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2024年四川省广元市朝天区中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）
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第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）
1. 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算．
【详解】．
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是合并同类项、计算单项式除以单项式、积的乘方运算、计算多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则．
根据整式的运算法则对选项逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，和不是同类项，不能相加减，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算正确，符合题意，选项正确．
故选：．
3. 下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．画出几何体的左视图即可求出面积．
【详解】解：如图所示为该几何体的左视图．
故面积为3
故选B．
4. 以下命题是假命题的是（ ）
A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
B. 内错角的平分线互相平行
C. 两条边互相平行的两个角相等或互补
D. 两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
根据平行线的判定和性质，逐项判断即可．
【详解】A．根据平行公理知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故选项不符合题意；
B．当两条直线不是平行线时，内错角的平分线就不相等，是假命题，故选项符合题意；
C． 如图
，
，，
；
，
，，
，是真命题，故选项不符合题意；
D．如图
，
，
平分，
，
，
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行是真命题，故选项不符合题意；
故选：B．
5. 对某校国旗班的升旗手和护旗手的身高进行统计，结果如下：
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A. 172，172B. 172，171C. 171，171D. 171，172
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数和中位数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据平均数和中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，
则平均数：，
中位数为：．
故选：C．
6. 某校为更好地开展课外活动，决定购买一批足球和排球，已知用2000元购买的足球数量与1200元购买的排球数量相同，且每个足球比排球多40元，设每个排球为x元，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出足球的单价为元，再根据购买的排球和足球的数量相同建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：足球的单价为元，
则，
故选：A．
7. 如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径，按以下步骤操作：①作弦，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线；②作弦，分别以B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线．直线，的交点O 即为圆心．连接，即为半径．若直线 交于点 D，交于点E，且，则铜镜的半径长是（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的作图原理以及圆的垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用题目条件得到，然后在中利用垂径定理解答即可．
【详解】解：由题意知：垂直平分，
，，
E在圆上，
，
，
在中，
，
解得，
故选：C．
8. 如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现角的倍数关系是解答此题的关键．
根据等腰三角形的性质，由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案
【详解】，
，
根据折叠的性质知：，
在中
，
，
，
故选：C．
9. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作，交斜边 于点，交的延长线于点，点是上一点，连接，，．若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理、圆直径所对的角是直角、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、正切三角函数的定义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质．
先根据圆周角定理推得，用勾股定理解直角三角形求出，圆直径所对的角是直角推得后即可根据相似三角形性质求解．
【详解】解：依题得：为直径，
如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
．
故选：．
10. 二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③，且，则；，其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，
根据函数的对称轴可得，则或，然后得到当时，，分别代入即可判断①②；当两个点到对称轴的距离相等时，则所对应的函数值相等，则两个x的值的和为2，进而可判断③；函数与x轴有两个不同的交点，则，进而可判断④．
【详解】解：观察图象得，对称轴为直线，
∴，
∴，
∵和关于对称轴对称
∴当时，
∴，即，故①正确；
∴，即
整理得，，故②错误；
∵，
∴，
∴和对应函数值相等，即这两个点到对称轴的距离相等，
∴，即，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∵
∴，即，故④正确．
综上所述，其中正确的是①③④．
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 120 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 24分）
11. 分解因式： __________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式求解即可得到答案；
【详解】解：，
故答案为：．
12. 据统计，2022 年广元市 GDP 约 1140 亿元．数据1140亿用科学记数法表示为__________
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 某校组织部分学生分别到 A，B，C，D四个地方参加夏令营活动，学校购买了前往各地的车票，下图是未制作完的条形统计图，且去D地的车票占总数的 ，若随机发放车票，小明抽到去 B 地的概率是__________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】本题考查了简单概率计算，先根据图求得总车票数为100张，再利用概率公式即可求解，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
