【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（广东专用）热点02+方程与不等式（13大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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中考数学中《方程与不等式》部分主要考向分为四类：
一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~6道，6~12分）
二、一元二次方程（每年2~4道，6~12分）
三、分式方程（每年2~4题，6~12分）
四、不等式（组）（每年1~4题，3~12分）
方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）一般出在选择题，难度不大，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。
考向一：一元一次方程
【题型1 解一元一次方程问题】
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列是解一元一次方程的步骤：
其中说法错误的是( )
A．①步的依据是乘法分配律B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律D．④步的依据是等式的性质2
3．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 实际问题与一元一次方程】
4．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套．为使每天加工的大、小齿轮刚好配套，设每天加工大齿轮的有x人，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·福建龙岩·统考一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）欧拉是18世纪瑞士著名的数学大师．在他所著的《代数学人门》一书中，有这样一个问题：父亲死后，四个儿子按下述方式分了他的财产：老大拿了财产的一半少3000英镑；老二拿了财产的少1000英镑；老三拿了恰好是财产的；老四拿了财产的加上600英镑．问整个财产有多少？每个儿子分了多少？根据题意下列叙述正确的是（ ）
A．老大分了1000英镑B．老二分了2000英镑
C．老三分了3000英镑D．老四分了4000英镑
考向二：二元一次方程组
【题型3 二元一次方程组的定义与解】
7．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．3B．C．0D．6
9．（2023·浙江温州·校联考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值为（ ）
A．7B．C．10D．15
【题型4 二元一次方程组的实际应用】
10．（2023·广西玉林·统考模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北保定·统考一模）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）比亚迪新能源车销量已驶入全球50多个国家和地区、300多个城市，是首个进入欧、美、日等发达市场的中国汽车品牌．加速新能源车对燃油车的替代，在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统气车都有明显优势，经过对某款电动车和某款燃油车的对比调查发现，电动气车平均每千米的充电费用比燃油车平均每千米的加油费用少0.6元，若抛开其他损耗，电动汽车行驶400千米的充电费用与燃油车行驶100千米的加油费用相同，则这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设电动汽车平均每千米的充电费用是x元，燃油车平均每干米的加油费y元，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
考向三：一元二次方程
【题型5 一元二次方程的定义和解】
13．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根( )
A．B．C．D．
14．（2023·广东河源·一模）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( )
A．B．
C．D．
15．（2023·北京石景山·校考一模）用配方法解方程时，正确的是（ ）
A．B．原方程无解
C．D．原方程无解
【题型6 一元二次方程根的判别式】
16．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个不同实数根B．有两个相同实数根
C．没有实数根D．不能确定
17．（2023·广东中山·统考三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
18．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）小刚在解关于的方程时，只抄对了，发现可以分解为，他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是D．有两个相等的实数根
【题型7 一元二次方程根与系数的关系】
19．（2023·广东阳江·三模）已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
20．（2023·广东河源·统考三模）a、b为两个不等实数，，则的值等于（ ）
A．B．1C．D．2
21．（2023·广东深圳·统考三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型8 一元二次方程的实际应用】
22．（2023·广东江门·统考二模）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023·广东东莞·统考二模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023·广东湛江·统考一模）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
考向三：分式方程
【题型9 分式方程的定义和解】
25．（2023·广东广州·统考模拟预测）把分式方程化为整式方程正确的是( )
A．B．
C．D．
26．（2023·广东·校联考模拟预测）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·广东江门·统考一模）解分式方程：．
【题型10 分式方程的增根问题】
28．（2022·广东广州·广州大学附属中学校联考模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．0
29．（2021·广东江门·统考一模）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
30．（2022·广东佛山·统考一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 ．
【题型11 分式方程应用题】
31．（2023·广东广州·校考一模）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023·广东深圳·校考二模）《义务教育课程方案》发布并实施以来，某校构建德智体美劳全面培养的教育体系，开展“爱劳动，劳动美”活动．甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家8km和12km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前15min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·广东清远·统考二模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
(1)求每套《古今数学思想》的价格；
(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
考向四：一元一次不等式
【题型12 一元一次不等式（组）解】
34．（2023·广东茂名·统考二模）已知点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·广东东莞·校联考一模）关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·广东佛山·校考三模）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式 的解集是（ ）
A．B．C．D．
【题型13 一元一次不等式（组）应用题】
37．（2023·广东深圳·统考二模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A．B．C．D．以上
38．（2019·广东茂名·统考一模）CBA球赛已经开始，某体育用品商店预测某球队的球服能够畅销，就用万元购入了一批球服，上市后很快就脱销，该商店又用万元购入第二批该球队的球服，所购数量是第一批购入数量的2倍，但每套进价多了10 元．如果该商店购入的两批球服售价一样，且要求两批球服全部售完后总利润率不低于，那么每套球服的售价至少是（ ）元．(利润率利润成本)
A．160B．180C．200D．220
39．（2023·广东肇庆·统考三模）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
(1)求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
(2)若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【题型14 含参数类不等式组整数解问题】
40．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．42对B．36对C．30对D．11对
