【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（广东专用）热点04+二次函数（9大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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中考广东数学中《二次函数》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1~2道，3~6分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1~2题，3~64分）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，3~6分）
四、二次函数的试卷应用（每年1题，3~9分）
二次函数是广东数学必考的一个重要知识点，主要是出在选择题的压轴题，解答题的方程应用和其他知识点交汇的压轴大题；最常考察的是二次函数的的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数的图象与性质
【题型1 二次函数的图象与性质】
1．（2023·内蒙古赤峰·一模）若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，直线经过一、二、四象限可判断的符号，再由抛物线求顶点坐标，判断象限，即可求解；熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：直线经过一、二、四象限，
∴，
∴抛物线的顶点必在第二象限，
故选：．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（ ）

A． B．
C．抛物线向下平移个单位后，一定不经过D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，图像上点的坐标特征，平移的规律结合图像，逐一判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵顶点坐标为，即对称轴为，
∴,即，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线与轴的交点为，
∴，抛物线向下平移个单位后，经过原点，
∵对称轴为直线，
∴此时，一定经过点，故错误；
∵设抛物线为，点代入得，，解得，故正确；
故选：．
【点睛】主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
4．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
5．（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【题型2 二次函数y＝ax2+bx+c图像和性质】
6．（2024·江西·一模）下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标为
C．方程的解是D．当，函数值小于0
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．分别根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴抛物线开口向下，故原选项正确，不合题意；
B. ∵，∴抛物线的顶点坐标为，故原选项正确，不合题意；
C. 解方程得，故原选项正确，不合题意；
D. 由题意得，抛物线开口向下，与x轴交点坐标为，∴当时，函数值大于0，故原选项错误，符合题意．
故选：D
7．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ）
A．B．6C．或6D．6
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当时，y随x的增大而增大，即可得到m的正负情况，最后根据当时，y的最大值为和二次函数的性质，可以求得m的值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
又∵当时，y的最大值为，
∴时，，
即，
解得，，（舍去），
故选：D．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数图象上的两点和，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，根据二次函数，可求得抛物线的对称轴，进而求得关于对称轴的对称点为，然后根据二次函数开口方向即可求得结果．
【详解】解：二次函数，
∴函数对称轴为：，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，则该函数开口向下，
∵两点分别为，，，
∴．
故选：D．
9．（2024·福建南平·一模）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、抛物线与轴的交点，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断结论是否成立，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键
【详解】解：由表格可知该抛物线的对称轴为，故②正确；
根据对称轴可得当时，与时的值相同，均为，所以抛物线与轴的交点坐标是，故①正确；
∵与轴的交点坐标是，
∴，
由表格可知该抛物线过，
∴，解得，
∴抛物线方程为：，
令，解得或，
∴的根为和，故③正确；
∵，中，
∴该抛物线开口向下，
∴当时，的取值范围是或，故④错误；
综上①②③是正确的，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线：，若点，，均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把代入，求得函数表达式为，再根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：把代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴，
∴关于对称轴的对称点为，
∴当时，；当或时，，
∵，
∴，
故选：D．
考向二：二次函数图象与系数的关系
【题型3 二次函数图象与系数的关系】
11．（2024·四川广元·一模）如图，二次函数．的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：
①；②；③；④；⑤；其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵，
又∵，
∴，
，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
若，即，
，，
，
，相矛盾，故④错误；
当时，①．
∵②，③，
由①②得到，
由③①2得到，即，
上面两个相加得到，
∴，故⑤错误；
故选：A．
12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线.若点的坐标为，有下列结论：①；②③；④点，在抛物线上，当时，．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的图形和性质，对称性，交点坐标等，根据性质分析判断即可．
【详解】∵对称轴为，
∴，，
∵与轴交于点在负半轴上，
∴，
故，，
故①错误；②正确；
∵点的坐标为，
∴，
∴，
故，
故③正确；
∵
∴，
故④错误；
故选：B．
13．（2023·四川成都·三模）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线．
