江苏省南通市海安县海安高级中学2020届高三数学模拟考试试题

江苏省南通市海安县海安高级中学2020届高三数学模拟考试试题
参考公式：
样本数据，，…，的标准差，其中；
柱体的体积公式：，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
锥体的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．
1．已知全集，集合，则 ▲ ．
S←9
i←1
While S≥0
S←Si
i←i1
End While
Print i

（第6题）
2．已知复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
3．数据1，3，5，7，9的标准差为 ▲ ．
4．函数的定义域是 ▲ ．
5．在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 ▲ ．
6．右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为 ▲ ．
7. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点，则该双曲线的准线方程为 ▲ ．
8. 设是等比数列的前n项的和，成等差数列，则的值为 ▲ ．
9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）
①因为当时，，所以不是函数的周期；
②对于定义在上的函数，若，则函数不是偶函数；
③“”是“”成立的充分必要条件；
④若实数a满足，则．
（第10题）
10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ▲ ．
11.在平面直角坐标系xOy中，若函数在处的切线与圆C：存在公共点，则实数a的取值范围为 ▲ ．
12. 已知函数，若关于x的不等式的解集是，则的值为 ▲ ．
13.在边长为4的菱形ABCD中，A=60°，点P在菱形ABCD所在的平面内．若，，则= ▲ ．
14.设函数，，其中．若存在唯一的整数x，使得，则实数k的取值范围是 ▲ ．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
P
D
B
C
O

MO

（第15题）
15．(本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，MAMC．
求证：（1）PB平面AMC；
（2）平面PBD平面AMC．


16.（本小题满分14分）
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求的值；
（2）若△ABC的面积为1，求c的值.


17．(本小题满分14分)
O
Q
P
B
A
D
C
（第17题）
某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设．
（1）用表示线段PQ，并确定的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．



18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(－4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求的取值范围．
19．(本小题满分16分)
已知函数，其中，．
（1）①求函数的单调区间；
②若x1，x2满足，且，．求证：．
（2）函数．若对任意，，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|，求的最大值．






20．(本小题满分16分)
已知{an}，{bn}，{cn}都是各项不为零的数列，且满足，其中Sn是数列{an}的前n项和，{cn}是公差为的等差数列．
（1）若数列{an}是常数列，d＝2，c2＝3，求数列{bn}的通项公式；
（2）若an＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{bn}是等差数列；
（3）若 （k为常数，），．
求证：对任意的，恒成立．



数学II （附加题）
21. 【选做题】 在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4­2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝．求矩阵A．


B. 选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为＝2．点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．


C. 选修4­5：不等式选讲
若正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．








【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
O
B
P
D
C
A
22. （本小题满分10分）
如图，在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且OP＝AB．
（1）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求锐二面角B－PD－C的大小．

（第22题）






23. （本小题满分10分）
定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有m个，有p个，则称为“数列”．
（1）为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种?
（2）为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为?


