2024年四川省广元市旺苍县中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1.全卷满分150分，考试时间120分钟．
2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）
1. 如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是（ ）
A. B. 1C. 或2D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据图示，表示的数为，
∵，，
∴与点距离为的点表示的数为或，
故选：D ．
2. 下列图案分别为深圳地铁、北京地铁、杭州地铁、上海地铁的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．绕着一点旋转180度后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方．根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
4. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小强记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分），并制作了如下所示的统计表．根据统计表，下列关于小强该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为70分B. 众数为67分
C. 中位数为67分D. 方差为60
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；
D．平均数为，
方差为，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行且对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题真假的判断，矩形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，根据矩形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定逐个判断即可得到答案．
【详解】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故A错误，
对角线互相垂直且平分四边形是菱形，故B错误，
一组对边平行且对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，
一组对边平行且对角线相等的四边形不能判断矩形，故D错误，
故选：C．
6. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问：梨果多少价几何？”此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个，各付多少钱？ 设付梨钱x文，根据题意可列出的方程是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
【详解】解：设付梨钱x文，根据题意列出的方程是，
故选B．
7. 如图，直线，将等腰直角三角尺的直角顶点放在直线a上．若，则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点根据三角尺的直角顶点在直线a上，可得到，再根据，即可得到，利用三角形外角的性质可得，进而即可得解，熟练掌握三角形外角的性质是解决此题的关键．
【详解】如图，
∵等腰直角三角尺的直角顶点在直线a上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
8. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段上，
此时，，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段上，

此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段上，

此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有A选项符合题意，
故选：A．
9. 如图，在中，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点 E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点O；作射线交于点H，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，过H作，根据平行四边形得到，，结合得到，结合角平分线得到，即可得到，得到，即可得到即可得到答案；
【详解】解：过H作，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故选：C．
10. 如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ）
①；
②函数的最小值为；
③若关于 x 的方程无实数根，则；
④代数式
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最小值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，
综上所述，故③正确；
因为，
所以
，
因为，
所以，即，故④正确；
则①②③④正确，
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共120分）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 据广元统计局发布的《广元统计数据——2023》显示，广元 2022年汽车保有量约为352000辆．将数据 352000用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 某校计划组织八年级学生进行研学活动，现有四个地点可供选择：剑门关、皇泽寺、唐家河自然保护区、昭化古镇．若从中随机选择一个地点，则选中“剑门关”的概率为________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．从中随机选择一个地点共有种等可能结果，选择“剑门关”的只有种结果，根据概率公式求解即可．
【详解】解：从中随机选择一个地点共有种等可能结果，选择“剑门关”的只有种结果，所以“剑门关”物园的概率为，
故答案为：．
13. 实数，分别满足，，且，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题可知，m和n是的两个根，
所以，
所以；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则．
14. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，
∵将扇形折叠，点落在弧的中点处，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为： ．
15. 如图，将大小不同的两块直角三角尺和摆放在平面直角坐标系中，三角尺的直角边在x 轴上，，，反比例函数的图象恰好经过点B，E．若 ，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解答本题的关键．设，表示出点E的坐标，然后根据反比例函数的图象恰好经过点B，E列方程即可求出k的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴．
∵，
∴设，
∵，，，
∴，
∴．
∵反比例函数的图象恰好经过点B，E，
∴，
∴，
∴．
故答案为∶ ．
16. 如图，在四边形中，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，先算出，证明四边形是正方形，得出，因为且进行角的换算，得证，代入数计算出，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：过点A分别作的延长线上，
·
∵，
∴，
∴，
∵的延长线上，且，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
设，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共 96 分）
17 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤和方法是解决本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算分式的减法，再把除法化为乘法，约分后可得结果，再把化为，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：