总车票数为：（张），
小明抽到去 B 地的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理运用，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造直角三角形、运用平行四边形性质及勾股定理是解题的关键．
过点作交延长线于，作于，将转化为，对运用勾股定理求解．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，作于，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l的解析式为 过点 作 轴，交直线 l 于点，以O为圆心， 的长为半径画弧，交y轴于点；过点 作 轴，交l 于点，以O为圆心， 的长为半径画弧，交 y轴于点；过点作轴，交 l于点……按此作法进行下去，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数规律探索，弧长计算，解直角三角形的应用，先根据一次函数解析式求出点的坐标，求出，再求出点的坐标，得出点的坐标，求出，以此类推总结规律便可求出，进而求得的长．
【详解】解：∵直线，点坐标为，过点作y轴的垂线交直线l于点，
∴点的坐标为，
∴，，
∴，
∵以O为圆心， 的长为半径画弧，交y轴于点，
∴，
∴点的坐标为，
这种方法可求得的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
这种方法可求得的坐标为，
∴，
同理可得：，
……
，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
16. 如图，菱形 中， 点E，F分别为边 上的点，且 连接交于点H，连接 交 于点 O，有下列结论： ②平分③④其中正确的是_________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得，可判断①，过点D作于点G，作交的延长线于点K，先证出，可得，即可判断②，在上截取，连接，易得点四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得，则可证得，可判断③；由，，可证，由相似三角形的对应边成比例，即可得，可判断④；
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
故①正解，
②过点D作于点G，作交的延长线于点K，如图1，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
故②正确；
③在上截取，连接，如图2 ，
∵平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点四点共圆，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
∵，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴，
∴
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用是解决此题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96 分）
17. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解:原式
．
18. 先化简，再求值： 其中 x 是不等式组 的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵x为整数且，
∴，
∴原式
19. 如图，已知点E是矩形中边延长线上的一点，连接，过点B作，交的延长线于点 F，连接，分别交，于点M，N．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若 ，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，再结合，即可证明结论；
（2）由，可证，得，由平行四边形和矩形的性质可得，，，进而求得，得，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，即．
又，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴，，
∴．
∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，则，
∴，
∴．
，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
20. 为了解某中学九年级学生的数学成绩，在期末考试后随机抽取p名学生的试卷进行分析，将收集的数据分为 A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：；
（2）该校九年级学生有 2000 人，若 80分及以上为优秀，试估计该校九年级学生获得优秀有多少人．
（3）如果A 等级的 5 人中有 3 名男生，2 名女生，从中任意抽取2 人进行学习方法的交流，请你用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200 （2）150人
（3）
【解析】
【分析】（1）由D等级的人数除以所占的百分比求出抽取的学生人数；
（2）利用样本估计总体方法求解即可；
（3）列出表格得到所有等可能的结果，然后得到恰好抽到一男一女的结果数，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
（人）；
【小问2详解】
（人）；
∴估计该校九年级学生获得优秀的有150人；
【小问3详解】
列表如下：
∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
【点睛】本题考查了统计表和统计图综合，样本估计总体，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
21. “车祸猛于虎”数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在学校某路段公路旁边选取一点 A，再在笔直的车道 l上确定点 D，使 与l 垂直，测得 的长为 15 米，在l上点D的两侧取点B，C（如图），测得 （参考数据：
（1）求的长．（结果保留一位小数）
（2）学校路段车辆限速为40千米/时，若某车从D到B用时3秒，该车是否超速? 并说明理由．
【答案】（1）40.8米
（2）没有超速，见详解
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
（1）分别在与中，利用正切函数，即可求得与的长，继而求得的长；
（2）算出从D到B用时，与3秒比较，即可确定这辆校车是否超速．
【小问1详解】
解：在 中，，
（米）
在中，，
∴，
∴（米）
（米）．
【小问2详解】
（2）没有超速．理用如下：40千米/小时=（米/秒）
该车的时间为为 （秒），
∵，
故该车没有超速．
22. 如图1，点A 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 A 作轴，交另一个反比例函数 的图象于点 B，且的面积为 5．
（1） ．
（2）①若点 A 的纵坐标是求 的度数；
②如图 2，将①中的绕点O 顺时针旋转一定的角度．延长，分别交 于点 M，N，若点 M 的横坐标为，求直线的解析式．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义：