数学答案
参考公式：
样本数据，，…，的标准差，其中；
柱体的体积公式：，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
锥体的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位
置上
1．
答案：
2．
答案：
3．
答案：
4．
答案：
5．
答案：
6． 答案：5
7.
答案：
8.
答案：2（必修五P.62第10题改编）
9．
答案：①②④
10.
答案：
11.
答案：
12.
答案：
13.
答案：-1
14.
答案：
三、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．(本小题满分14分)
证明：（1）连结，
因为为菱形ABCD对角线AC，BD的交点，
所以为BD的中点． …… 2分
又M为棱PD的中点，
所以， …… 4分
又平面AMC，平面AMC，
所以PB平面AMC； …… 6分
（2）在菱形ABCD中，ACBD，且为AC的中点，
又MAMC，故ACOM， …… 8分
而OMBD，OM，BD平面PBD，
所以AC平面PBD， …… 11分
又AC平面AMC，
所以平面PBD平面AMC． …… 14分
16. （本小题满分14分）
解：（1）由题意知：，
因为，所以
又因为△ABC为锐角三角形，所以①， …… 2分
所以，
所以，与①式联立，
解得（负舍）， …… 4分
又，所以． …… 6分
（2）由（1）知，，，且，
又，结合解出， …… 8分
同理解出， …… 10分
在△ABC中，由正弦定理知：，
因此， …… 12分
又，由此解出． …… 14分
17．(本小题满分14分)
解：（1）过点Q作于点H，则，
在三角形AOP中，
因为，，
所以，，
所以，故． …… 4分
因为，即，且． …… 6分
（2）因为，
令，，且． …… 8分
所以，
令，即，
所以， …… 10分
记，，
所以当时，，单调递增；
所以当时，，单调递减，
又因为，所以当时，取最大值．
此时，所以PQ的最大值为米．
答：湖上桥面PQ长度的最大值为米． …… 14分
18．
解：（1）设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由题意得a＝2，e＝， …… 2分
即，所以c＝1，．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1． …… 4分
（2）证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上．
由题意可知直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为y＝k(x＋4)．
由消去y得 (4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0．
设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝， …… 6分
又因为N(x1，－y1)，所以直线NE的方程为y－y2＝(x－x2)．
令y＝0，得x＝x2－．
将y1＝k(x1＋4)，y2＝k(x2＋4)代入上式并整理，
得．
整理得．
所以，直线NE过x轴上的定点B(－1，0)． …… 10分
（3）当过点M的直线ST的斜率不存在时，
直线ST的方程为x＝－1，S(－1，)，T(－1，－)，此时·＝－．…… 12分
当过点B的直线ST的斜率存在时，
设直线ST的方程为y＝m(x＋1)，且S(xS，yS)，T(xT，yT)在椭圆C上，
由，得(4m2＋3)x2＋8m2x＋4m2－12＝0，
则Δ＝(8m2)2－4(4m2＋3)(4m2－12)＝144(m2＋1)>0．
故有xS＋xT＝－，xSxT＝， …… 14分
从而ySyT＝m2(xS＋1)(xT＋1)＝m2[(xS＋xT)＋xSxT＋1]＝－．
所以·＝xSxT＋ySyT＝－＝－－．
由，得．
综上，·的取值范围是． …… 16分
19．(本小题满分16分)
解：（1）①因为f ′ (x)＝，．
令f ′ (x)＞0，得x＜－或x＞，
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)． ……2分
令f ′ (x)<0，得－＜x＜0或0＜x＜，
所以f(x)的单调减区间为(－，0)和(0，)． ……4分
②因为x1＋x2＞0，x2＞0，所以x1＞0，或x1＜0．
若x1＞0，因为|xi|＞(i＝1，2)，所以x1＞，x2＞，
由①，知f(x)在(，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)＋2f(x2)＞f()＋2f()＝＞． ……5分
若x1＜0，由|x1|＞，得x1＜－，
因为x1＋x2＞0，x2＞0，所以x2＞－x1＞，
由①，知f(x)在(，＋∞)上是增函数，所以f(x1)＋2f(x2)＞f(x1)＋2f(－x1)＝f(－x1)>．
综上，f(x1)＋2f(x2)＞． ……8分
（2）g′ (x)＝ax－＝，x(0，)，所以g ′ (x)＜0，
所以函数g(x)在(0，)上是减函数．
不妨假设x1＜x2．
由（1），知f(x) 在(0，)上是减函数，
所以不等式|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x1)－g(x2)， ……10分
即[f(x1)－g(x1)]－[f(x2)－g(x2)]＞0．
令M(x)＝f(x)－g(x)，x(0，)，则M(x)为减函数．
因为M ′ (x)＝f ′ (x)－g′ (x)＝－ax＋＝，
所以≤0在区间(0，)上恒成立，
即1－2bx≥0在区间(0，)上恒成立，
所以1－≥0，即b≤． ……14分
所以b－a≤－a＝－(－)2＋≤．
所以b－a的最大值为． ……16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）因为d＝2，c2＝3，所以cn＝2n－1．
因为数列{an}是各项不为零的常数列，所以a1＝a2＝…＝an，Sn ＝na1，
则由Sncn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn及cn＝2n－1，得n(2n－1)＝b1＋b2＋…＋bn，
当n≥2时，(n－1)(2n－3)＝b1＋b2＋…＋bn－1，
两式相减得bn＝4n－3．
当n＝1时，b1＝1，也满足bn＝4n－3，故bn＝4n－3(n∈N*)． ……4分
（2）因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝Sncn，
当n≥2时，Sn－1cn－1＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1，
两式相减得Sncn－Sn－1cn－1＝anbn，
即(Sn－1＋an) cn－Sn－1cn－1＝anbn，Sn－1 (cn－cn－1)＋ancn＝anbn，
即Sn－1d＋λncn＝λnbn． ……7分
又Sn－1＝，所以d＋λncn＝λnbn，即d＋cn＝bn，
所以当n≥3时，d＋cn－1＝bn－1，
两式相减得bn－bn－1＝d(n≥3)，
所以数列{bn}从第二项起是公差为d等差数列．
又当n＝1时，由S1c1＝a1b1，得c1＝b1，
当n＝2时，由b2＝d＋c2＝d＋c1＋d＝b1＋d，得b2－b1＝d．
故数列{bn}是公差为d等差数列． ……10分
（3）由（2）得当n≥2时，Sn－1 (cn－cn－1)＋ancn＝anbn，即Sn－1d＝an(bn－cn)，
因为bn＝cn＋k，所以bn＝cn＋kd，即bn－cn＝kd，所以Sn－1d＝an·kd，即Sn－1＝kan．
所以Sn＝Sn－1＋an＝(k＋1)an．
当n≥3时，Sn－1＝(k＋1)an－1＝kan，
即an＝an－1，故从第二项起数列{an}是等比数列．
所以当n≥2时，an＝a2()n－2． ……12分
bn＝cn＋k＝cn＋kd＝c1＋(n－1)k＋k2＝k＋(n－1)k＋k2＝k(n＋k)．
另外由已知条件得，(a1＋a2)c2＝a1b1＋a2b2，又c2＝2k，b1＝k，b2＝k(2＋k)，
所以a2＝1，因而an＝()n－2．
令dn＝，则－1＝－1＝－1＝－＜0，
对任意的，恒成立． ……16分