①；
②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）

A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据函数图象判断各项系数之间的关系，以及二次函数与一元二次方程的关系．
根据函数图象开口方向和与y轴交点位置判断a和c的正负，即可判断①；根据对称轴和与x轴的一个交点可得另一个交点，代入解析式可得，即可判断②；根据开口方向和对称轴判断函数图象的增减性，即可判断③；根据函数图象与x轴交点的个数判断一元二次方程解的情况，即可判断④．
【详解】解：开口向上则，与y轴交点在原点下方，故，
∴，故①正确；
对称轴为，与x轴一个交点是，
∴另一个交点为，
∴代入解析式得，故②错误；
∵开口向上，对称轴为
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而增大，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，其中正确的结论有①③④．
故选：C．
14．（2023·内蒙古赤峰·一模）二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④，根据图象过，判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，；故①④错误；
由图象可知：时，，
∴，故③正确，
∵和关于对称轴对称，
∴当时，；故③正确；
∵，
∴图象过，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故⑤正确；
故选B．
15．（2023·辽宁·一模）如图，抛物线的图象如图所示，其与x轴交点的横坐标分别为与3．下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④当或时，

A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【答案】B
【分析】
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与系数的关系,根据开口方向以及与轴的交点位置确定与0的大小关系，与x轴交点的横坐标分别为与3．知道对称轴，把代入，得；结合图象即可判断④．
【详解】解：∵开口向上，与轴的交点位置在负半轴
∴
∵与x轴交点的横坐标分别为与3．
∴对称轴
即
∴
∴
∴，故①是正确的；
∵对称轴
∴把代入
得
∵
∴，故②是错误的；
∵与x轴交点的横坐标分别为与3．
∴把代入
得
∴③是正确的；
∵与x轴交点的横坐标分别为与3．且开口向上
∴当或时，，故④是错误的；
故选：B
【题型4 二次函数的对称和最值问题】
16．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．点在函数图象上
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．
【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意；
B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意；
C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意；
D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
17．（2023·山东泰安·三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据对称轴为求出，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出，结合即可判断④．
【详解】解：二次函数对称轴为直线，
，即，故①正确；
二次函数经过，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
是抛物线上两点，，且，
，故③正确；
，，
，即
，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论：
①；
②关于的方程的解是，；
③当时，；
④当时，；
⑤周长的最小值是；
正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】把代入，可判断①，根据于轴交点和对称轴，可确定与轴另一交点，从而确定方程的解，可判断②，把、分别代入，可判断③④，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解，
本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图像性质．
【详解】解：把代入，，
解得：，二次函数解析式为：，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的解是，，故②正确，
当时，，，故③正确，
当时，，故④正确，
作点关于直线的对称点，如图，
连接交直线于点，
∵，
∴，
∴此时的值最小，
∴此时周长有最小值，
∵，
∴周长的最小值为，故⑤正确，
综上所述，①②③④⑤正确，
故选：．
19．（2023·辽宁丹东·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据抛物线的位置和对称轴可以判断出，，的正负，对①进行判断，根据对称轴公式对②进行判断，设抛物线的解析式为，当时，值最大对③进行判断，把方程转化成一元二次方程 ，利用判别式等于零求解判断④即可．
【详解】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线交轴正半轴，
，
抛物线对称轴位于轴正半轴，
，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为，
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为，
当时，值最大，最大值为，故③正确；
方程有两个相等的实数根，
有两个相等的实数根，
，，
，
（舍去）或，故④错误，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值问题，通过函数图像判断出，，的正负，找到函数与坐标轴的交点是解答本题的关键．
20．（2023·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）

A．①②B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B 代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④．
【详解】解：∵抛物线开☐向下，
∴，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为，
∴，解得：，
∴点B的坐标为，故②正确，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴
∴由得，即，故③正确；
∵，抛物线对称轴为直线，
∴当时，时函数最大值，
当时，，
∴，即，
综上所述：正确的结论有②③④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键．
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型5 抛物线与x轴交点问题】