（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到，则可得到；
（2）①先求出A、B坐标，进而求出即可得到答案；②过点M作轴于H，过点N作轴于G，则；求出，得到，证明，得到，则，可得，再利用待定系数法求出对应的直线解析式即可．
【小问1详解】
解：设与轴交于C，
∵轴，点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为 5，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴；
【小问2详解】
解；①在中，当时，，在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且；
②如图所示，过点M作轴于H，过点N作轴于G，
∴
∵点M和点N分别在反比例函数和反比例函数的图象上，
∴；
在当，当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为．
23. 在“妇女节”当天，某校九年级 240 名师生乘车到桃博园踏青赏花．经与客运公司联系，他们有不同座位的 A，B两种型号的客车供选择．已知2 辆 A 型客车和1 辆 B型客车能载100人，1辆A型客车和3辆 B型客车能载150人．
（1）求每辆 A，B型客车各能载多少人．
（2）如果学校租用m 辆A 型客车和n辆B型客车，师生刚好坐满每辆车，求m 与n之间的关系式，并帮助学校设计所有租车方案．
（3）租车过程中，客运公司负责人向校方介绍：A 型客车是新购进的“低碳”电车，环保节能，租金300元/辆；B型客车载客量大，但尾气排放量大，租金410元/辆．直接写出在每辆车都坐满的情况下，如何租车，既环保而学校所付租金又最少．
【答案】（1）每辆A客车能载30人，每辆B客车能载40人
（2），共有三种方案：①A车8辆，B车0辆；②A车4辆，B车3辆；③A车0辆，B车6辆
（3）A车8辆，B车0辆
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
（1）根据题意找出等量关系列出二元一次方程组即可求出；
（2）根据题意列出不等式，利用不等式的解集得出乘车方案；
（3）分别计算每一种方案的费用，得出最佳方案．
【小问1详解】
解：设每辆 A型客车能载x人，每辆 B型客车能载y人．依题意，
得 解得
答：每辆 A型客车能载30人，每辆B型客车能载40人．
【小问2详解】
解：由题意得， ，
∴且为3的倍数
∴，
∴n取0，3，6共有三种乘车方案:
①A型车8辆， B型车0辆；②A型车4辆，B型3辆；③A型车0辆，B型车6辆．
【小问3详解】
解：方案①费用为元；方案②费用为元；方案③费用为元，∴方案①既环保而学校所付租金又最少，
∴选择租8辆A型客车．
24. 如图，是外接圆，是的直径，的平分线交于 D，连接．延长到E使，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，首先得到，然后进而证明出，得到，进而求解即可；
（2）首先得到，然后在中，利用，得到，然后求出，得到，过点 B作 于 F，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解∶ ∵是的直径，
∴，
在中，，
，
∴，
，
又，
∴，
过点 B作 于 F，
∵，，
∴，
在中，，
．
【点睛】此题考查的是圆的基本性质、垂径定理、切线的判定，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的基本性质、垂径定理，解直角三角形，勾股定理是解决此题的关键．
25. 如图1，与是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．
（1）如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：．
（2）如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N．
①若，探究面积的最大值．
②过点 N 作于点M，连接，若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）先根据证明得，再证明四边形是正方形，得，从而可得结论；
（2）①根据题意得，，由三角形面积公式得出函数关系式，进而可得最大值；②设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K，得四边形是正方形，再证明，得，得到，再证明得，由得，推出，从而得出结论
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∴，
又，
∴．
∴．
又，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：①∵，
∴．
由旋转的性质，得，
∴．
∴当时，面积最大，为 ．
②证明:如图，设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K．
∵，
∴四边形是矩形，
由旋转得
∴四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
26. 如图，已知直线：交 x轴于点B，交y轴于点C，抛物线的图象过点 B，C，且与x轴交于另一点A（点 A 在点 B 的左侧）．在直线 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作轴，垂足为 F，交 于点M，连接，，，交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当时，求点 P 的坐标．
（3）连接，，已知点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点 Q，使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出A点坐标，过点 A 作轴，交于点H，得到，得到：，再求出，设则，求出，得到，即可得到P点坐标．
（3）利用二次函数的性质先表示出P的坐标，最后再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【小问1详解】
解∶直线的解析式为，
，．
将点 ，代入得
解得 ，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
（2）令，
解得：
如图 1，过点 A 作轴，交于点H．
．
．
将代入中，得．
．
设则，
，
，
，
，
，
当时， ，
故当时，点 P 的坐标为．
【小问3详解】
（3）存在，，， ，
由（1）易得该抛物线的对称轴为直线 ，
设
由图可得，
当时，有最大值1，此时．
①如图2，当为平行四边形的边时，．
，点 D 在直线 上，
∴线段 是由线段向左平移 个单位长度或向右平移个单位长度，再上下平移得到的．
当点 A 向左平移个单位长度时，点 Q 的横坐标则，
，
当点M向右平移 个单位长度时，点 Q 的横坐标，则，
，
②如图 3，当为对角线时，互相平分．
设
，
则，
综上，存在或或使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形．
身高/
170
171
172
173
人数
3
4
1
1
等级
成绩x/分
人数
A
5
B
10
C
m
D
80
E
n
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男2，男1）
（男3，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（男3，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
男3
（男1，男3）
（男2，男3）
（女1，男3）
（女2，男3）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（男3，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（男3，女2）