数学II （附加题）
21. 【选做题】 在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4­2：矩阵与变换
解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，
即＝－1×，得 ……5分
同理可得
解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.
因此矩阵A＝． ……10分
B. 选修4­4：坐标系与参数方程
解：ρcos＝2化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，
则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4. ……4分
设点P的坐标为(2cosα，sinα)，
得P到直线l的距离d＝，
即d＝，其中cosφ＝，sinφ＝. ……8分
当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋． ……10分
C. 选修4­5：不等式选讲
解：因为正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，
所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2， ……5分
即＋＋≥1，
当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1． ……10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分10分）
解：（1）在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，
所以OP⊥平面ABCD，取AB的中点E，BC的中点F，
所以OP ，OE，OF两两垂直，故以点O为坐标原点，
以OE，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
设底面正方形边长为2，因为OP＝AB，所以OP＝1，
所以B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，1)，
所以＝(－1，－1，1)， ……2分
设平面PCD的法向量是＝(x，y，z)，
因为＝(0，－2，0)，＝(1，－1，1)，
所以·＝－2y＝0，·＝x－y＋z＝0，
取x＝1，则y＝0，z＝－1，所以＝(1，0，－1)，
所以cos<，>＝＝－，
所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为. ……5分
（2）设平面BPD的法向量是＝(x，y，z)，
因为＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，0)，
所以·＝－x－y＋z＝0，·＝－2x－2y＝0，
取x＝1，则y＝－1，z＝0，所以＝(1，－1，0)， ……7分
由（1）知平面PCD的法向量是＝(1，0，－1)，
所以cos<，>＝＝，所以<，>＝60°，
所以锐二面角B－PD－C的大小为60°． ……10分
23. （本小题满分10分）
解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“”“” ，
“”：共有种；“”：共有种.
利用分类计数原理，共有种取法. ……2分
（2）与（1）基本同理，“”共有种；“”：共有种.
而在“数列”中任取三项共有种，
所以根据古典概型有：， ……4分
再根据组合数的计算公式能得到：，
① 时，
应满足，所以，
共有99个． ……6分
② 时，应满足，
视为常数，可解得.因为，所以，
根据可知，（否则）
下设，则由于为正整数知必为正整数，
又因为，所以.
化简上述关系式可以知道：，
所以均为偶数，所以设，则，
所以，由于中必存在偶数，
故只需中存在数为3的倍数即可，所以，
所以, ……8分
检验：符合题意，
所以共有16个.
综上所述：共有115个数对符合题意． ……10分