21．（2024·湖北·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，，即，当时，，由题意可得，，进而可判断B、C的正误；由与关于直线对称，，可得，则，可判断A的正误；由图象开口向上，可知当时，，可判断D的正误．
【详解】解：由题意知，，即，
又∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，，
∴，B、C错误，故不符合要求；
∵与关于直线对称，，
∴，
∴，
∴，A错误，故不符合要求；
∵，图象开口向上，当时，y随着x的增大而减小，，
∴当时，，D正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与轴的交点坐标，一元二次方程的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数图象与轴的交点坐标，一元二次方程的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
22．（2023·江苏淮安·三模）关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案．
【详解】解：将，代入方程，得
解得
二次函数解析式为．
点坐标为．
将代入二次函数，得
，
解得，．
点坐标为．
的长为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键．
23．（2024·陕西西安·一模）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点时，则线段恰好经过二次函数的顶点，

∴当时，，即，解得．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线与轴交点纵坐标为，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．
24．（2023·辽宁丹东·二模）已知抛物线交轴于点，，且，点在该抛物线上，下列四个判断：①；②若，则该抛物一定经过点；③方程的解是；④当时，的面积最大，其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．D．个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与轴的交点个数判断①；特殊点判断②；图象法判断③；根与系数的关系判断④．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线与轴交于点，，且，
，所以错误；
若，即，则该抛物线一定经过点，所以错误；
当为抛物线的顶点时，方程的解是；若不为抛物线的顶点，则方程有两个不相等的实数解，所以错误；
当点为顶点时，的面积最大．此时，
、为方程的两不相等的实数解，
，
，所以正确．
故选：D．
25．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，对称轴可知，，由此即可判断①②；再根据，，得到，即可推出，即可判断③；根据对称性求出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵点A到直线的距离大于1，
∴点B到直线的距离大于1，
即点B在的右侧，
∴当时，，
即，
∴，所以②错误；
∵，，
∴，
∴，即，所以③错误；
∵点A与点B关于直线对称，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确．
故选：B．
【题型6 二次函数与不等式】
26．（2023·广东深圳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．，B．
C．D．时，不等式一定成立
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，所以不符合题意；
抛物线与轴有个交点，
，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线，
，
，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方，
当时，不等式一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
27．（2023·江苏常州·一模）函数和的图象如图所示若，分别为方程和，的一个解，则根据图像可知、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查了反比例函数的应用，函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
【详解】
解：方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标，
的一个解为函数的图象与直线交点的横坐标，
如图所示：

由图象可知：．
故选：C．
28．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
29．（2023·福建宁德·一模）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
由图可知：抛物线在直线上方时，x的范围是：或，
即的解集是或，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
30．（2023·湖北随州·二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点、点、点在该函数图象上，则；（4）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】（1）正确，根据对称轴公式计算即可；
（2）错误，利用时，，即可判断；
（3）错误，利用函数图象即可判断；
（4）正确，利用二次函数与二次不等式关系即可判断．
【详解】（1）∵，
∴，故正确；
（2）∵时，，
∴，
∴，故错误；
（3）∵点、点、点，
∴，
∴
∴点离对称轴的距离近，
∴
∵，
∴
∴
故错误；
（4）∵，
∴
∴
解之得：或，
∴，故正确．
故：（1）（4）正确，选B．
【点睛】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质，学会利用图象信息解决问题是解决问题的关键．
考向四：二次函数实际应用
【题型7：二次函数的实际应用】
31．（2024·陕西西安·一模）如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求所需的三根“光带”的长度之和的最大值．
【答案】(1)这条抛物线的函数解析式为
(2)三根“光带”长度之和的最大值为15米
【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据题意可设，抛物线过，可求得到，即可求出抛物线的解析式；
（2）设点A的坐标为，设三根“光带”长度之和为L米，列出L的解析式，根据二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，
解得，
∴这条抛物线的函数解析式为；
（2）设点A的坐标为，
则，
根据抛物线的轴对称，可得：，，
设三根“光带”长度之和为L米，
令
，
∵，开口向下，
∴当时，最大值为15，
∴当米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米．
32．（2024·安徽阜阳·一模）某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)，当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；