；
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求解，一元二次方程的解的含义，整体代入数学思想的应用，熟练的利用整体代入进行求值是解本题的关键．
19. 如图，在中，，D是边上一点，，过点D作于E，过点C作于F．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理等等：
（1）先证明得到，再由等边对等角推出，进而证明，即可证明．
（2）设，则．在中，根据勾股定理，得，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设．
∵，
∴．
又∵，
∴在中，根据勾股定理，得，
，
∴，
．
20. 某学校图书馆典范项目为学校配置了甲、乙两种经典读本各若干本，项目第一批购进甲、乙两种读本分别花费了12000元和9000元，甲种经典读本的单价是乙种经典读本单价的倍，并且甲种经典读本的数量比乙种经典读本的数量多100本．
（1）求购进这两种经典读本分别是多少本；
（2）若图书馆项目第二批购进这两种经典读本共1300本，其中购进甲种经典读本的数量不低于600本，且购进两种读本的总费用不超过14500元，求购进这两种经典读本的最低总费用．
【答案】（1）甲种经典读本1000本，乙种经典读本900本
（2）14200元
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式组，一次函数的增减性，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
（1）设购进乙种经典读本x本，则购进甲种经典读本本，根据题目数量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意分别求出甲、乙的单价，设购进甲种经典读本a本，则购进乙种经典读本本，根据题意列一元一次不等式组求解，再根据一次函数的增减性求最值即可．
【小问1详解】
解：设购进乙种经典读本x本，则购进甲种经典读本本，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴甲种经典读本为（本），
答：购进甲种经典读本1000本，乙种经典读本900本．
【小问2详解】
解：由（1）可知，购进甲种经典读本1000本费用为12000元，乙种经典读本900本费用为9000元，
∴甲单价为：（元），乙的单价为（元），
设购进甲种经典读本a本，则购进乙种经典读本本，
由题意得，
解得，
设购进这两种经典读本的总费用为w元，
由题意，得
∵，
∴w随a的增大而增大．
∴当时，w有最小值，为，
答：购进这两种经典读本的最低总费用为元．
21. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，培养学生的劳动习惯，张老师随机对本班部分学生周末打扫卫生情况进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学，并将上面的条形统计图补充完整；
（2）若该班所在的年级共有 400名学生，请估计该年级 A 类学生的人数；
（3）张老师想从被调查的 A 类学生中选取一位同学对D类学生中一位同学进行结对互助学习，请用列表法或画树状图法求出结对互助学习都是男同学的概率．
【答案】（1）20，图见解析
（2）60人 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据条形图和扇形图，得到调查结果B类的人数以及所占的百分比，然后计算求出调查人数，然后利用调查人数去求出C类女生和D类男生数量补图即可；
（2）根据全校学生数乘以A类学生所占的百分比即可；
（3）根据列表法计算概率即可．
【小问1详解】
（名），
（名），C类女生：（名），
，
（名），D类男生：（名），
补图为：
故答案为：20．
【小问2详解】
(名)
答：估计该班所在年级 A 类学生的人数是名；
【小问3详解】
解：由题意,得类3人为1 男2 女,D类 人为2 男1女，列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中结对互助学习都是男同学有2种结果，
∴结对互助学习都是男同学的概率是．
22. 小华同学乘坐摩天轮时发现，当小华在摩天轮客舱中上升到点 B位置时，测得C 处的俯角是 ，测得 A处的俯角是，如图所示．已知摩天轮最低点 A 距离地面的高度．米，求小华在 B处时距离地面的高度．（结果保留根号）
【答案】米
【解析】
【分析】作交的延长线于D．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：如图，作交延长线于D．
在 中，，
∴．
在 中，，
∵米，
（米）
（米）
答：小华在B处时距离地面的高度为米．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）过点A作，交该反比例函数图象于另一点 C，连接，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，再把代入求出m的值，然后将 ，代入即可求出一次函数解析式；
（2）过点A作直线轴，过点C作于点D，直线交x轴于点F．先求出，然后证明，设点C的坐标为，然后根据列方程求出n的值，最后利用勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
将代入，得
∴反比例函数的解析式为
∵点 B在反比例函数的图象上，
，
将 ，代入得
解得
∴一次函数的解析式为
【小问2详解】
如图，过点A作直线轴，过点C作于点D，直线交x轴于点F．
∵AC⊥AB，
∴．
，
∴时，；时，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点C在双曲线上，
∴设点C的坐标为，则， ，
，
解得（舍去）或
∴点C的坐标为．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
24. 如图，为的直径，D为延长线上一点，是的弦，过点O作（ ）于点E，交于点F，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的证明，相似三角形的判定与性质，解直角三角形：
（1）根据直径得到，结合得到，得到，证得即可得到证明；
（2）根据得到，证得到，再证，结合性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
，
，
∴设 ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
即，
，
∵，，
∴，
，
∴，
∴的半径．
25. 【问题呈现】
（1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：．
【问题探究】
（2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【问题再探究】
（3）将图2中的的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）．
【拓展运用】
（4）如图4，若，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比：
（1）可证明，即证明结论；
（2）过点作交于点，可证得，进而可得，；
（3）过点作交于点，可证得，，据此即可求得答案；
（4）过点作交于点，连接，根据，可求得，过点P作交于点，交于点，作交于点，可得，设，则，．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∴．
（2）．理由如下：如图1，过点作交于点．

则,又由,
∴,即.
由四边形的内角和可得：,
又,则,
∴，
．
∴．
（3），理由如下：过点作交于点．

则,又由,
∴,即.
由四边形的内角和可得：,
又,则,
∴．
．
∴．
（4）如图2，过点作交于点，连接．

∵，
∴，，，四点共圆．
，
∴．
又，
∴．
∴．
．
．
如图3，过点P作交于点，交于点，作交于点，

则，
．
．
．
．
．
设，则
．
．
26. 如图，二次函数的图象与x 轴交于原点O 和点，经过点A的直线与该函数图象交于另一点，与y轴交于点C．
（1）求直线的函数解析式及点C的坐标．
（2）点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，过点B作轴于点F，连接，与交于点G，连接．求四边形面积的最大值．
（3）抛物线上是否存在这样的点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后计算出与x轴交点坐标即可；
（2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，设点P的坐标为，可以得到四边形为矩形，然后根据配方找到顶点坐标即可解题；
（3）如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q，得到，则有，且即可得到方程解题即可．
【小问1详解】
设直线的函数解析式为．
将A，B两点的坐标分别代入中，
得解得
∴直线的函数解析式为
将代入，得，
∴点C的坐标为
【小问2详解】
由题可知，抛物线过三点，
解得
,
设点P的坐标为，设直线的解析式为，
则，解得
∴直线的解析式为
∵直线为，
∴．
∵轴，交直线于点D，
∴．
∴．
∴轴．
∴四边形为矩形．
∴，
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，最大为；
【小问3详解】
存在．如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q．理由如下：
∵点，
∴．
又点，
∴点．
∴．
又，，
∴．
∴，且．
∴．
∴与抛物线的交点Q即为所求的点．
∵，
∴点．
∴直线的解析式为．
令．
解得（舍去），．
．
∴点 Q的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．星期
一
二
三
四
五
六
日
锻炼时间/分
65
67
70
67
75
79
88
D类
A 类
男
女
女
男
(男,男)
(男女)
(男,女)
男
(男,男)
(男,女)
(男,女)
女
(女,男)
(女,女)
(女,女)