（女1，女2）
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）
1. 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算．
【详解】．
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是合并同类项、计算单项式除以单项式、积的乘方运算、计算多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则．
根据整式的运算法则对选项逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，和不是同类项，不能相加减，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，运算正确，符合题意，选项正确．
故选：．
3. 下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．画出几何体的左视图即可求出面积．
【详解】解：如图所示为该几何体的左视图．
故面积为3
故选B．
4. 以下命题是假命题的是（ ）
A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
B. 内错角的平分线互相平行
C. 两条边互相平行的两个角相等或互补
D. 两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
根据平行线的判定和性质，逐项判断即可．
【详解】A．根据平行公理知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故选项不符合题意；
B．当两条直线不是平行线时，内错角的平分线就不相等，是假命题，故选项符合题意；
C． 如图
，
，，
；
，
，，
，是真命题，故选项不符合题意；
D．如图
，
，
平分，
，
，
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行是真命题，故选项不符合题意；
故选：B．
5. 对某校国旗班的升旗手和护旗手的身高进行统计，结果如下：
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A. 172，172B. 172，171C. 171，171D. 171，172
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数和中位数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据平均数和中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，
则平均数：，
中位数为：．
故选：C．
6. 某校为更好地开展课外活动，决定购买一批足球和排球，已知用2000元购买的足球数量与1200元购买的排球数量相同，且每个足球比排球多40元，设每个排球为x元，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出足球的单价为元，再根据购买的排球和足球的数量相同建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：足球的单价为元，
则，
故选：A．
7. 如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径，按以下步骤操作：①作弦，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线；②作弦，分别以B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线．直线，的交点O 即为圆心．连接，即为半径．若直线 交于点 D，交于点E，且，则铜镜的半径长是（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的作图原理以及圆的垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用题目条件得到，然后在中利用垂径定理解答即可．
【详解】解：由题意知：垂直平分，
，，
E在圆上，
，
，
在中，
，
解得，
故选：C．
8. 如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现角的倍数关系是解答此题的关键．
根据等腰三角形的性质，由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案
【详解】，
，
根据折叠的性质知：，
在中
，
，
，
故选：C．
9. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作，交斜边 于点，交的延长线于点，点是上一点，连接，，．若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理、圆直径所对的角是直角、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、正切三角函数的定义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质．
先根据圆周角定理推得，用勾股定理解直角三角形求出，圆直径所对的角是直角推得后即可根据相似三角形性质求解．
【详解】解：依题得：为直径，
如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
．
故选：．
10. 二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③，且，则；，其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，
根据函数的对称轴可得，则或，然后得到当时，，分别代入即可判断①②；当两个点到对称轴的距离相等时，则所对应的函数值相等，则两个x的值的和为2，进而可判断③；函数与x轴有两个不同的交点，则，进而可判断④．
【详解】解：观察图象得，对称轴为直线，
∴，
∴，
∵和关于对称轴对称
∴当时，
∴，即，故①正确；
∴，即
整理得，，故②错误；
∵，
∴，
∴和对应函数值相等，即这两个点到对称轴的距离相等，
∴，即，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∵
∴，即，故④正确．
综上所述，其中正确的是①③④．
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 120 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 24分）
11. 分解因式： __________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式求解即可得到答案；
【详解】解：，
故答案为：．
12. 据统计，2022 年广元市 GDP 约 1140 亿元．数据1140亿用科学记数法表示为__________
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 某校组织部分学生分别到 A，B，C，D四个地方参加夏令营活动，学校购买了前往各地的车票，下图是未制作完的条形统计图，且去D地的车票占总数的 ，若随机发放车票，小明抽到去 B 地的概率是__________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】本题考查了简单概率计算，先根据图求得总车票数为100张，再利用概率公式即可求解，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