(2)当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．
【分析】（1）本题考查了二次函数的实际运用，根据题意即可得出销量和批发价的关系，从而列出函数表达式，再将降价2元时的情况代入函数表达式即可得出利润；
（2）本题考查了二次函数的实际运用和函数的性质，将（1）中的表达式化为，即可根据性质得出最大利润最大时的情况．
【详解】（1）解：由题可知，若降价x元，则每天销量可增加千克，
，
整理得：．
当时，，
当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；
（2）解：，
，则函数开口向下，有最大值，
当时，W取得最大值，最大值为9800，
当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．
33．（23-24九年级上·河北唐山·期末）嘉琪同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m：
(1)求，的值；
(2)①嘉琪经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少m？并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网；
②要使球的落地点到点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
(3)通过对本次训练进行分析，若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球经过点正上方0.7m处？
【答案】(1)，
(2)①球网的高度为1.6m；选择吊球的方式也刚好能使球过网；②选择吊球，使球的落地点到点的距离更近
(3)1.5
【分析】（1）根据一次函数解析式和过点解得b，再求得点P，代入二次函数求得a；
（2）①选择扣球，利用一次函数求得网高；选择吊球，结合，利用二次函数求得值与网高进行判断即可；②令，分别解得对应函数的水平距离，再与做差比较大小即可知选择吊球，球的落地点到点的距离更近；
（3）向正前方移动m米吊球，二次函数关系变为，将点，即可求得向正前方移动距离．
【详解】（1）解：羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m，则，解得，
那么一次函数关系：，当，，则点，
，解得，
故，；
（2）①选择扣球，一次函数：，且，
则，
那么球网的高度为1.6m；
选择吊球，二次函数关系：，
那么选择吊球的方式也刚好能使球过网；
②令，，解得，（舍去），
，解得，
∵，，
∴，
∵，，
∴选择吊球，使球的落地点到点的距离更近；
（3）向正前方移动m米吊球，二次函数关系为：
根据题意过点，则，解得，（舍去），
故他应该向正前方移动1.5米吊球．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式、实数大小比较和函数平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．
34．（2024·陕西西安·模拟预测）某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖中心竖直安装了一根高为3米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为 1 米处达到最高，水柱落地处离喷水管3米．以喷水管与湖面的交点为原点，建立如图的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)现公园准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线水柱下方正中间通过．为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线水柱下方正中间通过时，游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米，已知游船顶棚宽度为 1米，顶棚到湖面的高度为 2.5米，那么公园应将喷头至少向上移动多少米才能符合要求？
【答案】(1)
(2)应将喷头至少向上移动米才能符合要求．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）如图，设平移后的解析式，先求出，然后把代入解析式即可求解.
【详解】（1）设，把，代入得，
，
∴，
∴；
（2）如图，设平移后的解析式，
∴抛物线对称轴是直线．
∵顶棚宽度为 1米，顶棚到湖面的高度为 2.5米，
∴，
∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米，
∴把代入解析式得，
，
∴，
∴应将喷头至少向上移动米才能符合要求．
35．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
【题型8 二次函数动点问题】
36．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【详解】
解：作于点E，
当时，
，
，
；
当时，作于N，作于M，
，
，
，
；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
37．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，矩形中，，，连接，动点P沿运动，过点P作直线与射线相交于点Q，使，设的面积为s，点P运动路径为x，则表示s与x之间函数关系的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是动点函数图象题型，解直角三角形，二次函数的应用，解题关键：一是分情况谈论，二是写出对应情况的函数关系式．
根据动点的运动情况可分点在边上运动、点在边上运动和点在边上运动这三种情况，就这三种情况分别写出的面积为关于的函数表达式，并判断是一次函数还是二次函数，即可选出答案．
【详解】解：①当点在边上运动时，此时，且，
如图所示，，
，
，即，
，
，此时是开口向上的二次函数；
②如图所示，当点在边上运动时，过点作于点，此时，且，
则此时四边形为矩形，
，，
，
，
，即，
，
，
，此时是一次函数；
③如图所示，当点在边上运动时，此时，且，
，
，
，即，
，
，
，此时是开口向上的二次函数，
综上所述：；
故答案选：C．
38．（2023·河南郑州·三模）如图；点、、是等边三角形三条边不含端点上的点，，设线段的长为，三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的面积相等，难点是根据三角形的面积公式求出关于的函数解析式，过点作于，设，则，的面积为定值（常数），然后在中求得，进而得，再证得：，最后根据求出关于的函数解析式即可得出答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：

不妨假设，
，则，
，
为等边三角形，
，，的面积为定值（常数），设为，
在中，，，，
，
，
，，
，
在和和中，
，
，
，
，
，
即：，其中，
关于的函数是二次函数，其中，
该函数的图象为抛物线的一部分．
故选：B
39．（2023·甘肃白银·二模）如图，矩形中，，，点在上，且，点、同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，它们的运动速度都是，设、出发秒，的面积为则与的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．
【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，