41．（2021·广东梅州·一模）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
42．（2023·广东清远·统考模拟预测）若关于的不等式组无解，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．0C．1D．2
（建议用时：15分钟）
一：单选题
43．（2023·广东佛山·统考一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2023·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
45．（2023·广东肇庆·统考三模）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y（g），则可列出方程组（ ）
A．B．
C．D．
46．（2023·广东佛山·统考一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
47．（2023·广东阳江·统考三模）放学后，小万到学习用品店购买笔记本和中性笔，共花费元，已知笔记本的单价是元，中性笔的单价是元，小万购买中性笔的数量再多两支就是笔记本的两倍，设小万购买笔记本的数量为，则可列方程为( )
A．B．
C．D．
48．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如果关于x的不等式组的解集是，那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．1
二：填空题
49．（2023·广东肇庆·统考三模）不等式组的解集是 ．
50．（2023·广东东莞·三模）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 ．
51．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ．
三：解答题
52．（2023·广东清远·统考三模）解不等式组．
53．（2023·广东茂名·三模）某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件与B种型号服装10件共需要1810元；若购进A种型号服装12件与B种型号服装8件共需要1880元．
(1)A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
(2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于732元，问至少购进B型服装多少件？
54．（2023·广东江门·统考二模）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
（建议用时：20分钟）
一、单选题
55．（2023·广东江门·统考三模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
56．（2023·广东云浮·统考三模）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
57．（2023·广东珠海·校考三模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2022C．2023D．2024
58．（2023·广东深圳·校考三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
59．（2022·广东茂名·统考二模）新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资，某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每人每小时可加工口罩70个，B组工人每人每小时可加工口罩50个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300个，试问：A、B两组工人各多少人？设A组工人有x人，B组工人有y人，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
60．（2023·广东河源·一模）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ．
61．（2023·广东广州·校考二模）已知a是方程的一个实数根，则的值为 ．
62．（2023·广东云浮·统考二模）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ．
三、解答题
63．（2023·广东潮州·二模）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
64．（2023·广东茂名·统考二模）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
65．（2023·广东湛江·统考一模）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3750元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于2460元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？（利润=售价﹣进价）
66．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程的两根为、，则有： ， ．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是，
又∵，，
∴，
∴．
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值．
满分技巧
1．牢记一元一次方程的解法，移项需要变号，注意系数化为1
满分技巧
1、解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下：
步骤
要点
“审”（即审题）
“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；
“设”（即设未知数）
一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量
“列”【即列方程】
找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
“解”【即解方程】
根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现
“验”（即检验）
非题目要求，此步可以不写
检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意
“答”（即写出答案）
最后的综上所述
2、中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可以了。
满分技巧
解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法
不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
满分技巧
二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一次方程来解。
满分技巧
一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。
其中注意事项：
配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（的系数为1），并且先移项，再配方；
因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：）；
公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出的值，再带入公式
满分技巧
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
满分技巧
若一元二次方程的两个根为，则有，
当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形：


满分技巧
解题步骤依然遵循——审、设、列、解、答。
应用题中解出方程的解一般都有2个，做题时注意区分是否都可取，不符合题意的答案需舍去。
满分技巧
1、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
2、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值；
满分技巧
1、分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
2、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
满分技巧
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验， ⑥答
其中，检验这一步必须有!
满分技巧
一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要除反了。
满分技巧
一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。
审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。
满分技巧
方法步骤总结：
① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；
② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；
③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）；
④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。