2022-2023学年安徽省亳州市利辛一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省亳州市利辛一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx+csx≥3”的否定为( )
A. ∀x∈(0,+∞)，lnx+csx≤3B. ∀x∈(0,+∞)，lnx+csx<3
C. ∃x∈(0,+∞)，lnx+csx≤3D. ∃x∈(0,+∞)，lnx+csx<3
2.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M−2,7，则csα=( )
A. −27B. −72C. 7 5353D. −2 5353
3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)⋅f(x+2)=12，若f(4)=3，则f(2022)=( )
A. 3B. 4C. −3D. −4
4.2lg4 27−lg843+lg 107 5=( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
5.“函数f(x)=sin(3x−2φ)是偶函数”是“φ=π4”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知a=e0.7，b=ln2.3，c=lg0.85，则a，b，c的大小关系为( )
A. c7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，其中A(π12,1)、B(5π12,−1)，则ω和φ的值分别为( )
A. ω=3,φ=−π12B. ω=3,φ=7π12
C. ω=3,φ=−π12或7π12D. ω=32,φ=−π12或7π12
8.已知函数f(x)=|4−x−1|,x≤1x2−4x+72,x>1，若g(x)=f(x)+m(m≠0)有3个零点，则实数m的取值范围为( )
A. (0,12]B. (0,12)C. [−34,−12]D. (−34,−12)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b∈R，则使得“a>b”成立的一个充分不必要条件可以是( )
A. a>b+2B. a+2>bC. 1 a>1 bD. 1 a<1 b
10.已知函数f(x)=5x−6x+3，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=−3对称B. 函数f(x)的图象关于点(3,5)中心对称
C. 函数f(x)在(1,3)上单调递增D. 函数f(x)的值域为(−∞,5)∪(5,+∞)
11.已知正数m，n满足m+n=6，则下列说法正确的是( )
A. m2+n2≥18B. lg3m+lg3n≤2
C. 1m+1n≥23D. m(n+3)≤20
12.已知函数f(x)=sinx+ 3csx+|sinx− 3csx|，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的一个周期为πB. 函数f(x)图象不关于y轴对称
C. 函数f(x)在[5π2,3π]上单调递减D. 函数f(x)的值域为[− 3,2 3]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={1,3,5,6,8}，B={2,3,4,6}，则图中阴影部分表示的集合为 ．
14.若tanα=25，则sin(2α−π2)= ．
15.函数f(x)=lg14(6x−5x2)的单调递增区间为 ．
16.已知函数f(x)=−x2+4x+5,x≤310+lgax,x>3，其中a>0且a≠1．
①当a=3时，则函数f(x)的零点为 ；
②若函数f(x)的值域为(−∞,9]，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|(x+4)(x−6)≤0}，B={x|3m−2(1)若m=2，求A∩B和(∁RA)∪B；
(2)当B⊆A时，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知α,β∈(0,π2)，其中cs2α=725,sin(α−β)=−2 25．
(1)求cs(α−π4)的值；
(2)求sinβ的值．
19.(本小题12分)
某公司生产一种儿童玩具，每年的玩具起步生产量为1万件；经过市场调研，生产该玩具需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投人流动成本Wx万元，在年产量不足6万件时，Wx=12lg2x2−2lg2x−10+8x；在年产量不小于6万件时，Wx=9x+81x−42.每件玩具售价8元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完．
(1)写出年利润Px(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入−固定成本−流动成本)
(2)年产量为多少万件时，该公司这款玩具的生产中所获利闹最大？最大利润是多少
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs2x−1+2sinxcsx．
(1)在下列坐标系中，作出函数f(x)在[−π8,7π8]上的大致图象；
(2)将函数f(x)图象的横坐标伸长为原来的3倍后，再向左平移π2个单位，得到函数h(x)的图象，求函数h(x)在[0,π2]上的值域．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=mx2+3x．
(1)若m=2，求证：函数f(x)在(3,5)上单调递增；
(2)若关于x的不等式2f(x)≥8m+3在[−4,−3]上恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg4(22x+1+1)．