则在直角中，根据勾股定理得到，
当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，
∵，
∴，
∴，则，
∴
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当，即点在线段上，点在点的位置，此时的面积且保持不变；
当，即点在线段上，点在点时，，此时该函数图象是直线的一部分；
综上所述，B正确．
故选：B
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数，理解题意，分类讨论以及求得各段函数解析式是关键．
40．（2023·广东肇庆·一模）如图，在中，，， ，，垂足为点D，动点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接．设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．分别求出M在和在上时的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴， ，，
∵，
∴，，，
∴当M在上时，，
，，
∴，
∴此时函数图象是：对称轴在y轴且开口向下的抛物线在上的部分；
当M在上时，，
，
∴，
∴此时函数图象是：对称轴在y轴且开口向上的抛物线在上的部分；
故选：B．
考向四：二次函数性质的综合应用
【题型9 二次函数压轴类型】
41．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点为点A，交y轴于点B，过点B作轴交抛物线于点C，且点C的横坐标为．
(1)如图1，求m的值；
(2)如图2，作直线，点D为直线右侧抛物线上的一个动点，连接，，设的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作抛物线的对称轴l，线段分别交直线l，线段于点E，F，点G为的延长线上一点，连接，其中，且，点H在线段上，连接，，当，且时，求S的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设点D的坐标为，用三角形面积公式表示即可；
（3）连接，作射线作于K，作交的延长线于P，作于M，作于N，证明平分，证明，设直线与交于点Q，求出直线，与二次函数表达式联立，解方程，得出点D的横坐标，代入即可．
【详解】（1）解：点B与点C关于直线对称，且点C的横坐标为，
，
；
（2）解：，
∴抛物线的表达式为，
，
∵点D的横坐标为t，
∴点D的纵坐标为，
的高为，
，
即；
（3）解：如图，连接，作于M，作于K，作交的延长线于P，设直线与交于点Q，
点B、C关于直线l对称，点E在直线l上，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
作于M，作于N，
，都是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
点G的纵坐标是，
设直线为，
将点代入，得，
，
，
点E的横坐标是，
时，，
，
，
，
将代入，
，
（舍），
，
将与联立，得
解得，（舍），
此时．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、利用三角函数解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．
42．（23-24九年级上·广西玉林·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【详解】（1）解：将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
43．（2024·湖南长沙·三模）若两条抛物线相交于两点，并满足，其中为常数，我们不妨把叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
(1)若两条抛物线相交于两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
(2)若抛物线与抛物线相交于两点，其中，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
(3)如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与轴交于两点，所在的直线与轴交于点，若点在轴上，，抛物线2与轴的另一个交点为点，以为圆心，为半径画圆，连接，与圆相交于点，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义，将点，代入，即可求解；
（2）根据新定义，得出，根据可得，联立抛物线1和2得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解；
（3）根据题意得出，根据，由勾股定理可得，得出或，根据得出，则，根据得出直线，进而得出，则，将代入抛物线，得出，设，根据根与系数的关系得出，可得，则，根据圆周角定理得出，根据等角的余角相等可得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：两条抛物线相交于两点，
，
．
（2）抛物线与抛物线相交于两点，
，
，
，
，
，
①，
联立抛物线1和2得，
的两根为和，
②，
②代入①并解得：．
（3）抛物线与抛物线的交点在轴上，
，
，
，
，
，
或，
当时，，则，
，
，
，
，
直线，
令，则,
，则，
将代入抛物线，
，
，即，
设，
∵抛物线
令，即，
则，
，则，
，
是的中点，
为圆的直径，点在圆上，
，又,
，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题；二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，直径所对的圆周角是直角，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
44．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．

(1)求二次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值；
(3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值；
(4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1),
(2)点P运动至线段的中点时， 的面积的有最小值
(3)
(4)存在，使得度
【分析】（1）将代入即可求解；
（2）由题意得当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积的最小；设，证即可求解；
（3）由（2）得，结合得，可推出，即可求解；
（4）延长至点，使得，连接，证得，再证得即可求解．
【详解】（1）解：将代入得：，
∴
∴
令，即：，
解得：
∴；
（2）解：∵为定值，
∴当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积最小
∵
∴
∵
∴
∴
设，
∵
∴
得：,
∵
∴当时，
即：，此时点P运动至线段的中点时，，
∴点到线段的距离，的面积的最小值为：；
（3）解：由（2）得：，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
解得：；
（4）解：如图所示：

延长至点，使得，连接，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
解得：（舍）
