苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题38反比例函数图象研究之进阶(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题38反比例函数图象研究之进阶(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了问题，有这样一个问题，[探究函数的图象与性质]等内容，欢迎下载使用。

1．（2022秋·山东威海·九年级校考阶段练习）让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表：
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察画出的函数图象，写出：
①y＝5时，对应的自变量x值约为 ；
②函数y＝的一条性质： ．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）小聪在学习过程中遇到了一个函数，小聪根据学习反比例函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．
(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式的解集为 ．
3．（2022·湖北襄阳·统考一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即 ：
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)函数y＝的图象经过 的变化或得到y＝的图，这是因为 ．
4．（2021·河南·九年级专题练习）数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 ，m= ．
（2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；
（4）进一步探究该函数的图象发现：
①方程x+=3有 个实数根；
②若关于x的方程x+=t有2个实数根，则t的取值范围是 ．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
6．（2021春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期末）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
【应用】
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
7．（2021·河南焦作·统考一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究
下面是小航探究的过程．请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是___________．
（2）下表是与的几组对应值
则的值为_________．
（3）如图所示在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质：________；
（5）若函数的图象上有三个点，且，则之间的大小关系为________．
8．（2021·湖北襄阳·统考二模）某班“数学兴趣小组”对函数y=，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．请直接写出m，n的值：m= ；n= ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数y=（k＞0）的图象形状相同，是中心对称图形，且点（﹣1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的坐标为 ．
（5）当2≤x≤4时，关于x的方程kx+=有实数解，求k的取值范围．
9．[探究函数的图象与性质]
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵
∴ ．
∵，∴ ．
[拓展运用]
(4)若函数，则y的取值范围 ．
10．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）我们知道，函数（，，）的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数（，，）的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
理解应用
函数的图象可由函数的图象向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
11．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
则m的值为 ；
(3)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；
②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解 ；
②写出不等式-|x|≤1的解集 ．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
(1)绘制函数图象
①列表：下面是x与y的几组对应值，其中______．
②描点：根据表中的数据描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
(2)探究函数性质
按要求填写函数性质：
①对称性：______．
②最值：时，此函数有最______值（填大或小）
③增减性：若y随x增大而减小，则x的值范围是______．
(3)函数图象和性质的运用
已知矩形ABCD一边的长为x，面积为1，相邻两边之和为y，当______时 ，y有值最小．
14．（2022春·全国·九年级专题练习）商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武大臣官服供应．已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长a米，另一边加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝－2，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝－2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
(1)类比反比例函数可知，函数y＝－2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取值范围是________．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|－2|的图象和性质，请根据函数y＝－2的图象（图2），画出函数y＝|－2|的图象；
(3)根据函数y＝|－2|的图象，写出两条函数的性质；
(4)根据函数y＝|－2|的图象解答下列问题：
①方程|－2|＝0有________个解，该方程的解是________；
②如果方程|－2|＝a有两个不相等解，则a的取值范围是________．
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1.5
﹣1
1
1.5
2
4
6
…
y
…
1
1.5
3

6
6
4

1.5
1
…
x
…
－1
0
1
3
4
5
…
y
…
－1
－2
2
▲
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-
-
1
2
3
…
y
…
-
m
﹣2
-
-
2

