高中数学人教B版 (2019)必修第一册第一章集合与常用逻辑用语本章综合与测试同步达标检测题

展开

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第一册第一章集合与常用逻辑用语本章综合与测试同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分：150分时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列表示正确的是( )

A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}

C．∅＝{∅} D．1∈{有理数}

D [选项A不正确，因为符号“{ }”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．]

2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁RB)＝( )

A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}

C．{x|1

B [由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∪(∁RB)＝{x|x≥－1}．]

3．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有( )

A．4个 B．5个

C．6个 D．7个

D [集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．]

4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( )

A．对任意x∈R，都有x2＜1

B．不存在x∈R，使得x2＜1

C．存在x∈R，使得x2≥1

D.存在x∈R，使得x2＜1

D [因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]

5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )

A．∃x∈R，x3－x2＋1<0

B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0

C．∀x∈R，x3－x2＋1>0

D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0

C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．

故选C.]

6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的( )

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]

7．a2＞b2的一个充分条件是( )

A．a＞b B．a＜b

C．a＝b D．a＝2，b＝1

D [A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选D.]

8．下列命题中，真命题是( )

A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1

B．∀x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1

D．∃x∈R，x2＋2≤0

A [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq \f(a,b)＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.]

9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )

A．a<0 B．a>0

C．a<－1 D．a>1

C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知eq \f(3,a)＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.]

10．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

A [根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．

又∵A⊆∁RB，∴2m≤2.

解得m≤1，故m的值可以是1.]

11．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为( )

A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}

C．{a|a≤7} D．∅

C [当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；

当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，

要使A⊆B，需有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7.

综上可知，a≤7.]

12．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )

C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________.

{x|x≤1} [∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．]

14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．

{a|a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1.]

15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

充分不必要 [由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]

16．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．

18 [当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；

当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.

即A⊙B＝{0,6,12}．

故集合A⊙B的所有元素之和为18.]

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；

(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.

[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；

又由于“任意”的否定为“存在一个”，

因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，

即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；

又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，

因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．

18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2

[解] 结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，

又∵A∩B＝{x|－2

∴∁R(A∩B)＝∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，

∴(∁RA)∩B＝{x|－3

19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．

(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；

(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.

[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，

所以a，b至少有一个大于0，所以pq.

反之，若ab＞0，可推出a，b同号．

但推不出a＋b＞0，即qp.

综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q.

而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp，

所以p为q的充分不必要条件．

20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

(1)当m＝－1时，求A∪B；

(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．

[解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．

(2)由A⊆B，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＞2m，,2m≤1，,1－m≥3，))解得m≤－2，

即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．

21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B.

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3a≥4，))

解得a的取值范围为eq \f(4,3)≤a≤2.

(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，

∴a＞0.

若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤eq \f(2,3)或a≥4.

22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.

[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，

即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y).

必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0.

因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.

所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.

法二：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0⇔eq \f(y－x,xy)＜0.

由条件x＞y⇔y－x＜0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy＞0.

所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔xy＞0，

即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.

相关试卷更多