【点睛】本题综合考查了二次函数的解析式求解、相似三角形的判定与性质、全等三角形的常见模型等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础．
45．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．设点的横坐标为点，请用含的代数式表示矩形的周长，并求矩形周长的最大值．
【答案】(1)，顶点D的坐标为
(2)
(3)矩形的周长为，矩形的周长最大值为
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解；
（3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线经过点、，
所以有，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）将代入，解得，，
∴
∵，
∴E点的横坐标为，
把代入
∴，
（3）由抛物线可知，对称轴为直线，
∵P点的横坐标为m，轴，
则，
，
∴矩形的周长，
∴当时矩形的周长最大值为．
（建议用时：15分钟）
46．（23-24九年级上·山东青岛·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即得答案．
【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为．
故选B．
47．（2024·浙江宁波·一模）关于的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①；
②；
③关于的方程有两个不相等的实数根；
④抛物线的顶点在第四象限．
其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，把方程的根代入计算即可求出，判定①正确；利用根与系数的关系求出，从而判定②正确；根据二次函数与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，
，故①正确；
是方程的两个根中较小的根，
∴，，
，
，故②正确；
∵方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴二次函数与x轴有两个交点，且对称轴在直线的右边，
∴二次函数顶点坐标在第四象限，
向上平移2个单位得到二次函数，与x轴不一定有交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根错误，故③错误；
向下平移2个单位得到二次函数，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选：C．
48．（2024·湖南岳阳·一模）对于二次函数，下列说法正确的是 （ ）
A．开口方向向下B．顶点坐标
C．对称轴是y轴D．当时，y有最小值
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，有最小值3，再进行判断即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，有最小值3．
故选项D正确，
故选：D
49．（23-24九年级上·山东烟台·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向上，与轴交于负半轴，故A、B、C、D都不符合题意；
②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项A正确，
故选：A．
50．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得．
【详解】解：∵正方形的边长为，
，，
，
由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，
①当时，，
则；
②当时，，
则；
综上，与之间的函数关系式为，
故选：C．
51．（2024·广东东莞·一模）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点都在函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
52．（2024·江苏淮安·模拟预测）直线和抛物线 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集，旨在考查学生的数形结合能力，将不等式转化为对应函数图象的位置关系是解题关键．
【详解】解：由题意得：不等式表示直线在抛物线 下方的部分，
∵两图象的交点横坐标为：，
∴不等式的解集是：或
故答案为：或
53．（2024·江西·一模）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带，则夜景灯带的长是 ．

【答案】
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，根据题意得到，代入解析式求解即可．
【详解】由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
54．（2024·江西·一模）小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款乡村太阳能美化路灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏．
(1)月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式为______．
(2)小明若想让太阳能美化路灯的月销售利润达到8000元，则太阳能美化路灯销售单价应定为多少元？
(3)太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售能获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)60元或80元
(3)当销售单价定为70元时获得利润最大，最大利润是9000元
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设销售单价为元/盏，根据总利润单个利润数量，列一元二次方程求解即可；
（3）设月销售利润元，销售单价元/盛，根据题意得出与的关系式，再根据二次函数的性质，即可求出最大值．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：设销售单价为元/盏，
由题意，得，
解得：，
答：销售单价应定为60元或80元．
（3）
解：设月销售利润元，销售单价元/盛，
则，
整理得．
，
当时，有最大值，最大值为9000，
当销售单价定为70元时获得利润最大，最大利润是9000元．
55．（2024·江西·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作二次函数图象上的点；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键．
（）先求出函数解析式，再得出点的具体位置；
（）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点．
【详解】（1）
根据题意可得：解得：，
即二次函数，
在图上找到点关于对称轴对称的点即是点；
（2）
由（）得：，，
令的解析式为，
将点点代入解析式得：，解得：，
的解析式为，
因为点在对称轴上，时，，故点
（建议用时：20分钟）
一、单选题
56．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
【答案】D
【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