…
x
…
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
a
2
3
6
﹣6
﹣3
b
﹣3
﹣6
6
3
2
…
…
0
2
3
4
5
6
…
…
0
4
2
…
x
…
﹣2
﹣1
0
n
2
3
4
…
y
…
m
0
﹣1
﹣3
5
3
2
…
x
…
0
1
3
4
5
6
…
y
…
0
m
…
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
…
-4
-2
-1
1
2
4
…
…
-2
…
专题38 反比例函数图象研究之进阶
1．（2022秋·山东威海·九年级校考阶段练习）让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表：
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察画出的函数图象，写出：
①y＝5时，对应的自变量x值约为 ；
②函数y＝的一条性质： ．
【答案】（1），4，3；（2）图象见解析；（3）①或．（只要不超过范围都可估计）；②图象关于轴对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，答案不唯一，合理即可．
【分析】（1）分母不为0，将，分别代入函数解析式求出；
（2）用平滑的曲线连接成图象；
（3）①结合（1）中表格数据和函数图象进行估计；
②可以从对称性、增减性等方面入手分析，合理即可．
【详解】解：（1）分母不为0，
，
自变量的取值范围为，
当时，，当时，．
故答案为：，4，3．
（2）用平滑的曲线连接即可，如右图所示．
（3）①由图可知，时，，时，，
时，或，
时，自变量的值约为或．（只要不超过范围都可估计）
②图象关于轴对称，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
答案不唯一，合理即可
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是画图时要按照“列表描点连线”的顺序进行．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）小聪在学习过程中遇到了一个函数，小聪根据学习反比例函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．
(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式的解集为 ．
【答案】(1)见详解
(2)向下平移2个单位长度
(3)或
【分析】（1）根据画函数图像的步骤画出图像即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可；
（3）根据反比例函数的图像与性质，结合画出的函数图像即可得出结论．
【详解】（1）解：画出函数图像如下：
（2）解：该函数图像可以看成是由的图像平移得到的，其平移方式为向下平移2个单位长度．
故答案为：向下平移2个单位长度；
（3）解：由图像可得，不等式的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】本题只要考查了反比例函数的知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·统考一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即 ：
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)函数y＝的图象经过 的变化或得到y＝的图，这是因为 ．
【答案】(1)1，见解析
(2)①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小；
(3)向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x
【分析】（1）先求出空余部分的值，再画图像：①在坐标系中描出各点；②把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；
（2）根据图象，数形结合即可写出两条性质；
（3）观察图象即可求得．
（1）
解：将x=3代入y＝得：y=1，表中空余部分的值为1；
连线正确画出图形（如图所示）
（2）
其性质有：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小；
故答案为：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的增大而减小；
（3）
函数y=的图象向右平移2个单位即得函数 图象；
这是因为在函数，把“x－2”视作一个整体“x”就可以了.
故答案为：向右平移2个单位；在函数中，把x－2视作一个整体x．
【点睛】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
4．（2021·河南·九年级专题练习）数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 ，m= ．
（2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；
（4）进一步探究该函数的图象发现：
①方程x+=3有 个实数根；
②若关于x的方程x+=t有2个实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）x≠0；﹣；（2）见解析；（3）①函数图象关于原点中心对称；②当x＞1时，y的值随x值的增大而增大．（4）①2；②t＜﹣2或t＞2．
【分析】（1）由分母不能为零，可得出自变量x的取值范围；将x=-2代入解析式即可求得m的值；
（2）描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据函数的图像，得到写出相应的两条性质即可；
（4）①根据题意知方程的解，即为函数的图像与y=3的交点的个数；
②根据图像的的位置，得到函数有两个交点的t的取值范围.
【详解】（1）∵x在分母上，∴x≠0．
当x=﹣2时，m=y=﹣2+=﹣．
故答案为x≠0；﹣；
（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示．
（3）观察函数图象，可找出函数性质：
①函数图象关于原点中心对称；②当x＞1时，y的值随x值的增大而增大．
（4）①方程x+=3可看成函数y=x+的图象与直线y=3的交点的个数，
∵函数y=x+的图象与直线y=3有两个交点，
∴方程x+=3有2个实数根．
故答案为2．
②观察函数图象可知，当t＜﹣2或t＞2时，函数y=x+的图象与直线y=t有两个交点．
故答案为t＜﹣2或t＞2．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个解
【分析】（1）画出函数的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：如图①所示即为所求．
（2）解：将y＝的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝－3的图像．
（3）解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．
（4）解：方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程有一个解．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，正确画出函数图像是解答本题的关键．
6．（2021春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期末）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
【应用】
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
【答案】（1）函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为(0，﹣2)；（2）①，﹣2；②见解析；③见解析；（3）0；（4）x＜﹣3或x＝0或x＞3
【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
（2）通过列表、描点和连线化函数图象；
（3）观察函数图象得到函数的图象关于轴对称，而点与点关于轴对称，所以与互为相反数；
（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于所对应的自变量的值或取值范围．
【详解】解：探索：（1）由数想形：函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为，
故答案为函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
（2）描点画图：
①列表：把代入得，，
，
把入得，，
，
故答案为，；
②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象补充完整如图．
应用：
（3）函数的图象关于轴对称，
而点，为该函数图象上两对称点，
所以；
故答案为0；
（4）由图象可知，当时，的取值范围为或或，
