数学必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质精品第3课时学案设计

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第3课时 正切函数的图象与性质








正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象．





正切函数的图象与性质


思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？


[提示] 不是．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．( )


(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．( )


(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．( )


[提示] (1)正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上是单调递增函数．


(2)正切函数不是轴对称图形．


(3)正切函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．(一题两空)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) eq \r(3) [由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x≠eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)．故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，


且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3)．]


3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．]








【例1】 求下列函数的定义域．


(1)y＝eq \f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))))；


(2)y＝eq \r(\r(3)tan x－3)．


[思路点拨] (1)分母不为0，且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))有意义；


(2)被开方数非负，且tan x有意义．


[解] (1)要使y＝eq \f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))))有意义，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,2x－\f(π,4)≠kπ－\f(π,4)k∈Z，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)k∈Z，,x≠\f(kπ,2)k∈Z，))


∴函数y＝eq \f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))))的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)且x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)，k∈Z))))．


(2)由题意得eq \r(3)tan x－3≥0，


∴tan x≥eq \r(3)，


∴kπ＋eq \f(π,3)≤x＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


∴y＝eq \r(\r(3)tan x－3)的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,3)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))．





求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠kπ＋eq \f(π,2)k∈Z，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.








eq \([跟进训练])


1．求函数y＝eq \f(1,1＋tan x)的定义域．


[解] 要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，


则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x≠－1，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))


∴函数y＝eq \f(1,1＋tan x)的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))．





【例2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．


①tan eq \f(2π,7)________tan eq \f(10π,7)；


②tan eq \f(6π,5)________taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5)))．


(2)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间及最小正周期．


[思路点拨] (1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．


(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)看作一个整体，利用y＝tan x的单调区间求解．利用T＝eq \f(π,ω)求周期．


(1)①＜ ②＜ [①tan eq \f(10π,7)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3π,7)))＝tan eq \f(3π,7)，


∵0＜eq \f(2π,7)

∴tan eq \f(2π,7)

②tan eq \f(6π,5)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,5)))＝tan eq \f(π,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5)))＝tan eq \f(2π,5)，


∵0＜eq \f(π,5)

∴tan eq \f(6π,5)

(2)[解] y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))


＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，


由kπ－eq \f(π,2)

得2kπ－eq \f(π,2)

所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z，无增区间．


最小正周期T＝eq \f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝2π．





1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－eq \f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq \f(π,2)求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．


2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．








eq \([跟进训练])


2．(1)求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间；


(2)比较tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,5)))的大小．


[解] (1)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，令－eq \f(π,2)＋kπ<2x－eq \f(π,4)

(2)因为tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＝－taneq \f(π,4)，


taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,5)))＝－taneq \f(π,5)，


又0＜eq \f(π,5)＜eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)，


y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内单调递增，


所以taneq \f(π,4)＞taneq \f(π,5)，


所以－taneq \f(π,4)＜－taneq \f(π,5)，


即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＜taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,5)))．





[探究问题]


1．如何由y＝tan x的图象画出y＝|tan x|的图象．


[提示] 只需保持y＝tan x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan x|的图象．


2．如何由y＝tan x的图象画出y＝tan|x|的图象．


[提示] 把y＝tan x(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．


【例3】 根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．


[思路点拨] eq \x(画y＝tan x图象)→eq \x(y＝|tan x|图象)→eq \x(研究性质)


[解] 由y＝|tan x|得，


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x

其图象如图．





由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，


单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)，


单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z)，周期为π．





将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|，解答同样的问题．


[解] 由y＝tan |x|得


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，x≥0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－tan x，x<0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，))


根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图：





由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，单调增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋\f(3,2)π))(k＝0,1,2，…)；


单调减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3,2)π，kπ－\f(π,2)))(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．





作由正切函数复合而成的简单函数图象的两种方法


1直接描点法，要注意定义域；


2图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转、对称、平移等变换，作出函数的图象.








eq \([跟进训练])


3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期是________．


π [作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π．]











1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．


2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象


类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z．两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，直线x＝kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)．


3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题


(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．


(2)正切函数的单调性及应用．


(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．


4．本节课的易错点有两处


(1)易忽视正切函数y＝tan x的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))．


(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．





1．函数y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))的最小正周期为( )


A．eq \f(π,2) B．π C．eq \f(3π,2) D．2π


D [T＝eq \f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝2π．]


2． (多选题)下列函数中，周期为π，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为增函数的是( )


A． y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) B．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))


C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))


AC [对于A选项，函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))的周期为π，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为增函数，符合题意，故A选项正确．


对于B选项，函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的周期为eq \f(π,2)，不合题意，故B选项错误．


对于C选项，函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x的周期为π，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为增函数，符合题意，故C选项正确．


对于D选项，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为减函数，不符合题意，故D选项错误．故选AC．]


3．函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上的值域为________．


[－1，eq \r(3)] [∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,3)，∴－1≤tan x≤eq \r(3)．]


4．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．


[解] 定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))；


值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为eq \f(π,2)；


对应图象如图所示：





学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点)


2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象核心素养．
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数
对称性
无对称轴，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
正切函数的定义域
正切函数的单调性及应用
正切函数的图象及应用