(1)求函数n(x)= f(x)−2的定义域；
(2)若关于x的方程2f(x)=x+1−4m在[−2,3]上有两个实数根，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．
【解答】
解：命题是存在量词命题，则否定是全称量词命题，
故题干命题的否定为∀x∈(0,+∞)，lnx+csx<3，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
由已知直接利用任意角的三角函数的定义求解．
【解答】
解：∵角α的终边过点M(−2,7)，
∴|OM|= (−2)2+72= 53，
则csα=−2 53=−2 5353．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的性质以及函数值的求解，属于基础题．
根据已知条件构造新等式，得到f(x+4)=f(x)，进而求解结论．
【解答】
解：∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)⋅f(x+2)=12，
∴f(x+2)⋅f(x+4)=12，
∴f(x+4)=f(x)，
∴f(2022)=f(4×505+2)=f(2)，
∵f(2)⋅f(4)=12⇒f(2)=4，
故f(2022)=4，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
进行对数的运算即可．
【解答】
解：2lg4 27−lg843+lg 107 5=lg3249−lg16+lg(49×5)=lg32×49×549×16=1．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用偶函数的定义求出φ的值是解决本题的关键，是基础题．
根据f(x)是偶函数求出φ的值，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若函数f(x)=sin(3x−2φ)为偶函数，
则2φ=π2+kπ(k∈Z)，则φ=π4+kπ2(k∈Z)，
故“函数f(x)=sin(3x−2φ)是偶函数”是“φ=π4”的必要不充分条件，
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
解：依题意，a=e0.7∈(1,+∞)，b=ln2.3∈(0,1)，c=lg0.85∈(−∞,0)，
故c故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，求得ω和φ的值．
【解答】
解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象，A(π12,1)、B(5π12,−1)，
可得点A、点B关于点(π4,0)对称，
∴5π12−π12=12⋅2πω，∴ω=3，故函数f(x)=2sin(3x+φ)．
把点A的坐标代入，可得2sin(3×π12+φ)=1，
∴sin(π4+φ)=12．
故π4+φ=π6+2kπ，k∈Z，(点A在递增图象上，故π4+φ=5π6+2kπ，k∈Z不成立)，
结合|φ|<π，∴φ=−π12，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键，是中档题．
根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：由g(x)=f(x)+m=0得f(x)=−m，
作出函数f(x)的图象如图：
当x=1时，f(1)=|14−1|=34，
当x=1时，x2−4x+72=1−4+72=12，
由图象知，要使y=f(x)与y=−m有3个交点，
则12≤−m≤34或−m=0，
得−34≤m≤−12或m=0(舍)，
综上实数m的取值范围是[−34,−12]，
故选：C．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查充分不必要条件的应用，利用不等式性质判断不等关系，是较易题．
根据充分不必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】
解：∵a>b+2>b，反之不成立，
∴“a>b+2”是“a>b”成立的一个充分不必要条件，故A正确；
若a+2>b，则无法推出a>b，故B错误；
由1 a>1 b，得 a< b，得0b，故C错误;
由1 a<1 b，得 a> b，得a>b>0，则能推出a>b，反之不成立，故D正确．
故选AD．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查命题真假的判断，考查函数的对称性、单调性和值域，考查逻辑推理能力，属于基础题．
由f(x)=5−21x+3逐项判断可得答案．
【解答】
解：依题意，f(x)=5x−6x+3=5x+15−21x+3=5−21x+3，
故函数f(x)的图象关于点(−3,5)中心对称，故A错误，B错误；
因为函数f(x)在(−∞,−3)，(−3,+∞)上单调递增，故C正确；
因为21x+3≠0，所以5−21x+3≠5，故函数f(x)的值域为(−∞,5)∪(5,+∞)，故D正确．
故选：CD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式及相关结论在求解最值中的应用，结论的灵活应用是求解问题的关键，属于基础题．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：由m>0，n>0，得6=m+n≥2 mn，解得mn≤9，当且仅当m=n=3时等号成立，
因为m2+n2=(m+n)2−2mn=36−2mn，
所以m2+n2≥18，当且仅当m=n=3时等号成立，故选项A正确；
由mn≤9，得lg3m+lg3n=lg3(mn)≤2，