故答案为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键．
7．（2021·河南焦作·统考一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究
下面是小航探究的过程．请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是___________．
（2）下表是与的几组对应值
则的值为_________．
（3）如图所示在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质：________；
（5）若函数的图象上有三个点，且，则之间的大小关系为________．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）当时，随增大而减小（答案不唯一）；（5）
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x＝5代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象即可求解；
（5）按照在图像上的位置，标记出的位置即可比较大小．
【详解】（1）的分母不能为0
∴，解得
故答案为：
（2）x=5时，
故答案为：
（3）如图所示
（4）当时，随增大而减小．
当时，随增大而减小
它的图象关于成中心对称（答出一条合理即可）
（5）根据函数图象发现：当时，随增大而减小；当时，随增大而减小，且x＜1时y的值永远比x＞1的时y的值小
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图像等知识，解题的关键是理解题意，学会用图像法解决问题．
8．（2021·湖北襄阳·统考二模）某班“数学兴趣小组”对函数y=，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．请直接写出m，n的值：m= ；n= ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数y=（k＞0）的图象形状相同，是中心对称图形，且点（﹣1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的坐标为 ．
（5）当2≤x≤4时，关于x的方程kx+=有实数解，求k的取值范围．
【答案】（1）x≠1；（2）；；（3）见解析；（4）（1，1）；（5）≤k≤．
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可解答；
（2）当x=﹣1求出对应函数值，当y=3时求出对应x的值即可；
（3）利用描点法画出函数图象即可；
（4）根据函数的图像和对称中心的概念即可解答；
（5）根据两函数图像的交点情况即可解答．
【详解】解：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≠1．
故答案为x≠1．
（2）x=﹣1时，y=，
∴m=．
当y=3时，则3=，解得x=，
∴n=，
故答案为，；
（3）函数图像如图所示：
（4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称，
故答案为（1，1）；
（5）当2≤x≤4时，函数y=中，≤y≤2，
把x=4，y=代入函数y=kx+得，=4k+，解得k=，
把x=2，y=2代入函数y=kx+得2=2k+，解得k=，
∴关于x的方程kx+=有实数解，k的取值范围是≤k≤．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的性质、中心对称以及运用函数图像解不等式，掌握反比例函数的性质和数形结合思想是解答本题的关键．
9．[探究函数的图象与性质]
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵
∴ ．
∵，∴ ．
[拓展运用]
(4)若函数，则y的取值范围 ．
【答案】(1)
(2)C
(3)4，4
(4)或
【分析】（1）分母上由未知数，根据分母不为零，求出取值范围即可；
（2）根据中以及反比例函数的性质，，图象过一、三象限，进行判断即可．
（3）根据配方法进行作答即可；
（4）分和两种情况，利用（3）中的方法进行配方求解即可．
【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵中以及反比例函数的性质，，图象过一、三象限可得：函数的图象大致是C；
故答案为：C；
（3）解：∵
∴．
∵，
∴．
故答案为：4，4
（4）①当时，
∵，
∴．
②当时，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟记函数的性质，准确理解和掌握题目中给出的求函数值的取值范围是解题的关键．
10．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）我们知道，函数（，，）的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数（，，）的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
理解应用
函数的图象可由函数的图象向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
【答案】理解应用：1，1，；灵活应用：图形见详解,当时，；实际应用：当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【详解】解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数
的图象可由函数的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案是：1，1，
灵活应用：将的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数的图象，其对称中心是．图象如图所示：
由，得，解得x=-2
由图可知，当时，
实际应用：
解：当时，，
则由，解得：，
即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点在函数的图象上，
则，解得：，
∴，
当，解得：，
即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
【点睛】本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
11．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
则m的值为 ；
(3)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；
②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)①；②
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将代入函数解析式中求出值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
故答案为：；
（2）当时，，
故答案为；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是．
故答案为；
②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解 ；
②写出不等式-|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
(2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一）
(3)①或；②或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
(1)绘制函数图象
①列表：下面是x与y的几组对应值，其中______．
②描点：根据表中的数据描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
(2)探究函数性质
按要求填写函数性质：
①对称性：______．
②最值：时，此函数有最______值（填大或小）
③增减性：若y随x增大而减小，则x的值范围是______．
(3)函数图象和性质的运用
已知矩形ABCD一边的长为x，面积为1，相邻两边之和为y，当______时 ，y有值最小．
【答案】(1)①；②描点见解析；③画图见解析；
(2)①函数的图象关于原点成中心对称；②大；③或．
(3)
【分析】（1）①把代入函数解析式进行计算即可；②直接在坐标系内描点即可，③利用平滑的曲线连第一象限接各点即可，
（2）①根据函数的图象可得答案；②根据函数在第二象限的图象可得答案；③根据函数的图象可得或时，y随x增大而减小；
（3）先表示矩形的另外一边，再得到函数关系式为，再结合（1）（2）可得答案．
【详解】（1）解：①当时，
②描点如图，
③利用平滑的曲线连接各点如下图，
（2）解：①对称性：函数的图象关于原点成中心对称；
②最值：时，此函数有最大值；
③增减性：若y随x增大而减小，则x的值范围是或．
（3）解： 矩形ABCD一边的长为x，面积为1，
矩形的另一边为，