【详解】解：由，所以开口向下，故A选项错误；
抛物线对称轴为，不能确定对称轴的位置，故B选项错误；
若，即，所以，该函数图象与x轴交点无法确定，故C选项错误；
当时，有最小值为，当时，有最大值为，所以最大值与最小值的差为4，故D选项正确；
故选：D．
57．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，对称轴为直线的抛物线中，以下结论：①；②；③；④；⑤ （为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大.其中正确的结论有（ ）
A．②③⑤B．②④⑤C．①②③④D．①②③④⑥
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，解题的关键是数形结合．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图像即可判断⑥．
【详解】解：①由图像可知：，，
对称轴为直线：，
，
，故①错误；
②抛物线与轴有两个交点，即有两个不相同的根，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，则与的函数值相等，
当时，，故③错误；
④当时，，
，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
，
故，
即，故⑤正确，
⑥当时，随的增大而减小，故⑥错误，
故正确的有：②④⑤，
故选：B．
58．（2023·辽宁盘锦·一模）二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④，其中正确的有（ ）

A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．二次函数的系数确定了抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点等．对于①，先根据二次函数图像的性质判断a，b，c的正负，进而得出答案；对于②，令求出y值，判断即可；对于③，先求出当时，求初最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出a，b的关系，再将代入关系式，即可判断．
【详解】解：①∵对称轴位于x轴的左侧，
∴，
∴a，b同号，即．
∵抛物线与y轴交于正半轴，则，
∴．故①正确；
②∵时，，
∴，故②正确；
③当时，，当时，，
∴对于任意实数m，有，故③错误；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
∵时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④错误；
综上所述，正确的结论有：①②，
故选A．
59．（2023·山东济南·三模）已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是( )
A．B．
C． 或D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得到二次函数图象绕原点旋转得到抛物线的解析式．先得出该二次函数绕原点旋转得到抛物线的解析式，再把点A和点B分别代入，求出m的值，即可解答．
【详解】解：将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线：，即，
当抛物线经过点时，则，解得；
当抛物线经过点时，则，解得，
当抛物线与轴有一个交点时，则，
，
解得，
此时，与轴的交点为，不合题意，
若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是．
故选：A．
二、填空题
60．（2024·福建南平·一模）如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最大值．
【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，
点，点，点，
为的角平分线，
，
，
，
点，
设直线的解析式为，
将点，代入上式，得：
，解得：
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的长有最大值，最大值为，
故答案为：．
61．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设，则，由的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得，进一步得到．
【详解】
解：设，
，
，
，
点，的面积为2，
，
，
，，
抛物线为，
把代入得，，
解得，
，
故答案为：2．
62．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
【答案】/
【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案．
【详解】解：对于，当时，，
解得：，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
作点关于轴对称的点，则点，
连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接，

当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．
理由如下：
当点与点不重合，点与点不重合时，
根据轴对称的性质可知：，
，
根据“两点之间线段最短”可知：，
即：，
，
，
即：，
当点与点重合，点与点重合时，为最小．
点，，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
即为最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置．
三、解答题
63．（2024·江西·一模）已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为．
(1)求定点的坐标；
(2)把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式；
(3)在（2）中，已知的面积为8．
①当时，求图象中的取值范围；
②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】
本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图像和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将原函数可化为，令，即可得到定点坐标；
（2）根据翻折的性质即可得到解析式；
（3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可；
②根据题意确定图象与直线交于点，与直线交于点，然后表示出，，根据题意列方程解题即可．
【详解】（1）原函数可化为，
可得该函数图象恒过两点，，
故定点为．
（2）解：∵直线就是x轴，
∴折叠即为沿x轴向上折叠，
∴解析式为；
（3）①∵
∴对称轴，代入得
的面积为8，
．
∴图象向上翻折部分的函数解析式为．
，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，；当时，的最小值为0．
在图象中，的取值范围为．
②若直线与图象从左到右依次交于四点，
∴图象与直线交于点，可得，
∴
∵与直线交于点，
∴，则．
，
，即，
两边平方解得．
64．（2024·四川泸州·一模）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