总车票数为：（张），
小明抽到去 B 地的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理运用，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造直角三角形、运用平行四边形性质及勾股定理是解题的关键．
过点作交延长线于，作于，将转化为，对运用勾股定理求解．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，作于，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l的解析式为 过点 作 轴，交直线 l 于点，以O为圆心， 的长为半径画弧，交y轴于点；过点 作 轴，交l 于点，以O为圆心， 的长为半径画弧，交 y轴于点；过点作轴，交 l于点……按此作法进行下去，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数规律探索，弧长计算，解直角三角形的应用，先根据一次函数解析式求出点的坐标，求出，再求出点的坐标，得出点的坐标，求出，以此类推总结规律便可求出，进而求得的长．
【详解】解：∵直线，点坐标为，过点作y轴的垂线交直线l于点，
∴点的坐标为，
∴，，
∴，
∵以O为圆心， 的长为半径画弧，交y轴于点，
∴，
∴点的坐标为，
这种方法可求得的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
这种方法可求得的坐标为，
∴，
同理可得：，
……
，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
16. 如图，菱形 中， 点E，F分别为边 上的点，且 连接交于点H，连接 交 于点 O，有下列结论： ②平分③④其中正确的是_________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得，可判断①，过点D作于点G，作交的延长线于点K，先证出，可得，即可判断②，在上截取，连接，易得点四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得，则可证得，可判断③；由，，可证，由相似三角形的对应边成比例，即可得，可判断④；
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
故①正解，
②过点D作于点G，作交的延长线于点K，如图1，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
故②正确；
③在上截取，连接，如图2 ，
∵平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点四点共圆，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
∵，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴，
∴
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用是解决此题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96 分）
17. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解:原式
．
18. 先化简，再求值： 其中 x 是不等式组 的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵x为整数且，
∴，
∴原式
19. 如图，已知点E是矩形中边延长线上的一点，连接，过点B作，交的延长线于点 F，连接，分别交，于点M，N．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若 ，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，再结合，即可证明结论；
（2）由，可证，得，由平行四边形和矩形的性质可得，，，进而求得，得，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，即．
又，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴，，
∴．
∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，则，
∴，
∴．
，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
20. 为了解某中学九年级学生的数学成绩，在期末考试后随机抽取p名学生的试卷进行分析，将收集的数据分为 A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：；
（2）该校九年级学生有 2000 人，若 80分及以上为优秀，试估计该校九年级学生获得优秀有多少人．
（3）如果A 等级的 5 人中有 3 名男生，2 名女生，从中任意抽取2 人进行学习方法的交流，请你用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200 （2）150人
（3）
【解析】
【分析】（1）由D等级的人数除以所占的百分比求出抽取的学生人数；
（2）利用样本估计总体方法求解即可；
（3）列出表格得到所有等可能的结果，然后得到恰好抽到一男一女的结果数，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
（人）；
【小问2详解】
（人）；
∴估计该校九年级学生获得优秀的有150人；
【小问3详解】
列表如下：
∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
【点睛】本题考查了统计表和统计图综合，样本估计总体，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
21. “车祸猛于虎”数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在学校某路段公路旁边选取一点 A，再在笔直的车道 l上确定点 D，使 与l 垂直，测得 的长为 15 米，在l上点D的两侧取点B，C（如图），测得 （参考数据：
（1）求的长．（结果保留一位小数）
（2）学校路段车辆限速为40千米/时，若某车从D到B用时3秒，该车是否超速? 并说明理由．
【答案】（1）40.8米
（2）没有超速，见详解
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
（1）分别在与中，利用正切函数，即可求得与的长，继而求得的长；
（2）算出从D到B用时，与3秒比较，即可确定这辆校车是否超速．
【小问1详解】
解：在 中，，
（米）
在中，，
∴，
∴（米）
（米）．
【小问2详解】
（2）没有超速．理用如下：40千米/小时=（米/秒）
该车的时间为为 （秒），
∵，
故该车没有超速．
22. 如图1，点A 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 A 作轴，交另一个反比例函数 的图象于点 B，且的面积为 5．
（1） ．
（2）①若点 A 的纵坐标是求 的度数；
②如图 2，将①中的绕点O 顺时针旋转一定的角度．延长，分别交 于点 M，N，若点 M 的横坐标为，求直线的解析式．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义：
（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到，则可得到；
（2）①先求出A、B坐标，进而求出即可得到答案；②过点M作轴于H，过点N作轴于G，则；求出，得到，证明，得到，则，可得，再利用待定系数法求出对应的直线解析式即可．