当且仅当m=n=3时等号成立，故选项B正确；
由mn≤9，得1m+1n≥2 1mn≥23，
当且仅当1m=1n，即m=n=3时等号成立，故选项C正确；
由m+n=6，得m=6−n，所以m(n+3)=(6−n)(n+3)
=−n2+3n+18=−(n−32)2+814
又n>0，所以当n=32时，m(n+3)有最大值814，即m(n+3)≤814，故选项D不正确
故选：ABC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查命题真假的判断，考查三角函数的周期性与对称性，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于较难题．
计算f(x+π)≠f(x)即可判断A；计算f(−x)≠f(x)即可判断B；去绝对值，求出f(x)的解析式，求出f(x)的最小正周期，作出大致图象，即可判断CD．
【解答】
解：因为f(x+π)=sin(x+π)+ 3cs(x+π)+|sin(x+π)− 3cs(x+π)|
=−sinx− 3csx+|sinx− 3csx|≠f(x)，故A错误；
因为f(−x)=sin(−x)+ 3cs(−x)+|sin(−x)− 3cs(−x)|
=−sinx+ 3csx+|sinx+ 3csx|≠f(x)，
故f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B正确；
当x∈[π3,4π3]时，sinx≥ 3csx，则f(x)=2sinx，
当∈[4π3,7π3]时，sinx≤ 3csx，则f(x)=2 3csx，
而f(x+2π)=f(x)，故函数f(x)的最小正周期为2π，
作出函数f(x)的大致图象如图所示，
观察可知C，D均正确．
故选：BCD．
13.【答案】{1,5,8}
【解析】【分析】
本题主要考查利用Venn图表示集合的方法以及集合的运算，比较基础．
由Venn图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，由Venn图与集合之间的关系易得答案．
【解答】
解：由Venn图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，
即阴影部分的元素属于A且不属于B，
又集合A={1,3,5,6,8}，B={2,3,4,6}，
所以阴影部分表示的集合为{1,5,8}．
故答案为：{1,5,8}．
14.【答案】−2129
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式和二倍角公式应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
根据诱导公式和二倍角公式计算即可．
【解答】
解：因为tanα=25，
所以sin(2α−π2)=−cs2α
=−cs2α−sin2αsin2α+cs2α=−1−tan2αtan2α+1=−1−425425+1=−2129．
故答案为：−2129．
15.【答案】(35,65)(或[35,65))
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数单调性的应用，涉及二次函数与对数函数的单调性，是常规题．
根据复合函数单调性的法则进行求解即可．
【解答】
解：令6x−5x2>0，得0而y=6x−5x2的单调递增区间为(0,35)，单调递减区间为(35,65)，
故函数f(x)=lg14(6x−5x2)的单调递增区间为(35,65)．
故答案为(35,65)(或[35,65)).
16.【答案】−1
[13,1)

【解析】【分析】
本题考查了分段函数的零点与值域问题，属于中档题．
①当a=3时，分两段，令f(x)=0解出x的值即可；
②先求出第一段的值域，函数f(x)的值域为(−∞,9]，列出不等式组即可求出答案．
【解答】
解：①若a=3，则f(x)=−x2+4x+5,x≤310+lg3x,x>3，
可知，当x>3时，f(x)=10+lg3x>11>0；
当x≤3时，令f(x)=−x2+4x+5=0，解得x=−1，
故函数f(x)的零点为x=−1，
综上所述，当a=3时，则函数f(x)的零点为−1；
②当x≤3时，f(x)=−x2+4x+5=−(x−2)2+9≤9，
故显然有0解得13≤a<1，
故实数a的取值范围为[13,1)．
故答案为：−1；[13,1)．
17.【答案】解：(1)依题意，A={x|(x+4)(x−6)≤0}={x|−4≤x≤6}，
而m=2，B={x|3m−2故A∩B={x|4而∁RA={x|x<−4或x>6}，
故(∁RA)∪B={x|x<−4或x>4}；
(2)①当B=⌀时，3m−2≥2m+3，解得m≥5，符合题意，
②当B≠⌀时，m<53m−2≥−42m+3≤6，解得−23≤m≤32，
综上所述，实数m的取值范围为[−23,32]∪[5,+∞)．
【解析】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)求出集合A，B，进而求出∁RA，由此能求出A∩B和(∁RA)∪B；
(2)当B=⌀时，3m−2≥2m+3，当B≠⌀时，m<53m−2≥−42m+3≤6，由此能求出实数m的取值范围．
18.【答案】解：(1)依题意，cs2α=2cs2α−1=1−2sin2α=725，
因为α∈(0,π2)，解得sinα=35,csα=45，
故cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=45× 22+35× 22=7 210；
(2)因为sin(α−β)=−2 25，且α,β∈(0,π2)，
故α−β∈(−π2,0)，则cs(α−β)= 1−sin2(α−β)= 175，
故sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=35× 175−45×(−2 25)=3 17+8 225．
