小值即可；
（3）存在，若四变形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．分BF为对角线，BE为对角线，EF为对角线时，建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知点B的坐标为(3，8)，且点B在y＝上．
∴k=3×8=24，
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）t=1时，E（1，8），F（3，6），则EF＝，
取E关于y轴的对称E′(-1，8)，
连接E′F，E′F＝，△DEF的周长＝DE+DF+EF＝+DE′+DF≥2+E′F，
∴△DEF的周长的最小值＝2+2，
此时点D为E′F与y轴交点，
∵E′(-1，8)，F(3，6)，
设E′F：y=kx+b，
则，
解得，
∴E′F：y＝，
∴此时D(0，)，
即：y轴上存在点D(0，)，使△DEF周长最小，且最小值为2+2．
（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．
①当BF是对角线时，BE//FM，此时M在F右侧，M(，8−2t)，
又∵BE=FM，
∴3−t＝−3，t2-10t+12=0，
解得t1＝5−，t2＝5+（舍）．
②当BE为对角线时，BF//EM，此时M在E正上方，Mt(t，)，
∵ME=BF，
∴−8＝2t，t2+4t-12=0，
解得t1=2，t2=-6（舍）．
③EF为对角线时，明显，点M不在双曲线上．
故综上：t=2或5−．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
16．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）D点坐标为，M点坐标为；（2）a=12，反比例函数解析式为：；（3）Q点坐标为或或或.
【分析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，求出AH和DH的长，即可求出D点坐标，再根据M为BC中点，求出M的坐标即可；
（2）写出平移后，的坐标，再根据，都在反比例函数上，建立方程求出即可；
（3）设P点坐标为，分别讨论①当∠90°时，②当∠90°时，③当∠90°时，建立方程解出m，从而求出Q点坐标.
【详解】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，
∵AD=8，∠DAB=60°，
∴AH=4，DH=，
∵AB=6，点B的坐标为（-6，0），
∴H点坐标为（-8,0），
∴D点坐标为，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴C点坐标为，
∵M为BC中点，
∴M点坐标为；
（2）将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，
∴的坐标为，的坐标为，
∵，都在反比例函数图像上，
∴把，代入反比例函数中，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为：；
（3）过点M，作直线l，
则直线l的解析式为：，
∴设P点坐标为，
由（2）知，
的坐标为（6，0），
的坐标为，
则，
，
，
若以，P，Q为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：
①当∠90°时，
则，即，
解得：m=16，
则P点坐标为，
则Q点坐标为；
②当∠90°时，
则，即，
解得：m=0，
则P点坐标为，
则Q点坐标为；
③当∠90°时，
则，即，
解得： ，
则P点坐标为或，
则对应的Q点坐标为或；
综上，Q点坐标为或或或.
【点睛】本题是对反比例函数和几何知识的综合考查，熟练掌握反比例函数及矩形的性质定理是解决本题的关键.
17．如图，在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、BC边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落往y轴上的点C处，点B落在点B'处．
(1) 求D、E两点的坐标；
(2) 反比例函数y =(k >0) 在第一象限的图像经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图像上? 并说明理由；
(3) 点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的AB边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标．(直接写出答案)
【答案】（1）E（10，8）（2）不在；（3）G1（20，13）、G2（12，-3）、G3（0，3）
【详解】试题分析：（1）设OD=m，则CD=DA=16-m，在Rt△COD中，由勾股定理可得m=6，即可得D的坐标，再根据矩形的性质，可得CE=CD=10，可得E的坐标；
（2）过B′作B′M⊥BC于M，易得B′M与CM的长，进而可得k的值，根据题意，可得答案；
（3）根据题意，分三种情况讨论，可得在平面直角坐标系中存在G1、G2、G3的坐标，进而可得答案．
试题解析：（1）OA=16，OC=8，
设OD=m，则CD=DA=16-m
在Rt△COD中，∠COD=90°
∵CD2=OC2+OD2
∴（16-m）2=82+m2
解得m=6，
∴D（6，0）
∵四边形OABC是矩形
∴OA∥CB
∴∠CED=∠EDA
∵∠EDA=∠CDE
∴∠CED=∠CDE
∴CE=CD=10，E（10，8）
（2）如图，过B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8，B′E=BE=6，∠CB′E=90°
∴B′M=，B′（6.4，12.8）
∵k=10×8=80，y＝
又∵6.4×12.8≠80
∴点B′不在这个反比例函数的图象上
（3）当x=16时，y=5
∴F（16，5）
有三种情况如图：
①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位，端点E落在G1处，G1（20，13）；
②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位，端点F落在G2处，G2（12，-3）；
③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位，端点D落在G3处，G3（0，3）．
综上所述，在平面直角坐标系中存在G1（20，13）、G2（12，-3）、G3（0，3）使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
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