【小问1详解】
解：设与轴交于C，
∵轴，点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为 5，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴；
【小问2详解】
解；①在中，当时，，在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且；
②如图所示，过点M作轴于H，过点N作轴于G，
∴
∵点M和点N分别在反比例函数和反比例函数的图象上，
∴；
在当，当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为．
23. 在“妇女节”当天，某校九年级 240 名师生乘车到桃博园踏青赏花．经与客运公司联系，他们有不同座位的 A，B两种型号的客车供选择．已知2 辆 A 型客车和1 辆 B型客车能载100人，1辆A型客车和3辆 B型客车能载150人．
（1）求每辆 A，B型客车各能载多少人．
（2）如果学校租用m 辆A 型客车和n辆B型客车，师生刚好坐满每辆车，求m 与n之间的关系式，并帮助学校设计所有租车方案．
（3）租车过程中，客运公司负责人向校方介绍：A 型客车是新购进的“低碳”电车，环保节能，租金300元/辆；B型客车载客量大，但尾气排放量大，租金410元/辆．直接写出在每辆车都坐满的情况下，如何租车，既环保而学校所付租金又最少．
【答案】（1）每辆A客车能载30人，每辆B客车能载40人
（2），共有三种方案：①A车8辆，B车0辆；②A车4辆，B车3辆；③A车0辆，B车6辆
（3）A车8辆，B车0辆
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
（1）根据题意找出等量关系列出二元一次方程组即可求出；
（2）根据题意列出不等式，利用不等式的解集得出乘车方案；
（3）分别计算每一种方案的费用，得出最佳方案．
【小问1详解】
解：设每辆 A型客车能载x人，每辆 B型客车能载y人．依题意，
得 解得
答：每辆 A型客车能载30人，每辆B型客车能载40人．
【小问2详解】
解：由题意得， ，
∴且为3的倍数
∴，
∴n取0，3，6共有三种乘车方案:
①A型车8辆， B型车0辆；②A型车4辆，B型3辆；③A型车0辆，B型车6辆．
【小问3详解】
解：方案①费用为元；方案②费用为元；方案③费用为元，∴方案①既环保而学校所付租金又最少，
∴选择租8辆A型客车．
24. 如图，是外接圆，是的直径，的平分线交于 D，连接．延长到E使，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，首先得到，然后进而证明出，得到，进而求解即可；
（2）首先得到，然后在中，利用，得到，然后求出，得到，过点 B作 于 F，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解∶ ∵是的直径，
∴，
在中，，
，
∴，
，
又，
∴，
过点 B作 于 F，
∵，，
∴，
在中，，
．
【点睛】此题考查的是圆的基本性质、垂径定理、切线的判定，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的基本性质、垂径定理，解直角三角形，勾股定理是解决此题的关键．
25. 如图1，与是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．
（1）如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：．
（2）如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N．
①若，探究面积的最大值．
②过点 N 作于点M，连接，若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）先根据证明得，再证明四边形是正方形，得，从而可得结论；
（2）①根据题意得，，由三角形面积公式得出函数关系式，进而可得最大值；②设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K，得四边形是正方形，再证明，得，得到，再证明得，由得，推出，从而得出结论
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∴，
又，
∴．
∴．
又，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：①∵，
∴．
由旋转的性质，得，
∴．
∴当时，面积最大，为 ．
②证明:如图，设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K．
∵，
∴四边形是矩形，
由旋转得
∴四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
26. 如图，已知直线：交 x轴于点B，交y轴于点C，抛物线的图象过点 B，C，且与x轴交于另一点A（点 A 在点 B 的左侧）．在直线 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作轴，垂足为 F，交 于点M，连接，，，交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当时，求点 P 的坐标．
（3）连接，，已知点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点 Q，使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出A点坐标，过点 A 作轴，交于点H，得到，得到：，再求出，设则，求出，得到，即可得到P点坐标．
（3）利用二次函数的性质先表示出P的坐标，最后再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【小问1详解】
解∶直线的解析式为，
，．
将点 ，代入得
解得 ，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
（2）令，
解得：
如图 1，过点 A 作轴，交于点H．
．
．
将代入中，得．
．
设则，
，
，
，
，
，
当时， ，
故当时，点 P 的坐标为．
【小问3详解】
（3）存在，，， ，
由（1）易得该抛物线的对称轴为直线 ，
设
由图可得，
当时，有最大值1，此时．
①如图2，当为平行四边形的边时，．
，点 D 在直线 上，
∴线段 是由线段向左平移 个单位长度或向右平移个单位长度，再上下平移得到的．
当点 A 向左平移个单位长度时，点 Q 的横坐标则，
，
当点M向右平移 个单位长度时，点 Q 的横坐标，则，
，
②如图 3，当为对角线时，互相平分．
设
，
则，
综上，存在或或使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形．
身高/
170
171
172
173
人数
3
4
1
1
等级
成绩x/分
人数
A
5
B
10
C
m
D
80
E
n
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男2，男1）
（男3，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（男3，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
男3
（男1，男3）
（男2，男3）
（女1，男3）
（女2，男3）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（男3，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（男3，女2）
（女1，女2）
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