由（1）得：当时，当时，函数的最小值为
【点睛】本题考查的是画函数的图象，根据函数的图象总结函数的性质，以及利用函数的图象解决问题，掌握“画函数图象的基本步骤”是解本题的关键．
14．（2022春·全国·九年级专题练习）商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武大臣官服供应．已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长a米，另一边加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝－2，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝－2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
(1)类比反比例函数可知，函数y＝－2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取值范围是________．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|－2|的图象和性质，请根据函数y＝－2的图象（图2），画出函数y＝|－2|的图象；
(3)根据函数y＝|－2|的图象，写出两条函数的性质；
(4)根据函数y＝|－2|的图象解答下列问题：
①方程|－2|＝0有________个解，该方程的解是________；
②如果方程|－2|＝a有两个不相等解，则a的取值范围是________．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)①函数有最小值，最小值为0；②当时，随的增大而增大
(4)①1，；②a＞0且a≠2
【分析】（1）根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据≠0，确定y的值即可；
（2）描点法作出函数图象；
（3）根据函数的图象，可得结论；
（4）①根据函数图象即可求解；②根据函数图象以及y的取值范围分析求解．
【详解】（1）解:根据分式有意义的条件得，，
所以x的取值范围为:；因为,所以,
因此的取值范围为:,
故答案为:；．
（2）由绝对值定义,将函数y＝﹣2的图像在轴下方的部分，
沿轴向上翻折即可得到y＝|﹣2|的图象,如图，
（3）观察函数图象可知:①函数有最小值,最小值为0； ②当时,随的增大而增大．
（4）①根据函数图象可知，|－2|=0与轴有1个交点，交点坐标为，
∴方程|－2|＝0有1个解，该方程的解是；
②故函数图象可得，如果方程|－2|＝a有两个不相等解，
由（1）可知，则，
则a的取值范围是a＞0且a≠2．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，函数图象等知识，解题的关键是正确画出函数图象，学会利用图象法解决问题．
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1.5
﹣1
1
1.5
2
4
6
…
y
…
1
1.5
3

6
6
4

1.5
1
…
x
…
－1
0
1
3
4
5
…
y
…
－1
－2
2
▲
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-
-
1
2
3
…
y
…
-
m
﹣2
-
-
2

…
x
…
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
a
2
3
6
﹣6
﹣3
b
﹣3
﹣6
6
3
2
…
…
0
2
3
4
5
6
…
…
0
4
2
…
x
…
﹣2
﹣1
0
n
2
3
4
…
y
…
m
0
﹣1
﹣3
5
3
2
…
x
…
0
1
3
4
5
6
…
y
…
0
m
…
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
…
-4
-2
-1
1
2
4
…
…
-2
…