【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数，二倍角的余弦公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
(1)利用二倍角的余弦公式分别求出sinα和csα，再利用两角差的余弦公式求解cs(α−π4)的值；
(2)由同角三角函数的基本关系求出cs(α−β)，由β=α−(α−β)，利用两角差的正弦公式即可求解sinβ的值．
19.【答案】解：(1)因为每件玩具售价为8元，则x万件玩具销售收入为8x万元，
当1≤x<6时，P(x)=8x−12(lg2x)2+2lg2x+10−8x−2=−12(lg2x)2+2lg2x+8，
当x≥6时，P(x)=8x−(9x+81x−42)−2=40−(x+81x)，
故P(x)=−12(lg2x)2+2lg2x+8,1≤x<640−(x+81x),x≥6．
(2)当1≤x<6时，P(x)=−12(lg2x)2+2lg2x+8=−12(lg2x−2)2+10，
当x=4时，P(x)取最大值，最大值为10万元，
当x≥6，P(x)=40−(x+81x)≤40−2 x⋅81x=22，
当且仅当x=81x，即x=9时，等号成立，
故当x=9时，P(x)取得最大值，最大值为22万元．
因为10<22，
所以当年产量为9万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，最大利润为22万元．
【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
(1)根据已知条件，结合年利润=年销售收入−固定成本−流动成本的公式，分1≤x<6，x≥6两种情况讨论，即可求解．
(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
20.【答案】解：(1)依题意，f(x)=cs2x+sin2x= 2sin(2x+π4)，
列表如下：
作出函数f(x)在[−π8,7π8]上的大致图象如下所示：

(2)将函数f(x)图象的横坐标伸长为原来的3倍后，得到y= 2sin(23x+π4)，
再向左平移π2个单位，得到h(x)= 2sin[23(x+π2)+π4]= 2sin(23x+π12+π2)= 2cs(23x+π12)，
当x∈[0,π2]时，23x∈[0,π3]，
故23x+π12∈[π12,5π12]，
而csπ12= 6+ 24，cs5π12= 6− 24，
则cs(23x+π12)∈[ 6− 24, 6+ 24]，
故函数h(x)在[0,π2]上的值域为[ 3−12, 3+12]．
【解析】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．
(1)化简f(x)，列表，描点，连线可得函数图象；
(2)首先求得h(x)的解析式，根据三角函数的值域可求得结果．
21.【答案】证明：(1)依题意，f(x)=2x2+3x，设3则f(x1)−f(x2)=2x12+3x1−2x22−3x2=2(x1+x2)(x1−x2)−3(x1−x2)x1x2=(x1−x2)[2(x1+x2)−3x1x2]，
因为30，
故f(x1)−f(x2)<0，
故函数f(x)在(3,5)上单调递增；
解：(2)依题意，2f(x)≥8m+3⇔2mx2+6x≥8m+3⇔2mx2−8m+6x−3≥0，
所以2m(x−2)(x+2)−3x(x−2)≥0，
因为x∈[−4,−3]，故x−2<0,x+2<0；2m(x+2)−3x≤0，则2m≥3x(x+2)，
若x∈[−4,−3]，则y=x(x+2)∈[3,8]，则3x(x+2)∈[38,1]，
故2m≥1，解得m≥12，
故实数m的取值范围为[12,+∞)．
【解析】本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数单调性的定义和参变量分离法的应用，同时考查了转化能力和运算求解能力，属于中档题．
(1)利用单调性的定义证明即可；
(2)由于x∈[−4,−3]，所以将问题转化为2m≥3x(x+2)恒成立，然后求出3x(x+2)的最大值即可．
22.【答案】解：(1)依题意，n(x)= lg4(22x+1+1)−2，
故lg4(22x+1+1)−2≥0，
则22x+1+1≥16，则22x+1≥15，则2x+1≥lg215，故x≥12lg2152，
而22x+1+1>1>0恒成立，
故函数n(x)的定义域为[12lg2152,+∞)；
(2)依题意，2f(x)=x+1−4m，故lg4(22x+1+1)−x+12=−2m，
令g(x)=lg4(22x+1+1)−x+12=lg4(22x+1+1)−lg42x+1=lg4(2x+12x+1)，
令2x=t，因为x∈[−2,3]，故t∈[14,8]，故2x+12x+1=t+12t=h(t)，
因为t+12t≥2 t⋅12t= 2，当且仅当t=12t，即t= 22时等号成立，
而h(14)=94,h(8)=12916，故lg4 2<−2m≤lg494，
即14<−2m≤lg49−1，即12−lg43≤m<−18，
即实数m的取值范围为[12−lg43,−18)(写成[14−14lg292,−18)亦可)．
【解析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想，构造法的应用，属于中档题．
(1)lg4(22x+1+1)−2≥0，求解可得定义域为[12lg2152,+∞)；
(2)lg4(22x+1+1)−x+12=−2m，令g(x)=lg4(22x+1+1)−x+12=lg4(2x+12x+1)，令2x=t，2x+12x+1=t+12t=h(t)，可求实数m的取值范围．x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
f(x)
0
2
0
− 2
0