【答案】当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为
【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案．
【详解】解：依题意，抛物线经过点和，
解得
∴，
∵，
∴当时，取得最大值3.5，
当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为．
65．（2024·新疆克孜勒苏·二模）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售量为90件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)每件消毒用品的售价为13元
(3)每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及待定系数法求函数关系式、一次函数的性质、二次函数的性质，理解题意，正确求得函数关系式和方程是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可；
（3）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
根据题意，得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得，即，
解得，，
∵让消费者获得更多实惠，
∴，
答：每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意，得，
∵，，
∴当时，w有最小值，最小值为605，
答：每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元．
66．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)6
(2)存在，点的坐标为，理由见详解
(3)点坐标为或
【分析】（1）分别确定点的坐标，进而可得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）若与相似，则有，由相似三角形的性质可得，即，即可求解；
（3）分三种情况讨论：根据题意，点与点不重合，则；当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标；当时，同理可解．
【详解】（1）解：对于抛物线，
当时，可有，即，
当时，可有，
解得，，
即，，
∴，，
∴；
（2）存在，点的坐标为，
理由如下：
∵，，，
∴，，，
如下图，当时，
则有，即，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，点与点不重合，则；
当时，如下图，
设交轴于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式与抛物线解析式，
可得，解得（舍去）或，
∴点；
当时，如下图，
设交轴于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式与抛物线解析式，
可得，解得（舍去）或，
∴点．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
67．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)点的横坐标为．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，则，由，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点，使得，理由如下：
延长到，设，连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
点的横坐标为．
68．（2024·山东济宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．
(1)当时，直接写出点，，的坐标；
(2)如图，直线交x轴于点，若，
求的值；
将直线向上平移个单位得到直线，直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(3)如图，在（）的条件下，若点为的中点，连接，动点在第一象限的抛物线上运动，点作轴的垂线．垂足为，交于点，交直线于点，过点作，垂足为．是否存在与和的最大值？若存在，求出与和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点，，；
(2)，，
(3)当时，有最大值，最大值即为．
【分析】（）把 代入抛物线解析式得，然后问题可求解；
（）过点作于点，过点作于点， 由题意易得顶点，
，则有，，然后根据三角函数可求的值，进而根据待定系数法求解直线的解析式，与二次函数联立一元二次方程，当时即可求解；
（）由（）可知二次函数的解析式为，则有，，然后可得直线的解析式为，设，则有 ，，进而可得，，则可得 ，最后根据二次函数的性质可进行求解；
本题考查了二次函数的图象及性质及解直角三角形，熟练掌握二次函数与几何的综合及解直角三角形是解题的关键.
【详解】（1）把代入抛物线得，
令时， 则 ，
则，，
∵点在点的左侧，
∴，
令时，则，即，
当时
则，
∴，
∴综上，点，，；
（2）过点作于点，过点作于点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由可知顶点，
令时，则，即，
∴ ，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
设直线的解析式为，
则有：
解得：，
∴直线的解析式为，
则直线向上平移个单位得到直线为，
当直线与抛物线只有一个公共点时，
则，整理得，
∴，解得：，
（3）存在，理由如下：
由（）可知：直线的解析式为，，，
∴，，
令时，则，
解得：，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
设直线的解析式为，
则有：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
设，即则有，，
∴ ，，
∴，
∴，
∵ 且，
综上所述，存在，当时，有最大值，最大值即为．
1．满分技巧
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
满分技巧
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
…
0
…
…
p
1
p
m
…
满分技巧
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
满分技巧
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
满分技巧
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
满分技巧
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
满分技巧
二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
满分技巧
合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；
②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
满分技巧
1.二次函数性质的综合应用
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．