北师大版七年级数学下册4.1.4三角形的高线练习

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4.1.4 三角形的高线 一、单选题 1．下列说法中：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，其中说法正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点D是等腰Rt△ABC的边BC上的一点，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，若AE＝2，则S△AEC的值是（ ）  A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ） A．AD B．BE C．BF D．CF 6．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面积为10，则在△ABC中AB边上的高为 ___． 8．在中，，BD是AC边上的高，且，则______． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有 ___． ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB． 10．如图在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，则∠C的度数是 __________°． 三、解答题 11．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 12．在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠AOB的度数． 13．如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 参考答案 1．B 【分析】 根据三角形的高线、中线、角平分线的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】 解：（1）三角形的角平分线、中线、高都是线段，正确；（2）直角三角形有三条高，故本小题错误；（3）三角形的中线一定在三角形的内部，一定不在三角形外部，故本小题错误；（4）锐角三角形的高都在三角形内部，直角三角形的三条高有两条是直角边，钝角三角形有两条在三角形的外部，说法正确．说法正确的有2个．故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，注意三角形的高要根据三角形的类型而确定． 2．B 【分析】 作EH⊥BC于点H，根据角平分线的性质得出EH=DE，最后根据三角形的面积公式进行求解． 【详解】 解：如图，作EH⊥BC于点H， ∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高，EH⊥BC，∴EH=DE=3，∴． 故选B． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．B 【分析】 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】 解：线段CE是△ABC的高的是选项B中的图形； 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 4．C 【分析】 过C作CF⊥AD交AD延长线于F，根据等腰Rt△ABC，可得AB=CA，∠BAC=90°，根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠ABE=∠FAC，可证△BAE≌△ACF（AAS），可得AE=CF=2即可． 【详解】 解：过C作CF⊥AD交AD延长线于F， ∵等腰Rt△ABC， ∴AB=CA，∠BAC=90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAC=90°， ∴∠ABE=∠FAC， 在△BAE和△ACF中， ， ∴△BAE≌△ACF（AAS）， ∴AE=CF=2， ∴S△AEC=． 故选择C． 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形面积是解题关键． 5．B 【分析】 三角形一边上的高是指由这边所对的顶点往这边上所作的垂线段，由此分析即可． 【详解】 解：由三角形高的定义可得，AC边上的高为BE， 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形高线的识别，理解三角形高的定义是解题关键． 6．B 【分析】 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】 解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误； B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确； C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误； D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 7．5 【分析】 根据全等三角形的性质可得出△ABC的面积也为10，再利用三角形的面积计算公式即可求解． 【详解】 解：∵△ABC≌△DEF，△DEF面积为10， ∴△ABC的面积也为10， 设△ABC中AB边上的高为h， ∴， 即， ∴， 故答案为：5． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8．60°或120°． 【分析】 分两种情况，首先画出图形，根据三角形高线的定义可得∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理或平角求出∠BAC的度数即可． 【详解】 解：分两种情况： （1）当为锐角三角形时，如图1所示， ∵BD是AC边上的高， ∴， ∴， （2）当为钝角三角形时，如图2所示， ∵，BD⊥CD， ∴， ∴. 综上，∠BAC的度数为60°或120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、平角定义，分情况讨论并作出图形是解题关键，注意不要漏解． 9．①②③ 【分析】 根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④． 【详解】 解：∵BE是△ABC的中线， ∴AE=CE， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确； ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵CF为△ABC的角平分线， ∴∠ACF=∠BCF=∠ACB， ∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD， ∴∠AFC=∠AGF=∠AFG， 故②正确； ∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF，故③正确； 因为CF是∠ACB的角平分线，只有AC=BC时，才能得到AF=FB， 由已知∠BAC=90°，则有AC＜BC，所以AF≠FB 根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键． 10．78 【分析】 根据角平分线，垂直、三角形内角和以及外角的性质，求解即可． 【详解】 解：∵AD是BC边上的高 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∵AE是∠BAC的平分线 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】 此题考查了角平分线，垂直、三角形内角和以及外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 11．（1）60°；（2）20° 【分析】 （1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝30°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 12．∠DAE的度数为 5°；∠AOB的度数为125° 【分析】 根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得∠AOB． 【详解】 解：∠BAC＝50°，∠C＝70°， AE、BF是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， , AD是高线， ， ， ， 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 13．，． 【分析】 根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】 解：是的角平分线，且， ， 是的边上的高，且， ， 由三角形的外角性质得：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．